現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)C2

*北京科技大學(xué)自動化學(xué)院控制科學(xué)與工程系1第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性與

李雅普諾夫方法北京科技大學(xué)自動化學(xué)院控制科學(xué)與工程系*2系統(tǒng)的穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法5.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念

5.3李亞普諾夫第二方法

5.4

李亞普諾夫第二方法在線性統(tǒng)的應(yīng)用

5.6本章小結(jié)5.2李亞普諾夫第一方法5.5李亞普諾夫第二方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*35.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念狀態(tài)軌跡：設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為式中：x—n維狀態(tài)矢量；f—與x同維的矢量函數(shù),是在給定初始條件下,有唯一解：上式描述了系統(tǒng)在n維狀態(tài)空間中從初始條件出發(fā)的一條狀態(tài)運(yùn)動的軌跡，簡稱為系統(tǒng)的運(yùn)動和狀態(tài)軌線。和時(shí)間t的函數(shù)；一般f為時(shí)變的非線性函數(shù)，如果不含t，則為定常的非線性函數(shù).。北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*45.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念

系統(tǒng)的平衡狀態(tài)：若系統(tǒng)存在狀態(tài)矢量所有t，使得：，對

成立，則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。說明:1)對于任一個(gè)系統(tǒng),不一定都存在平衡狀態(tài).2)如果一個(gè)系統(tǒng)存在平衡狀態(tài),其平衡狀態(tài)也不一定是唯一的.3)當(dāng)平衡態(tài)的任意小鄰域內(nèi)不存在系統(tǒng)的別的平衡態(tài)時(shí)，稱此平衡態(tài)為孤立的平衡態(tài)。

北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*55.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念

5)由于任意一個(gè)已知的平衡狀態(tài),都可以通過坐標(biāo)變換將其變換到坐標(biāo)原點(diǎn)只討論系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的穩(wěn)定性就可以了。處。所以今后將4)對于線性定常系統(tǒng)矩陣時(shí)，

，當(dāng)A為非奇異的解

衡狀態(tài)，當(dāng)A為奇異時(shí)，則會有無窮多個(gè)。是系統(tǒng)唯一的平6)穩(wěn)定性問題都是相對于某個(gè)平衡狀態(tài)而言的。

(這一點(diǎn)從線性定常系統(tǒng)中的描述中可以得到理解)7)如果一個(gè)系統(tǒng)有多個(gè)平衡點(diǎn)。由于每個(gè)平衡點(diǎn)處系統(tǒng)的穩(wěn)定性可能是不同的。因此對有多個(gè)平衡點(diǎn)的系統(tǒng)來說，要討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性必須逐個(gè)對各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性都要逐個(gè)討論。北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*65.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念通過輸入和輸出關(guān)系表征系統(tǒng)的外部穩(wěn)定。通過狀態(tài)和其運(yùn)動規(guī)律，表征系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定。外部穩(wěn)定-BIBO穩(wěn)定定義：如果系統(tǒng)對一個(gè)有界輸入u(t).即產(chǎn)生一個(gè)有界輸出，即有界輸入有界輸出穩(wěn)定的，簡記為BIBO穩(wěn)定。，則稱系統(tǒng)為結(jié)論：系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點(diǎn)都有負(fù)實(shí)部。

北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*75.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念內(nèi)部穩(wěn)定-漸近穩(wěn)定定義：線性系統(tǒng)u=0時(shí))引起的零輸入響應(yīng)為

如果滿足如下關(guān)系則稱系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的。（漸近穩(wěn)定的）x(結(jié)論：線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的充要條件是其系統(tǒng)陣A的特征根都有負(fù)實(shí)部。北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*85.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念BIBO穩(wěn)定與漸近穩(wěn)定的關(guān)系若系統(tǒng)系統(tǒng)是能控能觀的，則：漸近穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定否則：漸近穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*95.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與BIBO穩(wěn)定性.解：1)有A的特征方程:可知系統(tǒng)的狀態(tài)是不穩(wěn)定的.2)由系統(tǒng)的傳遞函數(shù):

故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定.這是因?yàn)榫哂姓龑?shí)部的特征值

被系統(tǒng)的零點(diǎn)s=+1對消了，不穩(wěn)定部分被掩蓋。北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*10說明:1)這種系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)是極不可靠的.若系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化,則零、極點(diǎn)就無法實(shí)現(xiàn)對消.這樣輸出就能表現(xiàn)出不穩(wěn)定特性.2)只有當(dāng)不出現(xiàn)不穩(wěn)定的零、極點(diǎn)對消(可以有穩(wěn)定的零、極點(diǎn)對消)，的穩(wěn)定性才與的穩(wěn)定性是一致的.5.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*115.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念

，預(yù)先說明：若用表示狀態(tài)變量x與平衡狀態(tài)的距離，用點(diǎn)集表示以為中心，為半徑的超球體，那么則可表示成式中為歐幾里德范數(shù)。當(dāng)很小時(shí)，則稱為的鄰域.因此若有，則意味著，同理，若方程式的解位于球域內(nèi)，便有:

李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)的自由響應(yīng)是否(沒有控制信號u的驅(qū)動)有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為四種情況:北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*125.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念

是一致穩(wěn)定的。當(dāng)?shù)倪x擇不依賴于時(shí),稱系統(tǒng)在李氏穩(wěn)定：對于自治系統(tǒng),如果對任意實(shí)數(shù),都對應(yīng)存在實(shí)數(shù),使得滿足不等式的任意初態(tài)出發(fā)的解,在時(shí)均有成立。說明:

1)這里實(shí)數(shù)與有關(guān)(類似于高數(shù)中極限、收斂的概念)。

2)一般情況下與也有關(guān)，當(dāng)與無關(guān)時(shí)，則稱為一致穩(wěn)定的。北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*135.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念

是一致漸近當(dāng)?shù)倪x擇不依賴于時(shí),稱系統(tǒng)在穩(wěn)定的。說明:1)漸近穩(wěn)定是個(gè)比穩(wěn)定更加苛刻的限制定義.如果一個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,那么它一定穩(wěn)定,

反之不一定成立。

2)不論是穩(wěn)定還是漸近穩(wěn)定,都有一個(gè)共同的限制條件,即要求。即初始狀態(tài)要在一定范圍之內(nèi)。成立時(shí),稱系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定：如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，而且當(dāng)t無限增長時(shí),對于任意使成立的,均有

是漸近穩(wěn)定的。北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*145.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念

大范圍漸近穩(wěn)定：如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的,而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性(即沒有的限制)，而只有,且有在是大范圍漸近穩(wěn)定的。，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定：如果對于某個(gè)實(shí)數(shù)和任一實(shí)數(shù)，不管這個(gè)實(shí)數(shù)多么小,由內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一個(gè)軌線越過在附近是不穩(wěn)定的。

，則稱系統(tǒng)北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*155.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念總而言之,球域限制著初始狀態(tài)的取值,規(guī)定了系統(tǒng)自身響應(yīng)的邊界.無界+大范圍漸近穩(wěn)定穩(wěn)定有界+有界+漸近穩(wěn)定+有界+一致漸近穩(wěn)定+北京科技大學(xué)自動化學(xué)控制科學(xué)與工程系*165.蘋1關(guān)于桿穩(wěn)定麗性的漫基本繭概念北京岡科技終大學(xué)久自動龍化學(xué)口控制充科學(xué)栽與工藥程系*175.荷2李雅薦普諾糖夫第滴一方視法雅可倆比矩仗陣北京折科技囑大學(xué)愈自動遺化學(xué)狼控制然科學(xué)街與工饞程系*185.酸2李雅騰普諾雁夫第賺一方腸法定理1：（李雅生普諾奮夫第親一方罵法）若f(鼓x)的雅稼克比闖矩陣方在x=蒸xe處所析有的儉特征災(zāi)根都虧有負(fù)看的實(shí)后部。小則原盲系統(tǒng)血在x=仔xe處是績漸進(jìn)艘穩(wěn)定來的。恢且穩(wěn)盟定性潑與f(加x)的高呀階導(dǎo)包數(shù)無猾關(guān)若f(場x)的雅娃克比洽矩陣膛在x=春xe時(shí)所癥有的賄特征自根多華于一慈個(gè)的吸實(shí)部樸大于產(chǎn)零。芽則系濫統(tǒng)在x=且xe處不哭穩(wěn)定擔(dān)。若f(柄x)的雅甘克比怕矩陣賠在x=段xe處有腿實(shí)部寒為零械的特躍征根鑒其他耐均為鞭負(fù)的賺實(shí)部保，則良系統(tǒng)暗的穩(wěn)述定性械由f(凍x)的高次階導(dǎo)次數(shù)決航定。北京皮科技阻大學(xué)排自動駝化學(xué)姜控制喝科學(xué)牲與工否程系*19例：甘設(shè)系蝕統(tǒng)的腰狀態(tài)嗎方程牢為：x1=x1-x2x1x2=-臥x2+x1x2試用怖第一永方法肯分析秒系統(tǒng)完在平狐衡狀甚態(tài)上拿的穩(wěn)宰定性包。5.灣2李雅融普諾鼠夫第表一方蒙法北京宵科技存大學(xué)們自動往化學(xué)嘆院控張制科徐學(xué)與然工程制系..*北京迎科技沒大學(xué)創(chuàng)自動示化學(xué)編院控季制科在學(xué)與是工程泳系205.閃3李雅旅普諾眾夫第茅二方諸法(通用拆方法)李雅竹普諾臥夫第捧二方剪法又凈稱直晝接法暴，它殖的基默本思房誠路不求是通施過求窗解系出統(tǒng)的而運(yùn)動宰方程戶，而程是借貓助于掃一個(gè)何李雅挑普諾功夫函茄數(shù)來羞直接萍對系概統(tǒng)平腦衡狀伯態(tài)的賀穩(wěn)定秋性做癢出判辛斷。

李雅普諾夫定義了一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(x),作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，然后根據(jù)的符號特征來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這個(gè)V(x)叫做李雅普諾夫函數(shù)。李雅站普諾斗夫第葉二方朗法的甜關(guān)鍵撞問題杰是尋降找李粱氏函素?cái)?shù)V(勒x)旁.*北京脾科技規(guī)大學(xué)拾自動但化學(xué)儉院控烘制科資學(xué)與慢工程怒系215.造3李雅捉普諾齊夫第守二方忠法(通用棚方法)平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定能量函數(shù)表示穩(wěn)定的示意圖*北京天科技圓大學(xué)哀自動革化學(xué)蜘院控掩制科煎學(xué)與民工程幻玉系225.序3李雅鍋普諾麻夫第數(shù)二方繪法(通用鑄方法)一：幅預(yù)備通知識標(biāo)量羽函數(shù)紋的符插號性干質(zhì)：設(shè)V(奇x)為由n維矢禁量x所定恭的標(biāo)魄量函弱數(shù)，交且在x=壯0處恒犬有V(缺x)軟=0添,對所怨有域亮中的墻任何率非零存矢量x，如燈果成冶立：1),則稱V(x)為正定的,例如：2),則稱V(x)為半正定的(或非負(fù)定的)，例如：3),則稱V(x)為負(fù)定的。4),則稱V(x)為半負(fù)定的,例如：

5)V(富x)呈>0或V(荷x)富<0越,則稱V(柄x)為不寺定的惱，例壁如：*北京唯科技淺大學(xué)本自動暫化學(xué)矮院控墓制科烤學(xué)與摸工程須系235.訊3李雅策普諾柏夫第劉二方閉法(通用輸方法)例5.眨4：判別便下列士各函雙數(shù)的悼符號符性質(zhì)1)設(shè)

，標(biāo)量函數(shù)為：

2)3)

，V(x)正定

*北京錯(cuò)科技愛大學(xué)斗自動神化學(xué)仇院控丘制科算學(xué)與倘工程透系245.因3李雅聰普諾咱夫第伴二方藏法(通用句方法)二次帆型標(biāo)賓量函事數(shù)：二次折型函清數(shù)在碌李雅勵(lì)普諾掠夫第角二法擦分析冷系統(tǒng)粱得穩(wěn)語定性滾中起借著重笑要的鋒作用逗。定義：（二次型標(biāo)量函數(shù)）設(shè)

是一侄向量僚，矩行陣P為實(shí)激對稱棉矩陣卸。則稱分：為二次順型標(biāo)謠量函緞數(shù)。*北京霧科技吸大學(xué)繞自動第化學(xué)扎院控雪制科戲?qū)W與蠶工程車系255.誼3李雅余普諾乏夫第謀二方倒法(通用儲方法)于是妻，我牙們常出稱為二喚次型礙函數(shù)服的標(biāo)北準(zhǔn)型鐵。定理：正定的充要條件是對稱矩陣P的所有特征值均大于零。簡證：令正交變換陣T,且則令:*北京湊科技邀大學(xué)恨自動顏化學(xué)匹院控浩制科跳學(xué)與從工程拋系265.家3李雅透普諾夕夫第之二方蟲法(通用義方法)二次金型標(biāo)閣量函眠數(shù)V(里x)中P的性渴質(zhì)和主說明海：1）若V(廊x)正定跌，則住稱P為正寬定，菜記蘋作P>汽0；2）若V(顆x)負(fù)定禍，則崗稱P為負(fù)須定，淘記插作P<亭0；3）若V(清x)半正毛定，所則稱P為半丙正定嘉，記排作P≥防0；4）若V(睛x)半負(fù)掃定，屈則稱P為半拌負(fù)定喜，記缸作P≤取0。由上血可見尤，P的符鋒號性雞質(zhì)與V(塞x)定義裙的符辮號性漆質(zhì)完全臟相同悔。*北京區(qū)科技痰大學(xué)閥自動弦化學(xué)嫂院控尤制科軋學(xué)與盆工程顆系275.恥3李雅誰普諾釀夫第彈二方葡法(通用育方法)二次目型標(biāo)撐量函喊數(shù)性猴質(zhì)的和判別隨方法情：定義沈法：見例5.資4。希爾維斯特判據(jù)法：設(shè)實(shí)對稱矩陣?yán)嚺械鴶嗳缪老翽陣對杰應(yīng)的孩二次庭型函騙數(shù)的徐正定掛性。(1哈)(2臣)半正宅定。正定。*北京足科技平大學(xué)書自動斃化學(xué)攜院控瞇制科守學(xué)與禍工程枝系285.決3李雅副普諾嘗夫第色二方趣法(通用殘方法)*北京秒科技蔬大學(xué)燈自動喉化學(xué)鍬院控揉制科太學(xué)與觀工程蹲系295.設(shè)3李雅旁普諾灑夫第抱二方尤法(通用籃方法)二：身李雅濫普諾擱夫第撈二方蓬法的受穩(wěn)定雨性判僚據(jù)設(shè)系捧統(tǒng)的填狀態(tài)處方程搖為,平衡朱狀態(tài)精為,如果緩存在挪一個(gè)閥標(biāo)量蜂函數(shù)V(獄x)諷,滿足新：(1卵)頃V(召x)對所陡有x都是淋有連套續(xù)的科一階沾偏導(dǎo)煎數(shù)；(2奔)彎V(摘x)是正皺定的身；(3扁)闊V(育x)沿狀派態(tài)軌善道方揚(yáng)向計(jì)流算的企時(shí)間閉導(dǎo)數(shù)分別林滿足差下列蜻條件億：

若為半負(fù)定，那么平衡狀態(tài)李雅普諾夫意義下穩(wěn)定——稱為李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)。*北京慣科技企大學(xué)殃自動禁化學(xué)肉院控藥制科明學(xué)與津工程她系305.行3李雅李普諾曬夫第鐮二方途法(通用潑方法)

3)若為正定，那么平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的——李雅普諾夫不穩(wěn)定判據(jù)。任意初始狀態(tài)來說，除去x=0處，對

不恒為零，那么原點(diǎn)平衡狀態(tài)時(shí)漸近穩(wěn)定的，如果進(jìn)一步還有，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的——李雅普諾夫漸近穩(wěn)定判據(jù)。為半負(fù)定，但對2)若為負(fù)定，或者雖然*北京食科技活大學(xué)在自動械化學(xué)孔院控施制科即學(xué)與肯工程集系31幾點(diǎn)暴說明奮：

1)對于同一個(gè)系統(tǒng)(不論它是線性的，還是非線性的)，可以找到不同的V(x)。只要能找到使負(fù)定或半負(fù)定的V(x)（正定），則按照上述判據(jù)即知系統(tǒng)穩(wěn)定性情況。5.關(guān)3李雅讓普諾盒夫第錦二方冶法(通用沸方法)

2)即使找不到使V(x)正定，負(fù)定的V(x)，也不能說明該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，而只是你沒有找到而已，當(dāng)然若找到了符合條件（3）的V(x)則可證明系統(tǒng)不穩(wěn)定，找不到符合上面1）、2）、3）的V(x)不能下結(jié)論。*北京唐科技匯大學(xué)捆自動酬化學(xué)僑院控晃制科晝學(xué)與棋工程壺系325.廈3李雅剛普諾片夫第淘二方耗法(通用難方法)3)對于鵲，榆則隙，扎這意畫味著煩運(yùn)動將在撿形成圣的曲管面上的運(yùn)動且而不淡會收萌斂于塞原點(diǎn)，辜這相運(yùn)當(dāng)于堵極限紐奉環(huán)或惹者臨齡界穩(wěn)戲定。

4)若，這時(shí)運(yùn)動軌跡只在某一時(shí)刻與某特定曲面相切，運(yùn)動軌跡通過切點(diǎn)后會繼續(xù)向原點(diǎn)收斂，因此此情況的屬于漸進(jìn)穩(wěn)定。*北京擋科技揉大學(xué)詞自動恢化學(xué)凡院控逐制科固學(xué)與毅工程綱系335.僻3李雅欄普諾亞夫第哄二方四法(通用氣方法)例：已知乎系統(tǒng)輸狀態(tài)速方程則為：試分木析系儉統(tǒng)平織衡狀減態(tài)的零穩(wěn)定傭性，(線性浴系統(tǒng)敗的穩(wěn)達(dá)定性拆只與A有關(guān)憂，與歪控制某和輸輕出無較關(guān))。解：（1）求拍平衡賤狀態(tài)陰：（2）選茫取李逼雅普潤諾夫?qū)雍瘮?shù)V(極x)禮,（多質(zhì)半線展性狀庭態(tài)方弄程系認(rèn)統(tǒng)可病選擇嗎標(biāo)準(zhǔn)瞧二次象型的V(你x)）*北京真科技方大學(xué)鋸自動休化學(xué)后院控壯制科捕學(xué)與廁工程伍系345.特3李雅誰普諾龜夫第斑二方滑法(通用季方法)(3)求

可見只要就有成立。下面需要討論當(dāng)成立否

若狀態(tài)垮方程已知條件矛盾可見不可能成立，∴該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定。*北京惠科技粘大學(xué)岡自動港化學(xué)禾院控秒制科塑學(xué)與篇工程墨系355.離3李雅框普諾造夫第尿二方誦法(通用抵方法)另選一個(gè)李氏函數(shù)，再判斷前面這道例題的穩(wěn)定性問題。(4綠)判斷喝大范廣圍漸亂進(jìn)穩(wěn)認(rèn)定性大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定性*北京閥科技友大學(xué)艱自動越化學(xué)株院控食制科索學(xué)與蹄工程決系365.蹲3李雅晶普諾仆夫第曠二方服法(通用瘡方法)系統(tǒng)的運(yùn)動方程：取m=1時(shí)，系統(tǒng)的方程為取x1=x（位移），x2=系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

系統(tǒng)的能量為：V(x)=F(x1，x2)=*北京任科技寒大學(xué)蒸自動松化學(xué)某院控船制科棗學(xué)與璃工程問系375.奸3李雅溫普諾藏夫第株二方壟法(通用租方法)∴半負(fù)齡定。系統(tǒng)番在x=廣0處大攔范圍盤漸進(jìn)齡穩(wěn)定繩的此系余統(tǒng)位冶移不抱為零連時(shí)，愛速度畏也不狹為零缺。所撕以在脂系統(tǒng)它運(yùn)動睡軌跡佩上*北京練科技并大學(xué)脂自動凍化學(xué)助院控捕制科悶學(xué)與神工程憶系385.叮3李雅患普諾朵夫第櫻二方移法(通用歐方法)例：已知些非線璃性狀盞態(tài)方應(yīng)程，試判沿別系腰統(tǒng)的暈穩(wěn)定俯性。解：材①求滲平衡票狀態(tài)

由得是唯一解*北京突科技短大學(xué)拾自動掃化學(xué)鄭院控輩制科憑學(xué)與借工程皮系39③求腎，傘因此梢該系統(tǒng)渡是漸替進(jìn)穩(wěn)稻定的勒。5.城3李雅燒普諾區(qū)夫第由二方錢法(通用盤方法)②取當(dāng)∴是大作范圍經(jīng)漸進(jìn)前穩(wěn)定般的。例：設(shè)系鞋統(tǒng)狀感態(tài)方大程如撒下，壁試判虛定其貞穩(wěn)定油性。解：①求毅平衡柴點(diǎn)②取*北京快科技傭大學(xué)態(tài)自動宅化學(xué)偷院控捧制科對學(xué)與稻工程墊系405.趣3李雅竿普諾季夫第胞二方斑法(通用知方法)③求④穩(wěn)定示性分花析幾點(diǎn)呼說明賀：1)李氏餐穩(wěn)定撤判定辭方法獄的關(guān)低鍵是伏找v(廊x)，但賠并沒攝有提纖供找v(撲x)的方竿法；*北京營科技剛大學(xué)戶自動木化學(xué)揪院控江制科爸學(xué)與努工程觸系415.蠢3李雅喇普諾脆夫第敢二方生法(通用較方法)4）由柴于構(gòu)霜造v(壩x)較難艱，因腦此實(shí)王際上受李氏團(tuán)判據(jù)則主要植用于正其他號方法但無法宏判定夏的情斤況。恰我們劣則主榴要掌陣握對階線性魔系統(tǒng)魚的判姓定。3）v(灣x)函數(shù)勸只提壓供了騎系統(tǒng)溫在瞧附險(xiǎn)近的池穩(wěn)定抹情況笛，域外情牧況由裂的回情況污來延點(diǎn)伸。2)對于蓬一個(gè)奶給定課系統(tǒng)v(類x)的選膏取一章般不路是唯帳一的靠，但碼并不詳影響臥結(jié)論桿的一女致性證；*北京滲科技剝大學(xué)移自動條化學(xué)幕院控雁制科壺學(xué)與怕工程梳系425.序4李雅桃普洛纏夫方窮法在溝線性建系統(tǒng)微中的仙應(yīng)用一：收線性喉定常庭連續(xù)辟系統(tǒng)燙漸進(jìn)態(tài)穩(wěn)定剩性判科據(jù)為漸沉進(jìn)穩(wěn)只定的套充要揭條件余是：樂對任峽意給溪定的懶正定終實(shí)對畏稱矩恒陣Q，必秤定存犧在正綿定的寒實(shí)對棍稱矩辣陣P,滿足杰李雅沃普諾虎夫方遠(yuǎn)程。定理擦：設(shè)線永性定寶常系惱統(tǒng)為隊(duì)（A，B，C）則夸平衡贏狀態(tài)并且:是系釋統(tǒng)的忙李雅爽普諾蟻夫函華數(shù)。證明拜：充分浪性：若P為正六定的勁，則濃取則V(筍x)正定*北京遍科技握大學(xué)派自動諷化學(xué)贏院控且制科壤學(xué)與拌工程撕系435.聯(lián)4李雅耽普洛嗓夫方計(jì)法在疼線性騾系統(tǒng)孔中的唇應(yīng)用負(fù)定康。所以系統(tǒng)在處漸近穩(wěn)定。必要丑性：系統(tǒng)在處漸近穩(wěn)定，則P唯一正定?？疾炝⒎匠?，*北京文科技秒大學(xué)歌自動末化學(xué)團(tuán)院控貝制科敗學(xué)與藝工程餐系445.泄4李雅啞普洛筆夫方機(jī)法在別線性濱系統(tǒng)籠中的比應(yīng)用P對稱P正定*北京堅(jiān)科技年大學(xué)揮自動里化學(xué)由院控辭制科央學(xué)與紡工程醒系45用該噸判據(jù)燭判定腐線性足定常及系統(tǒng)翅的穩(wěn)霜定性僅請注鴨意以位下幾擠點(diǎn)：5.渣4李雅也普洛葉夫方灑法在霞線性俯系統(tǒng)曲中的栽應(yīng)用

常先取Q=I，由求出P，再判定P的正定性.若P正定則大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。

若沿任一軌跡不會恒為零,Q可取半正定。例1：試分賄析如黃下系俘統(tǒng)的監(jiān)狀態(tài)汪方程責(zé)平衡目點(diǎn)的直穩(wěn)定檢性。解：設(shè)Q=稱I*北京以科技言大學(xué)輔自動源化學(xué)羊院控淺制科宴學(xué)與限工程受系465.肅4李雅呆普洛絹夫方鉛法在派線性吸系統(tǒng)洗中的她應(yīng)用則由兼：解得現(xiàn)：故P是正第定的掉，系椅統(tǒng)在覽平衡谷點(diǎn)一齡大范肥圍漸曠近穩(wěn)扎定的頌。*北京痰科技稿大學(xué)擇自動塘化學(xué)世院控廚制科蹦學(xué)與恨工程劣系475.塊4李雅毅普洛填夫方穴法在裂線性額系統(tǒng)聚中的奮應(yīng)用二：筑線性菠時(shí)變釘連續(xù)浪系統(tǒng)傷漸進(jìn)曉穩(wěn)定查性判登據(jù)為一及致漸胳進(jìn)穩(wěn)聾定的役充要直條件宋是：冊對任符意給伸定的燈一致帆有界即正定帽實(shí)對鴨稱矩漸陣Q(綱t)，必偏定存拳唯一圈的實(shí)摧對稱慨矩陣P一致聯(lián)有界模、正餓定,并滿蹤蝶足李恭雅普手諾夫品方程厚。定理賠：設(shè)線轎性定凈時(shí)變胸系統(tǒng)計(jì)為(A毯(t組),熔B(渠t)挪)，則跨平衡作狀態(tài)*485.壺4李雅筋普洛刪夫方項(xiàng)法在雨線性睡系統(tǒng)灑中的沒應(yīng)用三．報(bào)線性磁定常速離散途系統(tǒng)檔漸近江穩(wěn)定住判據(jù)定理激：設(shè)線筍性定迷常離席散時(shí)歡間系抄統(tǒng)的錄狀態(tài)汪方程譽(yù)為：則平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對于任意給韻定的煎正定栽實(shí)對肉數(shù)矩語陣Q，必融存在控一個(gè)疑正定獄實(shí)對舞稱矩陣P，滿結(jié)足：系統(tǒng)園的李驅(qū)雅普梢諾夫掀函數(shù)氧為：北京時(shí)科技你大學(xué)采自動濫化學(xué)屑控制此科學(xué)愿與工化程系*495.扛4李雅莖普洛嘗夫方混法在丟線性獅系統(tǒng)紫中的疲應(yīng)用例：設(shè)線園