2.17-1 抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的講義

劉芳科老抽象函單調(diào)性與奇性特殊模型正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0)

抽象函數(shù)f(x+y)=f(x)+f(y)冪函數(shù)f(x)=x

n

f(xy)=f(x)f(y)[或

f(

xf(x))yf(y)

]指數(shù)函數(shù)f(x)=a

x

(a>0且a≠1)

f(x+y)=f(x)f(y)[

或fxy)

f()f(y對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logx(a>0且a≠1)a

f(xy)=f(x)+f(y)[

或f(

xy

)f()f(y)]正、余弦函數(shù)f(x)=sinxf(x)=cosx

f(x+T)=f(x)正切函數(shù)f(x)=tanx余切函數(shù)f(x)=cotx

fx)f(xy)

fx)f(y)f(xf(y)fxf(y)f(xfy)1.已知f()(()f(),對(duì)一切實(shí)數(shù)、y成立，且f,求(x偶函數(shù)。證明：令=0,已知等式變?yōu)閒(y)f()(0)f()……①在①中令y=0則2=2(0)∵f0∴f∴(y)f()f(y)∴f(f()∴f()為偶函數(shù)。2.奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，）內(nèi)遞減，求滿足(1)f)的實(shí)的取值范圍。解：由f(1)

2

)得f

2

)，∵f(x)為奇函數(shù)，∴(1)f

2

又∵f()在（-1，1）內(nèi)遞減，∴

0mm

3.如果f()=ax

(a>0)對(duì)任意t)f),比較、(2)、(4)大小解：對(duì)任有f)f2∴x=2為拋物線=

的對(duì)稱軸又∵其開口向上∴f(2)最小，f(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，(x)增函數(shù)∴f(3)<(4),∴f(2)<f(1)<(4)

劉芳科老師4.已知函數(shù)f（）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，，均有（＋）＝f（）＋（y），且當(dāng)x＞時(shí)，f（）＞0，f（－1）＝－2，求（）在區(qū)間[－2，1]上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)（x）是究它的單調(diào)性。

的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)（x）的值域，關(guān)鍵在于研解：設(shè)

，∵當(dāng)

，∴，∵

，∴，即

，∴f（）為增函數(shù)。在條件中，令y－，則，再令x＝＝0，則f（0）＝2（0），∴f（）＝0，故f（－）＝f（），（）為奇函數(shù)，∴f（）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2（－1）＝－4，∴f（）的值域?yàn)椋郏?，2］。5.已知函數(shù)（）對(duì)任意，滿足條件f（）＋（）＝2+（x＋），且當(dāng)x＞時(shí)，（x）＞2，f（）＝5，求不等式的解。分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f（）是y＝＋2的抽象函數(shù)，且f（）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。解：設(shè)

，∵當(dāng)即∴

，∴，則，，∴f（）為單調(diào)增函數(shù)?！?，又∵（3）＝5，（1）＝3。，∴，即，解得不等式的解為－1<a<3。6.設(shè)函數(shù)f（）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在

，使得，對(duì)任何x和y，

成立。求：（1）f（）；（2）對(duì)任意值x，判斷f（）值的正負(fù)。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f）是指數(shù)函數(shù)

的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）＝1且f（）＞0。解：（1）令y＝代入

，則

，∴。若（x）0，則對(duì)任意0，∴f（）＝1。

，有

，這與題設(shè)矛盾，∴（）≠（2）令y＝≠0，則（x）＞0，故對(duì)任意，（x）＞0恒成立。

，又由（1）知f（）≠0，∴f（x）＞0，即f7.是否存在函數(shù)f），使下列三個(gè)條件：①f（）＞0，x∈N；②③f（）＝4。同時(shí)成立？若存在，求出f（）的解析式，如不存在，說明理由。

；分析：由題設(shè)可猜想存在納法證明如下：

，又由（2）＝4可得a2．故猜測(cè)存在函數(shù)

，用數(shù)學(xué)歸

劉芳科老師（1）＝1時(shí)，∵結(jié)論正確。（2）假設(shè)

時(shí)有

，又∵∈N，（）＞∴，x＝＋1時(shí)，

，∴x＝k＋時(shí)，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)

。8.設(shè)f（）是定義在（0，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足（1）f（）；（2）若f（）＋f（－8）≤2，求x的取值范圍。

，求：分析：由題設(shè)可猜測(cè)f）是對(duì)數(shù)函數(shù)解：（1）∵

的抽象函數(shù)，f1）＝0，（9）＝2。，∴f（）＝0。（2）即

，從而有f（）＋f－8）≤f（），，∵f（）是（0，＋∞）上的增函數(shù)，故，解之得：8＜x≤。9.設(shè)函數(shù)y＝（的反函數(shù)是y＝（x如果（）（＋（b），那么（＋b）（ag（b）是否正確，試說明理由。分析:由題設(shè)條件可猜測(cè)y＝（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又∵＝f（）的反函數(shù)是y＝（x），∴y＝（x）必為指數(shù)函數(shù)抽象函數(shù)，于是猜想g（＋b）＝（a）·（b）正確。解：設(shè)f（）＝m，（）＝n，由于g（）是（）的反函數(shù)，∴g（）＝，g（）＝b，從而，∴（m）·（）＝（＋n），a、b分別代替上式中的m、即得g（＋）＝（a）·（b）。10.己知函數(shù)f）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三條件：①當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí)，有；②f（）＝－1（a＞，a定義域中的一個(gè)數(shù)）；③當(dāng)0＜x＜a，（）＜0。試問：（1）f（）的奇偶性如何？說明理由。（2）在（0，4a上,（）的單調(diào)性如何？說明理由。分析:由題設(shè)知f（）是y=-cotx的抽象函數(shù)，從而由及題設(shè)條件猜想：（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函數(shù)（里把a(bǔ)看成

進(jìn)行猜想）。解：（1）∵f（）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

是定義域中的數(shù)時(shí)有

劉芳科老師，∴

在定義域中。∵，∴f（）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0＜x＜x＜2a，則0＜x＜2，∵在（0，2a）上（x）＜0，1221∴（x）（x，（x－x）均小于零，進(jìn)而知1221＜f（，∴在（0，2a）上f（）是增函數(shù)。2

中的，于是（x1又＜x＜a，則0＜－2＜2，

，∵f（）＝－1，∴

，∴f（a）＝0，設(shè)2a，于是（x）0，即在（2，4a）（x）0。設(shè)2＜x＜1x＜40＜x－x＜2a而知x大于零x0，2211221∴，即（x）＜（x），即（x）在（2a，a）上也是增函數(shù)。綜上所述（x）在（04a）上是增函數(shù)。1211.已知函數(shù)（x）對(duì)任意實(shí)x、都有f（）＝（）·（y），且（－1）＝1（27）＝9，當(dāng)時(shí)，。（1）判斷f（）的奇偶性；（2）判斷f（）在［0，＋∞）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f）是冪函數(shù)

的抽象函數(shù)，從而可猜想f（）是偶函數(shù)，且在［0，＋∞）上是增函數(shù)。解：（1）令y＝－1，則（－x）＝f（）·（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－）＝f（），（）為偶函數(shù)。（2）設(shè)

，∴

，，∵

時(shí)，

，∴

，∴f（）＜（x，故（x）在0，＋∞）上是增函數(shù)。12（3）∵f（27）＝9，又

，∴

，∴

，∵

，∴

，∵

，∴

，又，故

。

劉芳科老師12.設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)求證：在R上為增函數(shù)。

時(shí)，

，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，有

，證明：在若，令所以，即有當(dāng)時(shí)，而所以又當(dāng)時(shí)，

中取，則；當(dāng)

時(shí)，

，得，與

矛盾所以對(duì)任意設(shè)所以所以13.已知函數(shù)

，恒有，則在R上為增函數(shù)。對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)

都有試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解：取

得：

，所以又取再取因?yàn)?/p>

得：則為非零函數(shù)，所以

，所以，即為偶函數(shù)。14.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)m有判斷f(x)的單調(diào)性；

且當(dāng)0<f(x)<1。解：在

中，令

，得

，因?yàn)?/p>

，所以。在

中，令

因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，所以當(dāng)

時(shí)

而

所以又當(dāng)x=0時(shí)，

，所以，綜上可知，對(duì)于任意

，均有

。設(shè)

，則所以

所以

在R上為減函數(shù)。15.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時(shí)f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.解析:由單調(diào)性的定義步驟設(shè)x<x,則f(x)=f(x-x+x)=f(x-x)+f(x)<f(x).（∵x∴122211211121f(x-x)<0）21

1212xx21111221211212111211121211212xx2111122121121211121112121121所以f(x)是R上的減函數(shù),故在[-3,3]上的最大值為f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,小值為f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,f(x)為奇函數(shù).∴f(-3)=-f(3)=6.16.設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)時(shí)，f(x)>1,且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)f(x)在R上為增函數(shù)。

求證：證明：設(shè)R上x<x，則f(x)>1，1221f(x)=f(x-x+x)=f(x-x)f(x注意此處不能直接得大于f(x)，因?yàn)閒(x的正負(fù)還沒確定)。221121111取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若0令x>0,y=0則f(x)=0與x>0時(shí)矛盾以f(0)=1，x>0時(shí)，f(x)>1>0,x<0時(shí)，-x>0f(-x)>1,∴由

f()fx)f)得f()

1f()

0

，故f(x)>0，從而f(x)>f(x).即f(x)在R上是增函數(shù)。2117.已知偶函()的定義域≠0的一切實(shí)數(shù)義域內(nèi)的任xx有x()fx)，12且當(dāng)f()0,f，（1）f()在(0,+∞)上是增函數(shù)；（2）解不等式f2解：（1）設(shè)，則xxxf(x)f()f(x)f(x)f(()f(x)f()xx∵x∴，∴(2)0，即))，∴()(x)x∴f(x)(0,是增函數(shù)（2）f(2)，f((f(()是偶∴不fx2可為f(|

1f函數(shù)(0,是增函數(shù)，∴|22

解得：

{

10xx}218.已知函數(shù)f()的定義域?yàn)镽，且對(duì)m、∈R,恒有(m+)=(m)+f()－1,且f(－)=0,當(dāng)>－時(shí)，2f(x)>0.求證：f()是單調(diào)遞增函數(shù)；證明：設(shè)x＜x,則xx>－,由題意f(x－)>0,2∵f(x－f((xxx(xf(x－xf(x)－－f(x)=(xx)－1=(x－x)+(－)2－1=f［xx)－］>0,∴f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)219.定義在R+上的函數(shù)f(x)滿足①對(duì)任意實(shí)數(shù)m,f(xm)=mf(x);②f(2)=1.(1)求證:f(xy)=f(x)+f(y)對(duì)任意正數(shù)都成立;(2)證明f(x)是R

+

上的單調(diào)增函數(shù);(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范圍.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n實(shí)數(shù),則f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.

mn劉芳科老師mn又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,以f(xy)=f(x)+f(y)(2)證,,x12(1)f(x)f(x)(故f(x)<f(x),即f(x)是R+上的增函數(shù)12

xx

)(2

)(m(2)(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性質(zhì)得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(4)，解得3<x≤4.20.已知函數(shù)(xxR，對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)、x都有f()fx)f(x)試判斷函22數(shù)fx）的奇偶性。解：取x得：(f，所以f(1)又取xx：ff(，所以f(2再取xx(f((即)()因?yàn)?)為非零函數(shù)，所以f(x)偶函數(shù)。21.已知函f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿求證：f(x)是奇函數(shù)。

f()f()f()(x)

a證明：設(shè)t=x-y,則f((y

f()(xfy)f(xt)，所以f(x)為奇函數(shù)。f()f(y)f()x22.定義在R上的單調(diào)函數(shù)(x)滿足f(3)=log3且對(duì)任意x，∈R都有(+y)=()+f(y)．(1)求證f()為奇函數(shù)；(2)若f(·3

x

)+f(3

x

-9

x

-2)＜0對(duì)任意xR成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)----①y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)即f(0)=0．即f(-x)=-f(x)對(duì)任意∈R成立，∴f(x)是奇函數(shù)．(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)又f(x)R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)．f(k·3

x

)＜-f(3

x

-9

x

-2)=f(-3

x

+9

x

+2)，k·3

x

＜-3

x

+9

x

+2，3

2x

-(1+k)·3

x

+2＞0對(duì)任意x∈R成立．分離系數(shù)由k·3

x

＜-3

x

+9

x

+2k

22而u33要使對(duì)

x

不等式

k

23

恒成立，只需k<

22

11劉芳科老師11上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解．23.已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的函數(shù)都滿足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;解:(1)、