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近世代數(shù)第二章群論§2元素的階

5/23/2023

02:41元素的指數(shù)在群中，由于結(jié)合律成立，有意義，據(jù)此,可定義群的元素的指數(shù):

設(shè)為正整數(shù),則規(guī)定:顯然有，，其中為任意整數(shù).

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02:41定義1設(shè)為群的一個(gè)元素，使的最小正整數(shù)叫做元素的階，記作；若不存在這樣的，則稱的階顯然，群中單位元的階為1，其他元的階為無限.都大于1，

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02:41例1關(guān)于數(shù)的普通乘法做成4次單位根群.

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02:41例2正有理數(shù)乘群單位元的階是1，其他元的階均為無限.例3非零有理數(shù)乘群1的階是1，-1的階是2，其余元的階均為無限.

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02:41定理1有限群中每個(gè)元素的階均有限.，在中必有相等的.設(shè)則，從而階有限.證明：設(shè)

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02:41注：無限群中元素的階可能無限，也可能有限，，其中是次單位根群關(guān)于普通乘法作成無限交換群，甚至可能都有限.例4，則其中每個(gè)元素的階都有限.

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02:41定理2若群中，則證明：令，，則.證明中，只需證.（2）若

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02:41定理3若群中，則，其中為任意的整數(shù).設(shè)，則證明：

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02:41兩個(gè)推論：推論1在群中，若,則，其中s，t均為正整數(shù).推論2在群中，若，則

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02:41定理4在群中，若，，則當(dāng)且時(shí)，證明：，，，于是若同理，

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02:41例5|ab|一定等于|a||b|嗎？是有理數(shù)域Q上的全體二階滿秩方陣關(guān)于矩陣乘法做成的群.

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02:41例5|ab|一定等于|a||b|嗎？是有理數(shù)域Q上的全體二階滿秩方陣關(guān)于矩陣乘法做成的群.

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02:41思考題：設(shè)G是群，且|G|>1.證明：若G中除e外其余元

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