高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習(xí)第四十五講空間點直線平面之間的位置關(guān)系

關(guān)于高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習(xí)第四十五講空間點直線平面之間的位置關(guān)系共50頁1第1頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁2回歸課本第2頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁31.平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).公理2:過不在同一直線上的三點,有且只有一個平面.注意:公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.第3頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁4注意:用途公理1證明點在平面內(nèi)②證明直線在平面內(nèi)公理2確定平面的條件②證明有關(guān)點、線共面問題公理3①確定兩個平面的交線②證明三點共線或三線共點第4頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁52.空間直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系:①共面與否②公共點個數(shù)

第5頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁6

(2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)公理5:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.第6頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁7(4)異面直線的夾角:①定義:已知兩條異面直線a、b經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a,b′∥b,我們把兩相交直線a′,b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a、b所成的角(或夾角).②范圍:θ∈特別地:如果兩異面直線所成的角是90°,我們就稱這兩條直線互相垂直,記作a⊥b.

第7頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁83.空間中的直線與平面的位置關(guān)系第8頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁94.平面與平面的位置關(guān)系有兩種第9頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁10注意:符合語言:(1)點與線:A∈l,A?l.(2)點與面:A∈α,A?α.(3)線與線:l1∥l2,l1∩l2=O,l1與l2異面.(4)線與面:l?α,l?α(l∩α=A,或l∥α).(5)面與面:α∥β,α∩β=l.第10頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁11考點陪練第11頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁121.下列命題中正確的是()A.三點確定一個平面B.兩條直線確定一個平面C.兩兩相交的三條直線一定在同一平面內(nèi)D.過同一點的三條直線不一定在同一平面內(nèi)解析:A、B、C均不滿足公理2及其推論,故D正確.答案:D第12頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁132.若A表示點,a表示直線,α、β表示平面,則下列表述中,錯誤的是()A.a?α,A∈a?A∈αB.a?α,A∈a?A?αC.A∈α,A∈β,α∩β=a?A∈aD.A∈a,A?α?a?α第13頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁14解析:a?α的含義是a上所有點都在平面α上,故A正確;反之直線a上有一點不在α上,就說明a?α,故D正確,但是a?α并不代表所有點都不在α上,故B錯誤.C就是公理3,故C正確.答案:B第14頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁153.給出下面四個命題:①如果直線a∥c,b∥c,那么a,b可以確定一個平面;②如果直線a和b都與直線c相交,那么a,b可以確定一個平面;③如果a⊥c,b⊥c,那么a,b可以確定一個平面;④直線a過平面α內(nèi)一點與平面α外一點,直線b在平面α內(nèi)不過該點,那么a和b是異面直線.第15頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁16上述命題中,真命題的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個解析:①中,由公理4知,a∥b,故①正確;②中,a,b可能異面,故②錯誤;③中,a,b可能異面,故③錯誤;④正確.答案:B第16頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁174.在正方體ABCD—A′B′C′D′中,E?F分別為棱AA′?CC′的中點,則在空間中與三條直線A′D′?EF?CD都相交的直線()A.不存在 B.有且只有兩條C.有且只有三條 D.有無數(shù)條第17頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁18解析:在A′D′延長線上取一點H,使A′D′=D′H,在DC延長線上取一點G,使CG=2DC,連接HG與EF交于一點,延長DC.連接D′F必與DC延長線相交,延長D′A′,連接DE必與D′A′延長線相交.連接A′C與EF交于EF中點,故選D.答案:D第18頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁195.三條直線兩兩垂直,那么在下列四個結(jié)論中,正確的結(jié)論共有()①這三條直線必共點;②其中必有兩條是異面直線;③三條直線不可能共面;④其中必有兩條在同一平面內(nèi)A.4個B.3個C.2個D.1個第19頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁20解析:(1)三條直線兩兩垂直時,它們可能共點(如正方體同一個頂點上的三條棱),也可能不共點(如正方體ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故結(jié)論①不正確,也說明必有結(jié)論②不正確;如果三條直線在同一個平面內(nèi),根據(jù)平面幾何中的垂直于同一條直線的兩條直線平行,就導(dǎo)出了其中兩條直線既平行又垂直的矛盾結(jié)論,故三條直線不可能在同一個平面內(nèi),結(jié)論③正確;第20頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁21三條直線兩兩垂直,這三條直線可能任何兩條都不相交,即任意兩條都異面(如正方體ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,BC和C1D1),故結(jié)論④不正確.故選D.答案:D第21頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁22類型一 點共線問題解題準(zhǔn)備:證明共線問題的常用方法(1)可由兩點連一條直線,再驗證其他各點均在這條直線上;(2)可直接驗證這些點都在同一條特定的直線上——相交兩平面的唯一交線,關(guān)鍵是通過繪出圖形,作出兩個適當(dāng)?shù)钠矫婊蜉o助平面,證明這些點是這兩個平面的公共點.第22頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁23【典例1】已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,E?F分別為D1C1?C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D?B?F?E四點共面;(2)若A1C交平面DBFE于R點,則P?Q?R三點共線.第23頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁24[解](1)如圖所示,因為EF是△D1B1C1的中位線,所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD確定一個平面,即D?B?F?E四點共面.

第24頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁25(2)在正方體AC1中,設(shè)A1ACC1確定的平面為α,又設(shè)平面BDEF為β.因為Q∈A1C1,所以Q∈α,又Q∈EF,所以Q∈β.則Q是α與β的公共點,同理,P點也是α與β的公共點.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,則R∈PQ,故P?Q?R三點共線.第25頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁26類型二 線共點問題解題準(zhǔn)備:證明共點問題,常用的方法是:先證其中兩條直線交于一點,再證交點在第三條直線上,有時也可將問題轉(zhuǎn)化為證明三點共線.第26頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁27【典例2】如圖所示,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,E?F分別為棱AB,AA1的中點.求證:三條直線DA,CE,D1F交于一點.第27頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁28

[證明]直線DA?平面AD1,直線D1F?平面AD1,顯然直線DA與直線D1F不平行,設(shè)直線DA與直線D1F交于點M.同樣,直線DA與直線CE都在平面AC內(nèi)且不平行,設(shè)直線AD與直線CE相交于點M′.又E?F為棱AB?AA1的中點,∴易知MA=AD,M′A=AD,所以M?M′為直線AD上的同一點,因此,三條直線DA?CE?D1F交于一點.第28頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁29

[反思感悟]設(shè)直線DA與直線D1F交于點M,直線DA與直線CE交于M′,再證明M,M′重合.證明三線共點,可以先說明其中兩條交于一點M,另兩條交于一點N,再想法證明M,N兩點重合.另一種方法是:先證明其中兩條直線交于一點,再證明這個點在第三條直線上.如本題可先說明直線CE和直線D1F共面且交于一點P,而點P既在平面AD1內(nèi),也在平面AC內(nèi),所以點P在它們的交線AD上.第29頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁30類型三 線共面問題解題準(zhǔn)備:證明共面問題的常用方法證明若干條線(或若干個點)共面,一般來說有兩種途徑:一是首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內(nèi);二是將所有元素分為幾個部分,然后分別確定幾個平面,再證這些平面重合.第30頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁31【典例3】已知:a,b,c,d是不共點且兩兩相交的四條直線,求證:a,b,c,d共面.[證明]弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義:四條直線不共點,包括有三條直線共點的情況;兩兩相交是指任何兩條直線都相交.第31頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁32

(1)當(dāng)四條直線中有三條相交于一點時,不妨設(shè)a,b,c相交于一點A,∴直線d和A確定一個平面α.(如右圖)又設(shè)直線d與a,b,c分別相交于E,F,G,則A,E,F,G∈α,∵A,E∈α,A,E∈a,∴a∈α.同理可證b?α,c?α,∴a,b,c,d在同一平面α內(nèi).第32頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁33(2)當(dāng)四條直線中任何三條都不共點時,如右圖.∵這四條直線兩兩相交,則設(shè)相交直線a,b確定一個平面α.設(shè)直線c與a,b分別交于點H,K,則H,K∈α.又∵H,K∈c,∴c?α.同理可證d?α.∴a,b,c,d四條直線在同一平面α內(nèi).第33頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁34

[反思感悟]證明若干條線(或若干個點)共面,一般來說有兩種途徑:一是首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內(nèi);二是將所有元素分為幾個部分,然后分別確定幾個平面,再證這些平面重合.本題最容易忽視“三線共點”這一種情況.因此,在分析題意時,應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義.第34頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁35類型四 異面直線所成的角解題準(zhǔn)備:1.求異面直線所成的角,關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交,或?qū)蓷l直線同時平移到某個位置,使其相交.平移直線的方法有:①直線平移,②中位線平移,③補形平移.2.求異面直線所成的角的一般步驟:一作:即據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;二證:即證明作出的角是異面直線所成的角;三求:在三角形中求得直線所成的角的某個三角函數(shù)值.第35頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁36【典例4】在空間四邊形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,對角線求AC和BD所成的角.第36頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁37

[解]作平行線,找與異面直線所成的角相等的平面角,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.如圖,分別取AD?CD?AB?BD的中點E?F?G?H,連接EF?FH?HG?GE?GF.第37頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁38由三角形的中位線定理知,EF∥AC,且EF=,GE∥BD,且GE=.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理,GH∥AD,HF∥BC.又AD⊥BC,∴∠GHF=90°,∴GF2=GH2+HF2=1.第38頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁39在△EFG中EG2+EF2=1=GF2,∴∠GEF=90°,即AC和BD所成的角為90°.第39頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁40[反思感悟]立體幾何中,計算問題的一般步驟:(1)作圖;(2)證明;(3)計算.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”,平移的解法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行.第40頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁41錯源一 基本性質(zhì)理解不到位【典例1】下列說法正確的有()(1)在凹凸不平的地面上使用四條腿的凳子比三條腿的凳子更平穩(wěn);(2)兩個平面有可能只有一個公共點;(3)如果有n條直線都平行于某一條直線,那么這n+1條直線一定互相平行.A.0個B.1個C.2個D.3個第41頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁42[剖析]錯解對于基本性質(zhì)理解不到位.在凹凸不平的地面上使用凳子是否平穩(wěn)并不取決于凳子腿個數(shù)的多少,由基本性質(zhì)2可知,三條腿的凳子更平穩(wěn);兩個平面不可能只有一個公共點,由基本性質(zhì)3可知,如果兩個平面有一個公共點,那么它們有且僅有一條通過這個公共點的公共直線,也就是說,如果兩個平面有一個公共點,則它們一定有無數(shù)個公共點;由基本性質(zhì)4可知,如果有n條直線都平行于某一條直線,那么這n+1條直線一定互相平行.[正解]B第42頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁43錯源二對基本性質(zhì)及其推論的使用條件不當(dāng)而致誤【典例2】如圖,已知直線a,b,c,a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求證:a,b,c三條直線共面.[錯證]因為a∥b,所以a,b共面,因為a∩c=A,所以a,c共面,因為b∩c=B,所以b,c共面.所以a,b,c三條直線共面.第43頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁44

[剖析]上述“證明”中出現(xiàn)了三次共面,設(shè)為α1,α2,α3,由于無法得知α1,α2,α3是否為同一平面,因此,不能說a,b,c三條直線共面.[證明]因為a∥b,所以a,b可確定一個平面,設(shè)為α.因為α∩c=A,所以A∈a,又a?α,所以A∈α,同理B∈α,故AB?α,即c?α.于是a,b,c在同一平面α內(nèi),即a,b,c三條直線共面.第44頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁45技法一 快速解題(動手操作)【典例1】已知直線a與直線b相交于點P,a與b夾角(交角中不大于90°的角)為60°,試問空間中過點P的所有直線中:(1)與直線a、b夾角均為10°的直線有________條;(2)與直線a、b夾角均為30°的直線有________條;(3)與直線a、b夾角均為45°的直線有________條;(4)與直線a、b夾角均為60°的直線有________條;(5)與直線a、b夾角均為80°的直線有________條;(6)與直線a、b夾角均為90°的直線有________條.第45頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月共50頁46

[解題切入點]憑借空間想象能力,結(jié)合動手操作直線模型(選用幾支鉛筆作直線模型),本題即可輕松獲解.[解析]如圖直線