中考數(shù)學(xué)高頻考點突破-二次函數(shù)與一次函數(shù)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數(shù)學(xué)高頻考點突破——二次函數(shù)與一次函數(shù)1．設(shè)一次函數(shù)和二次函數(shù)．(1)求證：，的圖象必有交點；(2)若，，的圖象交于點、，其中，設(shè)為圖象上一點，且，求的值；(3)在（2）的條件下，如果存在點在的圖象上，且，求m的取值范圍．2．定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“梅嶺點”．(1)若點是一次函數(shù)的圖象上的“梅嶺點”，則______________；若點是函數(shù)的圖象上的“梅嶺點”，則_____________；(2)若點是二次函數(shù)的圖象上唯一的“梅嶺點”，求這個二次函數(shù)的表達式；(3)若二次函數(shù)（a，b是常數(shù)，）的圖象過點，且圖象上存在兩個不同的“梅嶺點”，且滿足，如果，請直接寫出k的取值范圍．3．開口向下的拋物線與軸交于點A，B，與軸交于點C，是等腰直角三角形，面積為4．并與一次函數(shù)的圖象相交于點M，N．(1)求拋物線的解析式；(2)若，平移直線，使得該直線平分的面積，求平移后直線解析式．(3)在軸正半軸上是否存在一定點，使得不論取何值，直線與總是關(guān)于軸對稱？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．已知一次函數(shù)的圖像過點，，是二次函數(shù)圖像上的兩點．(1)若該二次函數(shù)圖像的對稱軸是，分別求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達式；(2)當(dāng)點A、B在二次函數(shù)的圖像上運動時，滿足，求m的值；(3)點A、B的位置隨著k的變化而變化，設(shè)點A、B的運動路線分別與直線交于點P、Q，當(dāng)時，求n的值．5．如圖，二次函數(shù)的圖象過點，．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有交點，求的取值范圍；(3)過點作軸的平行線，以為對稱軸將二次函數(shù)的圖象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分與軸有交點，且交點都位于軸的正半軸，直接寫出的取值范圍．6．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于點A（1，4）和點B（4，1），直線的圖象與y軸和x軸分別相交于點C和點D；(1)請直接寫出當(dāng)時自變量x的取值范圍；(2)將一次函數(shù)向下平移8個單位長度得到直線EF，直線EF與x和y軸分別交于點E和點F，拋物線過點A、D、E三點，求該拋物線的函數(shù)解析式（也稱函數(shù)表達式）；(3)在（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PBF是以BF為斜邊的直角三角形，若存在，請用尺規(guī)作圖（圓規(guī)和無刻度直尺）畫出點P所在位置，保留作圖痕跡，并直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．“三高四新”戰(zhàn)略是習(xí)近平總書記來湘考察時，為建設(shè)現(xiàn)代化新湖南擘畫的宏偉戰(zhàn)略藍圖．在數(shù)學(xué)上，我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，將點稱為“三高四新”點，經(jīng)過的函數(shù)，稱為“三高四新”函數(shù)．（1）下列函數(shù)是“三高四新”函數(shù)的有_____；①

②

③

④（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)是“三高四新”函數(shù)，且它與y軸的交點在y軸的正半軸，求k的取值范圍；（3）關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象頂點為A，點和點是該二次函數(shù)圖象上的點且使得，試判斷直線MN是否為“三高四新”函數(shù)，并說明理由．8．對某一個函數(shù)給出如下定義：對于函數(shù)y，若當(dāng)a≤x≤b，函數(shù)值y滿足m≤y≤n，且滿足n﹣m＝k（b﹣a），則稱此函數(shù)為“k系和諧函數(shù)”．（1）已知正比例函數(shù)y＝5x（1≤x≤4）為“k系和諧函數(shù)”，請求出k的值；（2）若一次函數(shù)y＝px﹣3（1≤x≤4）為“3系和諧函數(shù)”，求p的值；（3）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+4ax+a2+2a，當(dāng)﹣1≤x≤1時，y是“k系和諧函數(shù)”，求k的取值范圍．9．若函數(shù)、滿足，則稱函數(shù)y是、的“融合函數(shù)”．例如，一次函數(shù)和二次函數(shù)，則、的“融合函數(shù)”為．（1）若反比例函數(shù)和一次函數(shù)，它們的“融合函數(shù)”過點，求的值；（2）若為二次函數(shù)，且，在時取得最值，是一次函數(shù)，且的“融合函數(shù)”為，當(dāng)時，求函數(shù)的最小值（用含的式子表示）；（3）若二次函數(shù)與一次函數(shù)，其中且，若它們的“融合函數(shù)”與軸交點為、，求的取值范圍．10．投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影”，選自《九年級下冊教材》P89，粹園的同學(xué)們學(xué)完此節(jié)內(nèi)容后，開始探究正投影在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用．若平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定曲線AB在坐標(biāo)軸上的正投影的長度稱為在該軸上的“影長”，記為“l(fā)”．AB兩點在對應(yīng)坐標(biāo)軸上的正投影之間的范圍稱為在該軸上的“影長范圍”，例如：如圖，曲線AB，其中A（，1）、B（1，3），則曲線AB在x軸上的的“影長”l為4，在x軸上的“影長范圍”為．（1）已知反比例函數(shù)的部分圖像在y軸上的“影長范圍”是，求其在x軸上的“影長”以及“影長范圍”．（2）若二次函數(shù)的部分圖像在x軸上的“影長范圍”是，且在y軸上的“影長范圍”的最大值為10，求滿足條件的a的值．（3）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)交于A、B兩點，當(dāng)，且實數(shù)，求線段AB在x軸上的“影長”的取值范圍．11．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝（x﹣2）2的頂點為C，與y軸正半軸交于點B．一次函數(shù)y＝kx+4（k≠0）圖像與拋物線交于點A、點B，與x軸負半軸交于點D．若AB＝3BD．（1）求點A的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)AC、BC，求△ABC的面積；（3）如果將此拋物線沿y軸正方向平移，平移后的圖像與一次函數(shù)y＝kx+4（k≠0）圖像交于點P，與y軸相交于點Q，當(dāng)PQ∥x軸時，試問該拋物線平移了幾個單位長度？12．已知拋物線經(jīng)過，，三點，其對稱軸交軸于點H，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，與拋物線交于另一點D（點D在點C的左邊），與拋物線的對稱軸交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點F，使得點A、B、E、F構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出點F的坐標(biāo)，若不存在請說明理由（3）設(shè)∠CEH=，∠EAH=，當(dāng)時，直接寫出的取值范圍13．如圖，已知一次函數(shù)的圖象分別與軸軸交于點，，在二次函數(shù)中，是一個不為0的常數(shù)．（1）若二次函數(shù)的圖象過點，則的值是______；（2）點是二次函數(shù)圖象的頂點，連接，若，求的值；（3）二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，且，連接．能使與坐標(biāo)軸所成的夾角等于的有幾個？請直接寫出的值．14．綜合與探究：如圖1，一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸交于，兩點，二次函數(shù)的圖象過，兩點，且與軸交于另一點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點是二次函數(shù)圖象的一個動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，若．求的值；（3）如圖2，過點作軸交拋物線于點．點是直線上一動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．15．如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為坐標(biāo)系原點O，且經(jīng)過點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A和點．（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）如果一次函數(shù)圖象與y軸相交于點C，點D在線段AC上，與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交于點E，，求點D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點D在直線AC上的一個動點時，以點O、C、D、E為頂點的四邊形能成為平行四邊形嗎？請說明理由．16．如圖，是以為底邊的等腰三角形，A，C分別是一次函數(shù)的圖象與y軸，x軸的交點，點B在二次函數(shù)的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點D使四邊形能構(gòu)成平行四邊形．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）動點P在線段上從點A至點D運動，同時動點Q在線段上從點C到點A運動，兩點都是以每秒1個單位長度的速度運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止．①當(dāng)是直角三角形時，求P的坐標(biāo)；②四邊形的面積是否有最小值？若有，求出面積的最小值和點P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．17．【概念認識】已知m是實數(shù)，若某個函數(shù)圖像上存在點M（m，m），則稱點M是該函數(shù)圖像上的“固定點”．【數(shù)學(xué)理解】（1）一次函數(shù)y＝－2x＋3的圖像上的“固定點”的坐標(biāo)是；（2）求證：反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖像上存在2個“固定點”；（3）將二次函數(shù)y＝x2＋bx＋1（b＜－2）的圖像在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖像的其余部分保持不變，翻折后的圖像與原圖像在x軸上方的部分組成一個類似“W”形狀的新圖像．若新圖像上恰好存在3個“固定點”，求b的值．18．如圖，若一次函數(shù)y=﹣3x﹣3的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，點B的坐標(biāo)為（3，0），二次函數(shù)y=ax2＋bx﹣3的圖象過A、B、C三點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，若點P在直線BC下方的拋物線上運動，過P點作PF⊥BC，交線段BC于點F，在點P運動過程中，線段PF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．（3）點P在y軸右側(cè)的拋物線上運動，過P點作x軸的垂線，與直線BC交于點D，若∠PCD＋∠ACO＝45°，請在備用圖上畫出示意圖，并直接寫出點P的坐標(biāo)．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)見解析(2)-1(3)【分析】（1）轉(zhuǎn)化證明時，方程有解，進而轉(zhuǎn)化證明一元二次方程根的判別式為非負即可；（2）由，求出，再解得n的值，求得的值，進而得到的值；（3）在（2）的條件下，，把點代入的解析式中，得到，將（1）中n=a代入，根據(jù)計算得到，再轉(zhuǎn)化為，由分類討論解不等式組即可解答．【解析】（1）解：當(dāng)時，化簡得：方程有解，的圖象必有交點；（2）當(dāng)時，化簡得：都經(jīng)過點（1，0）經(jīng)過點A為圖象上一點，=2+m+n解得，（3）在（2）的條件下，如果存在點在的圖象上，，或，m>0或（無解）或．【點評】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，第（2）題中轉(zhuǎn)化為證明一元二次方程根的判別式，第（3）題中求得x2的值是解題關(guān)鍵．2．(1)，3或；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)“梅嶺點”的定義，的橫縱坐標(biāo)相等，即；的橫縱坐標(biāo)相等，即，分別求解即可；（2）由題意，拋物線與直線的唯一交點為，即有兩個相等的根-2，方程可寫為，對比兩個方程的系數(shù)，即可求出b，c;（3）先由“梅嶺點”的定義證明是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，，進而利用推出，再由計算出a的取值范圍，即可求出k的取值范圍．（1）解：點是一次函數(shù)的圖象上的“梅嶺點”，，解得；點是函數(shù)的圖象上的“梅嶺點”，，整理得，解得，，經(jīng)檢驗，，是的根，或，故答案為：；3或；（2）解：點是二次函數(shù)的圖象上唯一的“梅嶺點”，，即拋物線與直線的唯一交點為，方程的根為，即方程可寫為，，，，二次函數(shù)的表達式為；（3）解：二次函數(shù)（a，b是常數(shù)，）的圖象過點，，，圖象上存在兩個不同的“梅嶺點”，，，，，是方程的兩個根，，，，，，，，，或，，或，，，，，．【點評】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解不等式等知識點，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用面積為4，求出OC和AB的長，進而得出點A，B，C坐標(biāo)，求拋物線解析式；（2）求出直線BC的解析式，再求出點D和點E的坐標(biāo)，再由S△BDE=S△ABC，進行計算求解即可；（3）分別過點M，N作y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，證△PME∽△PNF，得，代入求出，又M，N是直線y=kx與拋物線的交點，得，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出，進而求出t的值，得出點P坐標(biāo)．(1)解：∵是等腰直角三角形且與軸交于點C∴對稱軸∴b=0設(shè)拋物線的解析式為當(dāng)x=0時，y=c∵拋物線開口向下∴c>0∵OC=AB∴AB=2c∵面積為4∴×2c×c=4解得c=2或c=-2(舍去)∴點A為（-2，0），點B為（2，0），點C為（0，2）將點A代入，得4a+2=0解得a=∴拋物線的解析式為．(2)解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b將點B（2，0）和點C（0，2）代入，得解得∴直線BC的解析式為y=-x+2令平移后的直線解析式為∵直線與直線BC交于點D則∴∴即點D的坐標(biāo)為（，）∵直線與x軸交于點E∴點E為（-2m，0）由題意，得S△BDE=S△ABC∴×（2+2m）×（）=2整理，得（1+m）2=3解得m=或m=（舍去）∴平移后直線解析式為(3)解：存在，理由如下：分別過點M，N作y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)∴∠PEM=∠PFN=90°設(shè)點P為（0，t）（t>0），M（x，y），N（x，y），令N在M左側(cè)∵∠MPE=∠NPF∴△PME∽△PNF∴∴又y=kx，y=kx∴整理，得∵M，N是直線y=kx與拋物線的交點∴∴∴解得t=4∴存在，點【點評】本題考查二次函數(shù)的幾何綜合問題，涉及的知識點有求拋物線解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系等，熟練地運用以上知識是解決問題的關(guān)鍵．4．(1)，(2)3.5或2.5(3)1或3【分析】（1）根據(jù)對稱軸x=1，求出m的值，再根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過（2，3），進而求出k值，最后求得解析式；（2）將A，B坐標(biāo)代入分別表示出y1和y2，再由2k=3-m，得出=1，求解即可；（3）將A，B坐標(biāo)代入分別表示出y和y，再由2k=3-m，得出，，再將k=n，代入，得出用n表示的y和y，進而，求解即可．【解析】（1）解：由題意，得∵二次函數(shù)的對稱軸x=1，∴，解得m=4，∴二次函數(shù)解析式為當(dāng)m=4時，一次函數(shù)，又一次函數(shù)經(jīng)過（2，3），∴2k+4=3，解得，∴一次函數(shù)解析式為．（2）解：由題意，得，，得，∵一次函數(shù)的圖像過點，∴2k=3-m，∴=1，解得或．（3）解：將，代入二次函數(shù)，得，，又一次函數(shù)的圖像過點，∴2k=3-m，∴，，∵k=n，，∴把代入得，把代入，∴，解得或3．【點評】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)對稱軸等知識點，理解二次函數(shù)的定義和一次函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．5．(1)；(2)；(3)當(dāng)時，翻折后所得部分與軸有交點，且交點都位于軸的正半軸【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式得到一個一元二次方程，利用一元二次方程根的判別式求解即可；（3）設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于F，與拋物線交于E，設(shè)原二次函數(shù)與y軸的交點為C，分別求出當(dāng)翻折后E與F重合，C與O重合時p的值，即可得到答案．(1)解：∵二次函數(shù)的圖象過點，，∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為；(2)解：聯(lián)立得，∵一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有交點，∴方程有實數(shù)根，∴，∴；(3)解：設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于F，與拋物線交于E，設(shè)原二次函數(shù)與y軸的交點為C，∴點C的坐標(biāo)為（0，2），∵拋物線解析式為，∴點E的坐標(biāo)為（1，3），∴EF=3，當(dāng)經(jīng)過翻折后所得部分與軸恰好只有一個交點時，即點E翻折后與點F重合，∴此時MN垂直平分EF，∴，當(dāng)經(jīng)過翻折后所得部分與x軸的一個交點恰好為原點時，即點C翻折后與原點重合，此時MN垂直平分OC，∴，∴當(dāng)時，翻折后所得部分與軸有交點，且交點都位于軸的正半軸．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，二次函數(shù)與x軸的交點問題，翻折的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．6．(1)或(2)(3)存在，【分析】（1）從函數(shù)的圖像和點A（1，4）和點B（4，1）的橫坐標(biāo)可以直接看出；（2）把點A（1，4）和點B（4，1）代入的AB的解析式，求出D的坐標(biāo)，把向下平移8個單位得到求出E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得過點A、D、E的函數(shù)解析式；（3）存在，如圖，（作BF的垂直平分線交BF于點M，點M即為BF的中點，以點M為圓心，MB為半徑作圓，交拋物線對稱軸于點，點；即為所求．）（1）從函數(shù)的圖像可以直接看出，因為點A（1，4）和點B（4，1）所以當(dāng)或時（2）把點A（1，4）和點B（4，1）代入得

解得

令得

把向下平移8個單位得到令得

設(shè)過點A、D、E的拋物線的函數(shù)解析式為把點A（1，4）代入得

（3）存在，如圖，作BF的垂直平分線交BF于點M，點M即為BF的中點，以點M為圓心，MB為半徑作圓，交拋物線對稱軸于點，點即為所求．求點P的坐標(biāo)的過程如下：過點M作MG垂直拋物線的對稱軸于G點，連接MP1，MP2，由y=-x-3可知，F(xiàn)的坐標(biāo)為（0，-3）又B(4，1)∴M點橫坐標(biāo)為:M的縱坐標(biāo)為：=-1∴M(2，-1)又FB=∴圓的半徑為：2拋物線的對稱軸x=1，所以MG=1，GP1=GP2=∴點P的坐標(biāo)為【點評】本題是三種函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，尺規(guī)作圖，一次函數(shù)圖象的平移等知識，數(shù)形結(jié)合思想是解本題關(guān)鍵．7．（1）①②④；（2）且k≠0；（3）直線MN為“三高四新”函數(shù)，理由見解析.【分析】（1）把x=3分別代入各個函數(shù)求值判斷即可；（2）由一次函數(shù)是“三高四新”函數(shù)，得，再由函數(shù)與y軸的交點在y軸的正半軸，可知，即可求解；（3）由二次函數(shù)頂點式解析式可知頂點A的坐標(biāo)為（3，0），分別設(shè)出直線AM、AN的解析式，由，可得k1k2=-1，由此AN所在直線可化為為y=-（x-3），因為點和點均在二次函數(shù)圖象上，分別聯(lián)立拋物線和直線的解析式，解得，，從而求出直線MN所在直線為y-=（x-3+），把x=3代入，解得y=4，由此即可判斷直線MN為“三高四新”函數(shù).【解析】解：（1）當(dāng)x=3時，①；②；③；④；即函數(shù)①②④經(jīng)過（3，4）點，“三高四新”函數(shù)為①②④；故答案為：①②④；（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)是“三高四新”函數(shù)，即且k≠0，函數(shù)與y軸的交點在y軸的正半軸，，即，且k≠0；（3）直線MN為“三高四新”函數(shù).理由如下：如圖：點A的坐標(biāo)為（3，0），設(shè)AM所在直線為y=k1x-3k1，AN所在直線為y=k2x-3k2，（k1k2≠0）∵，∴AM⊥AN，k1k2=-1，故AN所在直線可化為為y=-（x-3）∵點和點均在二次函數(shù)圖象上，∴，解得，或（舍去），由，解得，或（舍去），設(shè)MN所在直線的方程為y=kx+b,將M,N點分別代入直線方程可得：k=k即直線MN所在直線為，當(dāng)x=3時，y=·+=4，即MN所在直線國（3，4）點，∴直線MN為“三高四新”函數(shù).【點評】本題主要考查與二次函數(shù)有關(guān)的新定義的概念，關(guān)鍵是要理解新定義的函數(shù)的特點，．8．（1）k＝5；（2）p＝±3；（3）k≥1．【分析】（1）由題意可得20﹣5＝k（4﹣1），求出k的值即可；（2）根據(jù)題意分兩種情況求：當(dāng)p＞0時，p﹣3≤y≤4p﹣3；當(dāng)p＜0時，4p﹣3≤y≤p﹣3；分別求出p即可；（3）當(dāng)x＝1時，y＝a2+6a﹣2，當(dāng)x＝﹣1時，y＝a2﹣2a﹣2，當(dāng)x＝a時，y＝3a2+2a，分四種情況討論：①當(dāng)a＜﹣1時，a2+6a﹣2≤y≤a2﹣2a﹣2，求出k＞4；②當(dāng)a＞1時，a2+6a﹣2≤y≤a2﹣2a﹣2，求出k＞4；③當(dāng)﹣1≤a＜0時，a2+6a﹣2≤y≤3a2+2a，求出1＜k≤4；④當(dāng)0≤a≤1時，a2﹣2a﹣2≤y≤3a2+2a，求出1≤k≤4；進而可得k的取值范圍．．【解析】解：（1）∵1≤x≤4，∴5≤y≤20，∴20﹣5＝k（4﹣1），∴k＝5；（2）∵1≤x≤4，當(dāng)p＞0時，p﹣3≤y≤4p﹣3，∴（4p﹣3）﹣（p﹣3）＝3×3，∴p＝3；當(dāng)p＜0時，4p﹣3≤y≤p﹣3，∴p﹣3﹣（4p﹣3）＝3×3，∴p＝﹣3；綜上所述：p＝±3；（3）y＝﹣2x2+4ax+a2+2a＝﹣2（x﹣a）2+3a2+2a，當(dāng)x＝1時，y＝a2+6a﹣2，當(dāng)x＝﹣1時，y＝a2﹣2a﹣2，當(dāng)x＝a時，y＝3a2+2a，①當(dāng)a＜﹣1時，a2+6a﹣2≤y≤a2﹣2a﹣2，∴（a2﹣2a﹣2）﹣（a2+6a﹣2）＝k（1+1），∴k＝﹣4a，∴k＞4；②當(dāng)a＞1時，a2+6a﹣2≤y≤a2﹣2a﹣2，∴（a2+6a﹣2）﹣（a2﹣2a﹣2）＝k（1+1），∴k＝4a，∴k＞4；③當(dāng)﹣1≤a＜0時，a2+6a﹣2≤y≤3a2+2a，∴（3a2+2a）﹣（a2+6a﹣2）＝k（1+1），∴k＝（a﹣1）2，∴1＜k≤4；④當(dāng)0≤a≤1時，a2﹣2a﹣2≤y≤3a2+2a，∴（3a2+2a）﹣（a2﹣2a﹣2）＝k（1+1），∴k＝（a+1）2，∴1≤k≤4；綜上所述：k≥1．【點評】本題考查函數(shù)的新定義，能夠理解新定義，并將定義應(yīng)用到一次函數(shù)、二次函數(shù)中，結(jié)合函數(shù)的圖象及性質(zhì)進行分析是解題的關(guān)鍵．9．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)融合函數(shù)的定義求出，然后代入（1，5）求解即可；（2）設(shè)函數(shù)的解析式為，即可得到，則，然后求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）先求出，在由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，根據(jù)，，得到，，則，求出，即可得到．【解析】解：（1）由題意得：反比例函數(shù)和一次函數(shù)，它們的“融合函數(shù)”的解析式為，∵點（1，5）在函數(shù)圖像上，∴，∴；（2）設(shè)函數(shù)的解析式為，由題意得：，∴，∵在時，函數(shù)取得最值，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)開口向上，∴當(dāng)時，在處有最小值，最小值；當(dāng)時，在處有最小值，最小值；當(dāng)時，在處有最小值，最小值；∴綜上所述，；（3）由題意得：二次函數(shù)與一次函數(shù)的融合函數(shù)為，∵它們的“融合函數(shù)”與軸交點為、，∴，是一元二次方程的兩根，∴，，∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準確理解題意．10．（1）2；；（2）或；（3）【分析】（1）把，分別代入中，求得對應(yīng)的x的值，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；（2）找到對稱軸為直線，分及、三種情況考慮即可；（3）由條件可得a>0，c<0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得AB在x軸上的影長l為：，再由已知條件可得，從而可得l的取值范圍．【解析】（1）把，分別代入中，得：x=?3，x=?1∵比例系數(shù)?3<0∴當(dāng)x<0時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大∴∴“影長”為，“影長范圍”為．（2）拋物線的對稱軸為直線當(dāng)，即-8≤a≤4時，由題意拋物線部分圖象在y軸上的影長的最大值就是二次函數(shù)的最大值，故有解得：或（舍去）∴當(dāng)，即a>4時，當(dāng)時，函數(shù)值隨x的增大而增大∴當(dāng)x=2時，-4+4a=10解得：a=3.5(舍去)當(dāng)，即a<-8時，當(dāng)時，函數(shù)值隨x的增大而減小∴當(dāng)x=-4時，-16-2a=10解得：a=-13綜上所述，或（3）∵，且實數(shù)∴a>0，c<0，b=-(a+c)設(shè)A、B兩點的橫坐標(biāo)分別為m、n∴∴∴設(shè)AB在x軸上的影長為l則由a>2b=-2(a+c)，得；由2b=-2(a+c)>3c，得∴∵二次函數(shù)∴當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的增大而減小當(dāng)時，；當(dāng)時，∴∴∴線段AB在x軸上的“影長”的取值范圍為【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，讀懂材料并掌握反比例函數(shù)及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵．本題難度較大，還涉及分類討論思想．11．（1）；（2）24；（3）8【分析】（1）過點作軸，交軸于點，證明得出，求出點的縱坐標(biāo)代入，即可得出結(jié)果；（2）由割補法得，計算即可得出結(jié)果；（3）設(shè)拋物線平移了個單位長度，則拋物線為，，求出點的坐標(biāo)，代入，即可求出的值．【解析】如圖，過點作軸，交軸于點，，，，令，代入得：，，，，，，點的縱坐標(biāo)為16，令，代入得：，解得：或，；（2）如圖，點是拋物線的頂點，，，，，，，；（3）如圖，設(shè)拋物線平移了個單位長度，則拋物線為，，把代入得：，一次函數(shù)為，令，代入得：，，把代入得：，解得：或（舍去），拋物線平移了8個單位長度．【點評】本題是二次函數(shù)綜合問題，考查了相似三角形、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．12．（1）y＝x2＋x?；（2）（3，6）或（-5，6）或（?1，-2）；（3）?＜k＜且k≠0或＜k＜【分析】（1）把A（?3，0），B（1，0），代入y＝ax2＋bx＋c，解方程組即可；（2）把C點坐標(biāo)代入直線CD，得2k＋b＝，分兩種情況：①若AB為平行四邊形的邊時，②若AB為平行四邊形的對角線時，得關(guān)于k、b的方程組，解方程組即可求解；（3）分兩種情況：①當(dāng)E點在x軸上方時，②E點在x軸下方時，根據(jù)當(dāng)α＝β時，列方程，可求出k的值，進而求出k的取值范圍．【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，∵拋物線經(jīng)過A（?3，0），B（1，0），C（2，）三點，∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2＋x?；（2）如圖1所示，將C點坐標(biāo)代入直線CD，得2k＋b＝，當(dāng)x＝?1時，y＝?k＋b，即E（?1，?k＋b）．①若AB為平行四邊形的邊時，則F（-1+4，?k＋b）或F（-1-4，?k＋b），即：F（3，?k＋b）或F（-5，?k＋b），把F（3，?k＋b）代入y＝x2＋x?，得?k＋b=6，把F（-5，?k＋b），代入y＝x2＋x?，得?k＋b=6，又∵2k＋b＝，∴k=，b=∴F（3，6）或（-5，6）；②若AB為平行四邊形的對角線時，則F和E關(guān)于x軸對稱，∴F（?1，k-b），∴k-b=-2，又∵2k＋b＝，∴k=，b=，∴F（?1，-2），綜上所述：F的坐標(biāo)為（3，6）或（-5，6）或（?1，-2）；（3）如圖2所示，①當(dāng)E點在x軸上方時，如圖2所示，當(dāng)α＝β時，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠AEH=∠EGH，∵∠AHF=∠FHG=90°，∴，∴，∵A（?3，0），E（?1，?k＋b），G（，0），∴，∴k2?bk?2＝0，聯(lián)立方程，解得k＝?（k＝舍去），隨著E點向下移動，∠CEH的度數(shù)越來越大，∠EAH的度數(shù)越來越小，當(dāng)E點和H點重合時（如圖3所示），α和β均等于0，此時聯(lián)立方程，解得，因此當(dāng)?＜k＜且k≠0時，α＞β；②E點在x軸下方時，如圖4所示，當(dāng)α＝β時，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，根據(jù)①可得此時k＝（k＝?舍去），隨著E點向下移動，∠CEH的度數(shù)越來越小，∠EAH的度數(shù)越來越大，因此當(dāng)＜k＜時，α＞β．綜上所述可得，當(dāng)α＞β時，k取值范圍為?＜k＜且k≠0或＜k＜．【點評】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)和相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和數(shù)形結(jié)合思想方法是解題的關(guān)鍵．13．（1）；（2）8；（3）有3個，，或．【分析】（1）先求出A點，然后代入二次函數(shù)解析式即可；（2）先求出P點坐標(biāo)，然后根據(jù)得到OP的函數(shù)解析式，再將P點代入PO函數(shù)解析式即可；（3）先用m表示出C、D兩點的坐標(biāo)，然后將與坐標(biāo)軸所成的夾角等于轉(zhuǎn)化成直線CD的k與直線AB的k相等或者互為相反數(shù)或者互為倒數(shù)或者互為負倒數(shù)，再列出方程解答即可．【解析】解：∵的圖象分別與軸軸交于點，∴A（1，0），B（0，-2）（1）當(dāng)二次函數(shù)過A點時，將A點（1,0）代入，得到，解得m=；（2）∵點是二次函數(shù)圖象的頂點，∴點的坐標(biāo)為．∵，∴過點，的一次函數(shù)表達式為．將的坐標(biāo)代入，得，解得：（舍），．∴；（3）x=0時，y=m，故D點坐標(biāo)為（0，m）y=0時，，解得且需要滿足m2-4m≥0，即m≤0或m≥4，又m≠0，故m＜0或m≥4①當(dāng)m=4時，D點為（0,4），x1=x2=-2，∴C（-2，0）滿足∴直線CD的k，又直線AB的k2∴CD與y軸的夾角等于∠ABO，滿足題意②m＜0或m＞4，若使CD與坐標(biāo)軸的所成的夾角等于∠ABO則直線CD的k±2或者±∵C點的橫坐標(biāo)∴C（），D（0，m）∴或解得m=或4或∴m=或∴綜上m有3個，，或．【點評】本題考查二次函數(shù)綜合，第三問能夠?qū)⒔嵌汝P(guān)系轉(zhuǎn)化成k的關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）m的值為或；（3）點N的坐標(biāo)為(，)或(，)或(，)．【分析】（1）先求得點B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）先求得，∠ABP，設(shè)直線BP交軸于E，利用待定系數(shù)法求得直線BE的解析式，解方程組即可求解；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分①當(dāng)CN為對角線、②DN為對角線、③CD為對角線三種情況討論，根據(jù)圖形分別求解即可．【解析】（1）∵一次函數(shù)的圖象分別與x軸，y軸交于B，C兩點，令，則，令，則，∴B(4，0)，C(0，)，把B(4，0)，C(0，)代入，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）∵B(4，0)，C(0，)，∴OB=4，OC=，∴，∴，若∠ABC=2∠ABP，則∠ABP，設(shè)直線BP交軸于E，,∴OE=，∴E1(0，)或E2(0，)，設(shè)直線BE1的解析式為，∵B(4，0)，∴，∴直線BE1的解析式為，解方程，整理得，∴，即m的值為；同理可求得直線BE2的解析式為，解方程，整理得，∴，即m的值為；綜上，m的值為或；（3）由（2）知，∵CD//x軸，∴，即，拋物線的對稱軸為，∴CD=2，設(shè)點M的坐標(biāo)為(，)，如圖：①當(dāng)CD、CM為邊，CN為對角線時，則CD=CM=2，△MDC是等邊三角形，∴點M在線段CD的垂直平分線上，∴，∴點M的坐標(biāo)為(，)，∴點N1的坐標(biāo)為(，)；②當(dāng)CD、DM為邊，DN為對角線時，同理可得點N2的坐標(biāo)為(，)；③當(dāng)CD為對角線時，根據(jù)菱形的對稱性知：點M與點N關(guān)于對角線CD對稱，∴點N3的坐標(biāo)為(，)；綜上，點N的坐標(biāo)為(，)或(，)或(，)．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會用分類討論的思想思考和解決問題，屬于中考壓軸題．15．（1）；；（2）點D的坐標(biāo)為；（3）能，D點坐標(biāo)為：或或【分析】（1）利用待定系數(shù)分別求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為；（2）由軸，，得到，則，設(shè)D點的坐標(biāo)為，那么點E的坐標(biāo)為，因此，解方程得到，即可得到D點坐標(biāo)；（3）由，若，以點O、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；分類討論：①當(dāng)點D在點E上方，，得，．②當(dāng)點D在E下方，，得．即可得到D點坐標(biāo)．【解析】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得，二次函數(shù)的解析式為；設(shè)一次函數(shù)的解析式為，把，分別代入得，，，解得，，一次函數(shù)的解析式為；（2）軸，，，，即，設(shè)D點的坐標(biāo)為，那么點E的坐標(biāo)為，，，又由直線與y軸交于點C，點C的坐標(biāo)為，，，解得（不合題意，舍去），，點D的坐標(biāo)為；（3）以點O、C、D、E為頂點的四邊形能成為平行四邊形．理由如下：若，以點O、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，①當(dāng)點D在點E上方，，得，．（舍去），，．②當(dāng)點D在E下方，，得．當(dāng)，；當(dāng)，．所以當(dāng)D點坐標(biāo)為：或或．【點評】本題是二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及平行四邊形的性質(zhì)、圖象上點的坐標(biāo)的特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，有一定的難度．16．（1）；（2）①當(dāng)是直角三角形時，P的坐標(biāo)是或；②有，最小值為，．【分析】（1）求出A、C坐標(biāo)，再由△ABC是以BC為底邊的等腰三角形和四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形求出B、D坐標(biāo)即可求二次函數(shù)的表達式；（2）①△APQ是等腰直角三角形，分兩種情況討論；②用t表示出四邊形PDCQ的面積，再求最小值即可．【解析】（1）∵A，C分別是一次函數(shù)的圖象與y軸，x軸的交點，在一次函數(shù)中，令得，令得，∴A（0，3），C（3，0），∵是以為底邊的等腰三角形，∴OC=OB=3，B（-3，0），∵四邊形能構(gòu)成平行四邊形，∴AD=BC=6，D（6，3），∵點B、D在二次函數(shù)的圖象上，∴，解得，c=-17，∴二次函數(shù)的表達式為；（2）①設(shè)運動時間是t秒，則，AP=t，∵A（0，3），C（3，0），∠AOC=90°，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，若是直角三角形，則是等腰直角三角形，分兩種情況：（一），如答圖1：∴，∴，解得，∴，（二），如答圖2：∴，∴，解得，∴，綜上所述，當(dāng)是直角三角形時，P的坐標(biāo)是或，（3）過Q作于M，如答圖3：∵A（0，3），B（-3，0），C（3，0），是平行四邊形，∴，而，∴，∴，當(dāng)時，最小為，此時．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，特殊角的三角函數(shù)值以及二次函數(shù)最值求法等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．17．（1）（1，1）；（2）證明見解析；（3）－3．【分析】（1）根據(jù)“固定點”的定義直接計算即可；（2）令y＝x，得到x2＝k，解出x，再回代入反比例函數(shù)解析式，即可得到2個“固定點”；（3）先根據(jù)二次函數(shù)變換得到翻折到x軸上方的函數(shù)解析式為y＝－x2－bx－1，可知這個新函數(shù)的圖像與y=x有一個交點，即x2＋(b＋1)x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，再根據(jù)判別式即可解得b的值．【解析】（1）存在點M（m，m）為一次函數(shù)y＝－2x＋3的圖像上的“固定點”故m=-2m+3，解得m=1故一次函數(shù)y＝－2x＋3的圖像上的“固定點”的坐標(biāo)是（1，1）（2）證明：在y＝（k＞0）中，令y＝x，可得x2＝k．解得x1＝，x2＝－．將x1＝代入y＝中，得y1＝．將x2＝－代入y＝中，得y2＝－．因此反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖像上存在