第20講指對數(shù)比較大小8種常考題型總結（解析版）

第20講指對數(shù)比較大小8種?？碱}型總結【知識點梳理】指數(shù)和對數(shù)的比大小問題成為了高考和模擬題的一些拉檔題，這里我們重點介紹幾種比大小方法，讓大家充分了解掌握一些指數(shù)對數(shù)大小比較的常用方法．（1）利用指數(shù)對數(shù)單調性比較大??；當?shù)讛?shù)一樣或者可以化成一樣，直接利用單調性比較即可（2）利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)圖象關系比較大?。?）比較與0,1的大小關系，此類題目一般會放在單選第5題左右位置，比如，（3）取中間值，比如遇到兩個數(shù)都在到之間，我們可以比較它們與的大小等（4）去常數(shù)再比大小當?shù)讛?shù)和真數(shù)出現(xiàn)了倍數(shù)關系時候，需要將對數(shù)進行分離常數(shù)再比較．例如：．當真數(shù)一樣我們考慮用換底公式，換為底數(shù)一樣，再比較分母，如和，，，因為，所以乘倍數(shù)比較數(shù)的范圍比較大小，比如和，則，，所以，所以構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性比價大小【題型目錄】題型一：直接利用單調性比較大小題型二：比較與的大小關系題型三：取中間值比較大小題型四：利用換底公式比較大小題型五：分離常數(shù)再比較大小題型六：利用均值不等式比較大小題型七：乘倍數(shù)比較數(shù)的范圍比較大小題型八：構造函數(shù)比大小【典型例題】題型一：直接利用單調性比較大小【例1】（2022·湖南邵陽·高一期末）已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由對數(shù)函數(shù)得單調性即可得出結果.【詳解】∵在定義域上單調遞增，∴，即.故選：A.【例2】（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則a、b、c的大小順序為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用對數(shù)運算法則進行化簡，再用函數(shù)單調性比較大小.【詳解】，又，因為，單調遞增，所以.故選：C【題型專練】1.（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┫铝羞x項正確的是（）A．B．C．D．且【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調性逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，因為是單調遞增函數(shù)，所以，故A錯誤；對于B，因為是單調遞減函數(shù)，所以，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，當時，是單調遞減函數(shù)，當時，是單調遞增函數(shù)，所以當時，，當時，，故D錯誤.故選：C.2．（2022·全國·高一單元測試）已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性并借助1比較即可求解.【詳解】解：因為為單調遞增函數(shù)，所以.因為，所以．故選:B．3.（2022·江西·上高二中模擬預測（文））已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：，，即，又，所以，所以，，，即，又，所以，即，綜上可得；故選：C4.（2022·內蒙古·阿拉善盟第一中學高一期末）已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質比較大小即可【詳解】因為在上為增函數(shù)，且，所以，即，因為在上為增函數(shù)，且，所以，即，所以故選：B.題型二：比較與的大小關系【例1】（2022·甘肅酒泉·高二期末（理））若，，，則，，的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分別根據(jù)、、的單調性，比較，，與0、1的大小，即可比較【詳解】在上是減函數(shù)，；在上是增函數(shù)，；在上是減函數(shù)，，故，故選：B【例2】（2022·全國·高一課時練習）已知，則a，b，c的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的單調性判斷出，，，即可得到正確答案.【詳解】因為為減函數(shù)，所以，即；因為為增函數(shù)，所以，即；因為為增函數(shù)，所以，即；所以.故選：D【例3】（2022·天津·高考真題）已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性結合中間值法可得出、、的大小關系.【詳解】因為，故.故答案為：C.【題型專練】1.（2022·黑龍江·雞東縣第二中學二模）若，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質，判斷a,b,c的范圍，即可比較大小，可得答案.【詳解】由函數(shù)為增函數(shù)可知，由為增函數(shù)可得，由由為增函數(shù)可得，，，故選:D2.（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業(yè)考試）已知，則，，的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用分段法求得正確答案.【詳解】，所以.故選：C3.（2022·陜西漢中·高一期末）已知，則a，b，c的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質判斷的范圍，即可判斷大小，即得答案.【詳解】由于，故，故選：C題型三：取中間值比較大小【例1】（2022·吉林·東北師大附中模擬預測（文））已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性結合中間值法可得出、、的大小關系.【詳解】因為，，，因此，.故選：D.【例2】（2021·全國·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】對數(shù)函數(shù)的單調性可比較、與的大小關系，由此可得出結論.【詳解】，即.故選：C.【例3】（2022·山東濱州·高二期末）已知，，，則，，的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質計算可得.【詳解】解：，即，，即，，即，所以；故選：A【題型專練】1．（2022·河南濮陽·高一期末（文））已知，，，則有（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性，借助中間值比較大小即可.【詳解】依題意，，，是單調遞增，，，，，是單調遞增，，，，，是單調遞增，，，，，是單調遞增，，，綜上所述，.故選：D.2.（2022·貴州黔西·高二期末（理））設，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質比較即可【詳解】因為，所以，因為在上為增函數(shù)，且，所以，因為在上為增函數(shù)，所以，所以，綜上，故選：D3．（2022·重慶九龍坡·高二期末）已知，，，則，，的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)得運算性質結合對數(shù)函數(shù)的性質，利用中間量法即可得出答案.【詳解】解：由，則，，，所以.故選：B.題型四：利用換底公式比較大小【例1】（2021·全國·高一期末）設，，為正數(shù)，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】令，用k表示出x，y，z，再借助對數(shù)函數(shù)的性質即可比較作答.【詳解】因，，為正數(shù)，令，則，因此有：，，，又函數(shù)在上單調遞增，而，則，于是得，所以.故選：D【例2】（2022·全國·高三專題練習）設a=log32，b=ln2，c，則a?b?c三個數(shù)的大小關系是（）A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．c>b>a【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質，結合中間值0、1比較可得．【詳解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∴l(xiāng)og32ln2，∴a<b<1，∵c50=1，∴c>b>a，故選：D.【例3】（2022·全國·高三專題練習）設a=log32，b=ln2，c，則a?b?c三個數(shù)的大小關系是（）A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．c>b>a【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質，結合中間值0、1比較可得．【詳解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∴l(xiāng)og32ln2，∴a<b<1，∵c50=1，∴c>b>a，故選：D.【題型專練】1.（2022河南·高三開學考試（文））設，，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)性質得，從而，由對數(shù)換底公式和對數(shù)運算法則計算得，再由不等式性質可得結論．【詳解】因為，，所以，所以，，即，所以.故選：D．2.（2022·重慶八中高三階段練習）設，，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質可得，，由此可判斷得選項.【詳解】解：因為，，所以，所以，故排除A、B選項；又，且，所以，故選：D.3.（2021·江蘇·海安高級中學高一階段練習）設，，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式互化公式，結合對數(shù)的運算性質進行判斷即可.【詳解】由，因為，所以，由，因為，所以，因此，由，，于是有：，因為，所以，因為，所以，即，故選：B【點睛】關鍵點睛：利用對數(shù)函數(shù)的單調性，結合兩數(shù)的倒數(shù)和與之間的關系，進行判斷是解題的關鍵.4．（2022·全國·高一課時練習多選題）已知正數(shù)x，y，z滿足，則下列說法中正確的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】將已知條件轉化為對數(shù)的形式，利用對數(shù)運算、商比較法、基本不等式等指數(shù)對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】正數(shù)x，y，z滿足，設，則，，．對于A，，故A正確；對于B，，，，∵，∴，∵，∴，∴，故B錯誤；對于C，由（），兩邊平方，可得，故C正確；對于D，由，可得（），故D正確．故選：ACD題型五：分離常數(shù)再比較大小【例1】（2022·河南·汝州市第一高級中學模擬預測（文））已知，，，則（）．A．B．C．D．【答案】D【分析】結合對數(shù)的運算公式以及對數(shù)函數(shù)的單調性進行轉化求解即可．【詳解】由題意得，，，，因為函數(shù)在上單調遞增，所以，則，所以.故選：D．【題型專練】1.設，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【詳解】由題意得，，所以可得：故選：D．題型六：利用均值不等式比較大小【例1】（2022·黑龍江·綏化市第九中學高二期末），，，則a，b，c的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質結合基本不等式分析比較即可【詳解】，，，因為，所以，因為，，所以，所以，綜上，故選：B【例2】（2022·安徽省臨泉第一中學高二期末）若，，，則a，b，c的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由基本不等式可判斷，由對數(shù)的性質可得，再作差可判斷大小.【詳解】，，，則.所以.故選：A．【題型專練】1．（2022·全國·高考真題（文））已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知，，，則實數(shù)a，b，c的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)換底公式可得，再根據(jù)換底公式與基本不等式可得，再根據(jù)可得，進而求得大小關系【詳解】，，則，所以；，，所以，則.所以故選：C.題型七：乘倍數(shù)比較小【例1】（2020·全國·高考真題（理））已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（）A．a(chǎn)<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b【答案】A【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關系，由，得，結合可得出，由，得，結合，可得出，綜合可得出、、的大小關系.【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調性的應用，考查推理能力，屬于中等題.【題型專練】1.已知，，，則實數(shù)a，b，c的大小關系為（

）A．a(chǎn)<b<cB．C．D．【答案】B【詳解】，，所以，所以又因，，所以，所以所以，故選B題型八：構造函數(shù)比大小【例1】（2022·全國·高一專題練習）設，，則下列敘述正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】A【分析】利用函數(shù)的單調性分析判斷即可【詳解】因為和在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以時，得，反之也成立，即時，，反之也成立，所以時，，反之也成立，故選：A【例2】（2022·四川·樹德中學高二階段練習（文））若，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先構造函數(shù)，通過導函數(shù)得到單調性，從而得到，故可通過函數(shù)單調性判斷出，而可能比1大，可能等于1，也可能，故CD均錯誤.【詳解】令，則恒成立，故單調遞增，由可得：，故，A錯誤，B正確；可能比1大，可能等于1，也可能，故不能確定與0的大小關系，CD錯誤.故選：B【題型專練】1．（2021·江西·高二階段練習（理））若，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性，結合對數(shù)函數(shù)的性質，即可判斷和選擇.【詳解】因為，即，故令，則上式等價于因為，都是上的單調增函數(shù)，故為上的單調增函數(shù)，則由，可得，即；則，故，則A正確；B錯誤；因為，故無法判斷的正負，故C，D錯誤.故選：.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調性，以及函數(shù)單調性的應用，