第7章 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

章

信號(hào)與系統(tǒng)學(xué)習(xí)指系頻析利用拉普拉氏變得到了信號(hào)的復(fù)頻域表達(dá)式，果將系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)都用拉拉斯變換表示，并系統(tǒng)用其復(fù)頻域模型描述，這得到了連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析方?；?．基本要求掌握傳遞函數(shù)的概念及求法；掌握在復(fù)頻域中求解連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的法；了解方框圖的復(fù)頻域分析方法；熟練系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念及判斷方法；了解系統(tǒng)的時(shí)域、頻域、復(fù)頻域模型間的相互轉(zhuǎn)換。2．重點(diǎn)和難點(diǎn)傳遞函數(shù)的求法系統(tǒng)響應(yīng)的復(fù)頻域求解方法系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷方法知要1．傳遞函數(shù)傳函又稱為統(tǒng)函數(shù)傳輸函數(shù)或轉(zhuǎn)函數(shù)其定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)和外加輸入的單邊拉普斯變換之比，即H)

YfF()

（）或者系統(tǒng)單位沖響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換，即H()

()fF)

[h(t)]

（）以上兩式給出了解系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法。此外如果已知系統(tǒng)的傳輸算子，可以下式得到系統(tǒng)的傳函數(shù)，即H()H(p)

（）p2．系統(tǒng)響應(yīng)的復(fù)頻域解根據(jù)系統(tǒng)的傳遞數(shù)，在求出了所有極點(diǎn)后，就以將極點(diǎn)視為特征根，而采用與域1

-第七章連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析-分析類似的方法解得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。對于零狀態(tài)響應(yīng)將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與輸入信號(hào)拉普拉斯變換相乘，即得到系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉變換，然后取拉普拉斯反變換可得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。3．方框圖的復(fù)頻域模實(shí)際分析時(shí)有兩層次的方框圖，即用基本運(yùn)算元構(gòu)成的方框圖和用子系統(tǒng)的相連接構(gòu)成的方框圖（1）基本運(yùn)算單元復(fù)頻域模型數(shù)乘器、加法器復(fù)頻域模型與時(shí)域模型相同，微分器、積分器、延遲器的復(fù)頻模型分別為、1/s、

域分析時(shí)，將方圖中所有的基本運(yùn)算單元用復(fù)頻模型表示，所有信號(hào)用拉氏換表示，然后列寫方程，得到遞函數(shù)，再進(jìn)行其它的分析（例求解系統(tǒng)的響應(yīng)（2）子系統(tǒng)的連接由若干子系統(tǒng)相連接構(gòu)成大系統(tǒng)的連接方式有串聯(lián)連接聯(lián)接和反饋連接。每個(gè)子系統(tǒng)都有自的數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)。一知道各子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，再根方框圖分析各子系統(tǒng)的接關(guān)系，即可求得大系統(tǒng)的傳函數(shù)，再進(jìn)一步對大系統(tǒng)進(jìn)行分。4．連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）穩(wěn)定的概念在系統(tǒng)理論中，穩(wěn)定的切定義為，如果任意有界輸入作用下，系統(tǒng)的零態(tài)響應(yīng)也是有界的，稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出義下的穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件對一般的因果系，穩(wěn)定的充要條件是其單位沖響應(yīng)(t)滿足傅里葉換的絕對可積條件，即

h(tt

（）（3）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定判斷方法

-如果系統(tǒng)函數(shù)所極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，即都在s平左平面，則連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)極點(diǎn)右半平面或者在虛軸上，則系不穩(wěn)定。實(shí)際分析時(shí)，有斯-霍爾維茨判等方法。5．連續(xù)系統(tǒng)各種模型間的相互轉(zhuǎn)換)H(j(j)H)

H()jH(p

（）（）

需要說明的是，有穩(wěn)定的系統(tǒng)，其單位沖激響才具有傅里葉變換，因而才能得系統(tǒng)的頻率特性。穩(wěn)定的系統(tǒng)是不具有頻率特性。但不穩(wěn)定的系統(tǒng)同樣存在傳遞數(shù)、傳輸算子和單位沖響應(yīng)。因此，根據(jù)以上關(guān)系求統(tǒng)的頻率特性時(shí)，首先必須分析統(tǒng)是否穩(wěn)定，否則得到H(j并不是系統(tǒng)的頻率特性。2

--t信號(hào)與系統(tǒng)學(xué)習(xí)指--t補(bǔ)例例已系統(tǒng)的微分方程為y

y(t

f(t（1）求系統(tǒng)函數(shù)()、頻率特性H；（2）求系統(tǒng)的單位激響應(yīng)h(t；（3）設(shè)y，)=0f()=5e(t，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t。解（1）微分方程得到)

p則系統(tǒng)函數(shù)為H())

s

s由于傳遞函數(shù)的點(diǎn)為=3，，其中位于[]平面右平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，不存1在頻率特性。（2）因?yàn)閟0.6Fs)s(s3)(2)s對其取拉氏反變得到f(t(0.4e

t

)t)（3）由傳遞函數(shù)的點(diǎn)可設(shè)零輸入響應(yīng)為求導(dǎo)得到

t)te2

代入初始條件得

x

(Ce1

3

e2

y)xy

x

(0

)聯(lián)解求得C=0.4，C，則12y()3

0.6e

t輸入信號(hào)的拉氏換為F()

5則零狀態(tài)響應(yīng)的氏變換為Y()(s)()f

51s3

f2s1f11第七章連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析f2s1f11取拉氏反變換得y()f

3

)(t)則全響應(yīng)為y(t)(t)(t)(0.4etxf

0.6e

t

)ut)(1.4et

0.4e)()說：題比較合一個(gè)目涉到了章大多內(nèi)，體包—（）遞數(shù)定義求；（）統(tǒng)時(shí)、頻和頻模型間相互換（）統(tǒng)輸響應(yīng)零態(tài)應(yīng)的頻求解法例7-2已知系在輸入f(t)(t用下的態(tài)應(yīng)為1ft)ft)作用下的零態(tài)響應(yīng)為y()t)u(t)。f2f1（1）求系統(tǒng)函數(shù)()；（2）求系統(tǒng)的單位激響應(yīng)h(t。

y(t)f1

，輸解（1）知的(t的拉氏變換為Y((s)f2f1根據(jù)系統(tǒng)的復(fù)頻分析方法又有

s

①()(sHs)f2其中根據(jù)拉氏變的時(shí)域積分性質(zhì)有3(s)s則3()()(s)f2將上式代入式①到其中又有

Y(s))H()f1

1F(s)H(s)()ss，代入上式求得H()

sF

ss3)(s(s1將

F()

s

代入上式得到4

f1信號(hào)與系統(tǒng)學(xué)習(xí)指f1H(s)

s

ss0.75（2）對H()求反變換得(t)0.25etut)例已系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

t)(1)(t)

輸信號(hào)作用下ft)的作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為yt(t)求輸入信號(hào)ft。f解根據(jù)單位階躍響應(yīng)的定(t)對應(yīng)的輸入信號(hào)單位階躍信號(hào)，并且1G(s)ss2)則因此由將

Y(s)(s)H(s)f

得到

122H()s(s2)ssF(s(s)/()f11s()ss(ss(s

和Hs)代入得到F(s)

(s2)

2

21s(s2)取拉氏反變換得ft0.5e

)(t)說：以兩是對遞數(shù)的念及統(tǒng)復(fù)域析方的個(gè)活應(yīng)主涉及傳函的概、遞函與統(tǒng)狀態(tài)應(yīng)關(guān)系基問。同復(fù)了單階響的念例如（）所示電路系統(tǒng)，已知輸入信號(hào)為電流it，輸出信號(hào)為電壓u(t。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)分別為3j1,2＋

，=-2且H。求電路參、、C。＋it)

RL

ut)

I)

1

RLs

U()－（）（b）圖7-1例7-4圖

－解首先畫出電路系統(tǒng)的復(fù)域模型如圖7-1（b）所示，由此求5

1I(s)RLs)ss21I(s)RLs)ss2U(s

第七章連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析1R(Ls)sCsL1RCsLLC

I()則系統(tǒng)的傳遞函為H(s

U(s)1I()C

s

2

RsR1s

①另一方面，根據(jù)知的零極點(diǎn)可以設(shè)系統(tǒng)的傳遞數(shù)為H(

s

2)s其中有(0)

KK12求得K=1則Hs

2

s

②比較式①和②得

R1LC0H(0)02聯(lián)解求得=0.5L=0.25H。說：例要涉到下知點(diǎn)（）遞函的極。根零點(diǎn)傳遞數(shù)表達(dá)的法：首由點(diǎn)和點(diǎn)別出遞函中子和母再以常。中K由題上外已的件例如例的H）確定（）路系的頻分析求遞數(shù)時(shí)都設(shè)電、感有初儲(chǔ)，因電和感接用復(fù)域模和表示同時(shí)電中所的號(hào)其拉變表示得電系統(tǒng)復(fù)域模，據(jù)求出統(tǒng)傳遞數(shù)如需要零入響，電、感復(fù)頻模中必考初狀態(tài)使問題較雜僅作般解。例如所系統(tǒng)，已知H(s)1

，

H(s)

()()

（1）求H()；2（2）為使子系統(tǒng)()穩(wěn)定，求實(shí)數(shù)K的取值范圍26

信號(hào)與系統(tǒng)學(xué)習(xí)指F(s

H(s

-K

Y)H(s圖7-2例7-5圖解（1）據(jù)方框圖求得H()

()(s)]H()由此求得KH()()sKH()1[1(s)]Hs1sK2Ks

（2）H()的極點(diǎn)為=-3，為使其穩(wěn)定必須滿足K-3<0，由此求得<3。2說：例要涉到下知點(diǎn)（）框圖復(fù)域析。知框中各系的數(shù)模，求整系的傳函，接用相公求解本中系統(tǒng)H()與K串，與并聯(lián)然與H()1反后到系統(tǒng)（）統(tǒng)穩(wěn)性。意例并不考大系的定而是慮系統(tǒng)H()的2定不是大統(tǒng)是中的系都分有定性問穩(wěn)定是統(tǒng)一個(gè)性補(bǔ)練填空1）傳遞函數(shù)定義為系的零狀態(tài)響應(yīng)與其輸入信號(hào)的之，或者系統(tǒng)的拉普拉斯變換。2）已知系統(tǒng)的傳遞函H(s)響應(yīng)(t

，則系統(tǒng)的單位激響應(yīng))=

，單位階躍3）在方框圖的復(fù)頻域型中，積分器用表示，遲器用表示。4）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充條件是其單位沖激響應(yīng)滿足條。5）當(dāng)傳遞函數(shù)的所有點(diǎn)都[]平面的位上時(shí)，連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。6）已知系統(tǒng)的頻率特為H(j

j(j

，則系統(tǒng)的傳遞數(shù)H()=

。已知系統(tǒng)的微分