數(shù)學(xué)思想方法綜合練習(xí)

資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請聯(lián)系改正或者刪除?！稊?shù)學(xué)思想方法》綜合練習(xí)一、填空題《九章算術(shù)》思想方法的特點是開放的歸納體系算法化的內(nèi)容模型化的方法。古代數(shù)學(xué)大致可分為兩種不同的類型:一種是崇尚邏輯推理,以《幾何原本》為代表;一種是長于計算和實際應(yīng)用,以《九章算術(shù)》為典范。-----+在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué),而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的《幾何原本》?！稁缀卧尽匪_創(chuàng)的公理化方法不但成為一種數(shù)學(xué)陳述模式,而且還被移植到其它學(xué)科,而且促進她們的發(fā)展。推動數(shù)學(xué)發(fā)展的原因主要有兩個:①實踐的需要,②理論的需要;數(shù)學(xué)思想方法的幾次突破就是這兩種需要的結(jié)果。變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解析幾何,標(biāo)志是微積分。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線。隨機現(xiàn)象的特點是在一定條件下,可能發(fā)生某種結(jié)果,也可能不發(fā)生某種結(jié)果。等腰三角形的抽象過程,就是把一個新的特征:兩邊相等,加入到三角形概念中去,使三角形概念得到強化。學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有如下三個主要階段、①潛意識階段,②明朗化階段,③深刻理解階段。數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映,是數(shù)學(xué)中各個分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn),它表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的各個分支相互滲透和相互結(jié)合的趨勢。抽象的含義:取其共同的本質(zhì)屬性或特征,舍去其非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程強抽象就是指,經(jīng)過把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象過程。菱形概念的抽象過程就是把一個新的特征:一組鄰邊相等,加入到平行四邊形概念中去,使平行四邊形概念得到了強化。演繹法與歸納法被認(rèn)為是理性思維中兩種最重要的推理方法。所謂類比,是指由一類事物所具有的某種屬性,能夠推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法;常稱這種方法為類比法,也稱類比推理。反例反駁的理論依據(jù)是形式邏輯的矛盾律。在反例反駁中,構(gòu)造一個反例必須滿足條件(1)反例滿足構(gòu)成猜想的所有條件(2)反例與構(gòu)成猜想的結(jié)論矛盾。猜想具有兩個顯著特點:①具有一定的科學(xué)性,②具有一定的推測性。三段論是演繹推理的主要形式。三段論由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成。化歸方法是指,把待解決的問題,經(jīng)過某種轉(zhuǎn)化過程,歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或較易解決的問題中,最終獲得原問題解答的一種方法。化歸方法的三個要素是化歸對象,化歸目標(biāo),化歸途徑。在化歸過程中應(yīng)遵循的原則是簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則。在計算機時代,計算方法已成為與理論方法、實驗方法并列的第三種科學(xué)方法。算法具有下列特點:①有限性,②確定性,③有效性。算法大致能夠分為多項式算法和指數(shù)型算法兩大類。勻速直線運動的數(shù)學(xué)模型是一次函數(shù)。所謂數(shù)學(xué)模型方法是利用數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法。分類必須遵循的原則是①不重復(fù),②無遺漏,③標(biāo)準(zhǔn)同一,按層次逐步劃分。所謂數(shù)形結(jié)合方法,就是在研究數(shù)學(xué)問題時,由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題的一種思想方法。所謂特殊化是指在研究問題時,從對象的一個給定集合出發(fā),進而考慮某個包含于該集合的較小集合的思想方法。面對一個問題,經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考,經(jīng)過歸納或類比提出猜想,然后從兩個方面入手:演繹證明此猜想為真;或者尋找反例說明此猜想為假,而且進一步修正或否定此猜想?；瘹w方法的三個要素是:化歸對象、化歸目標(biāo)、化歸途徑。根據(jù)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有潛意識、明朗化、深刻理解三個階段,可相應(yīng)地將小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)設(shè)計成多次孕育、初步理解、簡單應(yīng)用三個階段。數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力的紐帶,是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂,它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。一個概括過程包括比較、區(qū)分、擴張和分析等幾個主要環(huán)節(jié)。算法的有效性是指如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā),能夠得到這一問題的正確解。數(shù)學(xué)的研究對象大致能夠分成兩類①研究數(shù)量關(guān)系,②研究空間形式。二、判斷題(只要答”是”或”否”)1．中國古代數(shù)學(xué)中使用的數(shù)學(xué)方法是演繹的方法。否2．《幾何原本》是人類歷史上最早的演繹的公理化體系。是3．微積分的建立標(biāo)志著變量數(shù)學(xué)的誕生。是4、計算機是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物,又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者。是5、抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間一定有種屬關(guān)系。否6．抽象和概括是兩種完全不同的方法。否7、一個數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個命題都必須給出證明。否8、《九章算術(shù)》不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容。否9、既沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法,也沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。是10、數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域沒應(yīng)用。否11、在解決數(shù)學(xué)問題時,往往需要綜合運用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。是12、如果某一類問題存在算法,而且構(gòu)造出這個算法,就一定能求出該問題的精確解。否13、對同一數(shù)學(xué)對象,若選取不同的標(biāo)準(zhǔn),能夠得到不同的分類。是14、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)隸屬數(shù)學(xué)教學(xué)范疇,只要貫徹一般的數(shù)學(xué)教學(xué)原則就可實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)。否15、由類比法推得的結(jié)論必然正確。否16、有時特殊情況能與一般情況等價。是17、完全歸納法實質(zhì)上屬于演繹推理的范疇。是18、古希臘的柏拉圖曾在她的學(xué)校門口張榜聲明:不懂幾何的人不得入內(nèi)。這是因為她的學(xué)校里所學(xué)習(xí)的課程要用到很多幾何知識。否19、完全歸納法的一般推理形式是:設(shè)S={A1,A2,---,An,---}由于A1具有屬性p,A2具有屬性p,…An具有屬性p,因此推斷集合S中的每一個對象都具有屬性p。否三、簡答題1、為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系?①《幾何原本》以少數(shù)原始概念和公設(shè)、公理為基礎(chǔ),運用邏輯規(guī)則將當(dāng)時所知的幾何學(xué)中的主要命題(定理)全都推出來,從而形成一個井然有序的整體．在這個體系中,除了邏輯規(guī)則外,每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已證明的定理,而且引入的概念(除原始概念)也基本上符合邏輯上對概念下定義的要求,原則上不再依賴其它東西．②另外．《幾何原本)回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生括有關(guān)的應(yīng)用問題,對社會生活的各個領(lǐng)域來說也是封閉的．因此,(幾何原本)是一個相對封閉的演繹體系．2、試對《九章算術(shù)》思想方法的一個特點”算法化的內(nèi)容”加以說明?！毒耪滤阈g(shù)》在每一章內(nèi)先列舉若干個實際問題,并對每一個問題都給出答案,然后再給出”術(shù)”,作為一類問題的共同解法。因此,內(nèi)容的算法化是《九章算術(shù)》思想方法上的特點之一。3、簡述確定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象的特點以及確定性數(shù)學(xué)的局限性。答:確定性現(xiàn)象特點:在一定條件下,其結(jié)果完全被決定,或者完全肯定,或者完全否定,不存在其它可能。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會發(fā)生某種結(jié)果,或者必然不會發(fā)生某種結(jié)果。隨即現(xiàn)象的特點:在一定條件下,可能發(fā)生某種結(jié)果,也可能不發(fā)生某種結(jié)果。確定數(shù)學(xué)的局限性:隨機現(xiàn)象并不是雜亂無章的現(xiàn)象,就個體而言,似乎沒什么規(guī)律存在,但當(dāng)同類現(xiàn)象大量出現(xiàn)時,在總體上卻呈現(xiàn)出一種規(guī)律性,可是確定數(shù)學(xué)無法定量地揭示這種規(guī)律性。4、簡述計算機在數(shù)學(xué)方面的三種新用途。答:第一,用來證明一些數(shù)學(xué)命題;第二,用來預(yù)測某些數(shù)學(xué)問題的可能結(jié)果,第三,用來驗證某些數(shù)學(xué)問題的結(jié)果的正確性．5、什么是數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性?法國的布爾巴基學(xué)派是如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一答:所謂統(tǒng)一性,就是部分與部分、部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致?？陀^世界具有統(tǒng)一性,數(shù)學(xué)作為描述客觀世界的語言必然具有統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性時客觀世界統(tǒng)一性的反映是數(shù)學(xué)中各個分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)。布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上建立了三個基本結(jié)構(gòu)(即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)),然后根據(jù)不同條件,由這三個基本結(jié)構(gòu)交叉產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu)。她們認(rèn)為整個數(shù)學(xué)或大部分?jǐn)?shù)學(xué)都能夠按照結(jié)構(gòu)的不同加以分類,用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)能統(tǒng)一整個數(shù)學(xué),各個數(shù)學(xué)分支只是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)由簡單道復(fù)雜,由一般向特殊發(fā)展的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)的不同分支是這些不同的結(jié)構(gòu)組成的,而這些結(jié)構(gòu)之間的錯綜復(fù)雜的聯(lián)系又把所有的分支連成一個有機整體。因此能夠說,布爾巴基學(xué)派用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)現(xiàn)實數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。6、簡述數(shù)學(xué)抽象的特征。答:數(shù)學(xué)抽象有以下特征:⑴數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性;(2)數(shù)學(xué)抽象具有層次性;(3)數(shù)學(xué)抽象過程要憑借分析或直覺;(4)數(shù)學(xué)抽象不但有概念抽象還有方法抽象。7、簡述化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。答:化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用至少有以下三個方面:利用化歸方法學(xué)習(xí)新知識,(2)利用化歸方法指導(dǎo)解題,(3)利用化歸方法整理知識結(jié)構(gòu)．8、簡述用MM方法解決實際問題的基本步驟,并用框圖加以表示。MM方法解題的基本步驟可用框圖表示為:數(shù)學(xué)模型實際問題數(shù)學(xué)模型實際問題數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)模型的解實際問題的解數(shù)學(xué)模型的解實際問題的解還原說明9、簡述數(shù)學(xué)建模的基本步驟。答:數(shù)學(xué)建模的方法和步驟是:弄清實際問題:包括了解問題的實際背景知識,從中提取有關(guān)的信息,明確要達到的目標(biāo)?；唵栴}:根據(jù)問題的特點和目的,做出某種核力的假設(shè),舍棄一些次要因素,從而使問題得以化簡。建模:在假設(shè)的基礎(chǔ)上,抓住主要因素和有關(guān)量之間的關(guān)系進行抽象概括,運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具刻畫變量之間的數(shù)量關(guān)系,建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)求解:對所得的模型在數(shù)學(xué)上進行推理或演算,求出數(shù)學(xué)上的結(jié)果檢驗:把數(shù)學(xué)上的結(jié)論返回到實際問題中。若模型與實際比較溫和,則對所得結(jié)果給出實際含義,并進行解釋。倘若經(jīng)過檢驗與實際不符,就必須對所得模型加以修正,重復(fù)前面的建模過程。10、試用框圖表示用特殊化方法解決問題的一般過程。對象A/(A)對象A/(A)對象A結(jié)論B/A+B結(jié)論B/A+B/(若信息不夠則重復(fù)進行)結(jié)論B結(jié)論B11、簡述化歸方法的和諧化原則。答:和諧化是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的主要內(nèi)容之一。美與真在數(shù)學(xué)命題中一般是統(tǒng)一的。因此,我們在解題過程中,可根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論以及數(shù)、式、形等的結(jié)構(gòu)特征,利用和諧美去思考問題,獲得解題信息,從而確立解題的總體思路,達到以美啟真的作用。12、什么是算法的有限性特點?試舉一個不符合算法有限性特點的例子。答:算法的有限性是指:一個算法必須在有限步之內(nèi)終止．以十進制小數(shù)的除法這個算法為例,如取數(shù)2和3作為初始數(shù)據(jù),則有2÷3=O．6666…無論怎樣延續(xù)這個過程都不能結(jié)束,同時也不會出現(xiàn)中斷．因此,除法對于2和3這組數(shù)不符合算法有限性特點．13、簡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑。答:數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)能夠從以下三方面入手:(1)用猜想學(xué)習(xí)新知識;(2)用猜想探究數(shù)學(xué)規(guī)律;(3)用猜想探索解題思路。14、簡述特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。答:特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用大致有以下四方面:(1)利用特殊值(圖形)解選擇題;(2)利用特殊化探求問題結(jié)論;(3)利用特例檢驗一般結(jié)果;(4)利用特殊化探索解題思路。15、什么是類比猜想?并舉一個例子說明。答:人們運用類比法,根據(jù)一類事物所具有的某種屬性,得出其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷,即猜想,這種思想方法稱為類比猜想。分式與分?jǐn)?shù)非常相似,只不過是用字母替代數(shù)而已,因此,我們能夠猜想,分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運算等方面都是對應(yīng)相似的。事實也如此。16、什么是歸納猜想?并舉一個例子說明。答:人們運用歸納法,得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識的一種推測性的判斷,即猜想,這種思想方法稱為歸納猜想。例如:人們在度量了很多圓的周長和半徑以后,發(fā)現(xiàn)她們的比值總是近似等于3.14,于是提出了圓周率是3.14的猜想。這就是歸納猜想。17、簡述將”化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一條原則的理由。答:由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識的背后,知識教學(xué)雖然蘊含著思想方法,可是如果不是有意識地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對象,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時,學(xué)生常常只注意到處于表層的數(shù)學(xué)知識,而注意不到處于深層的思想方法。因此,進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時必須以數(shù)學(xué)知識為載體,把隱藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想方法顯示出來,使之明朗化,才能經(jīng)過知識教學(xué)過程達到思想方法教學(xué)之目的。四、解答題1、運用方程模型解應(yīng)用題時,其中最重要的是”設(shè)想問題已經(jīng)解出”、”用兩種不同方式表示同一個量”、”方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等”這三個要點。這是為什么?請闡述你的理解。解答:”設(shè)想問題已經(jīng)解出”,即在列式時將未知量與已知量同等對待。這是列方程中的一個重要思想,也是它優(yōu)于算術(shù)之處。在算術(shù)列式中,未知量只能列在等號左邊,且系數(shù)必須為1,已知量只能在等號右邊出現(xiàn)。已知量與未知量的地位截然不同,因此列式比較困難。而在方程列式中,已知量與未知量處于同等地位,都能夠在等號兩邊出現(xiàn),于是列式就容易多了?！庇脙煞N不同方式表示同一量”,這是列方程的關(guān)鍵。所謂方程,其實就是用兩種不同的方法表示同一個量,并用等號聯(lián)結(jié)起來。”方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等”,是為了得到確定的解。這里有個自由度的思想。當(dāng)方程個數(shù)少于未知量個數(shù)時,就會出現(xiàn)不定方程(組)。這時方程(組)的解一般會有無窮多個。2、(1)什么是類比推理?(2)寫出類比推理的表示形式。(3)怎樣才能增加由類比得出的結(jié)論的可靠性?解答:(1)類比推理是指,由一類事物所具有的某種屬性,能夠推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。(2)類比推理的表示形式為:A具有性質(zhì)a1,a2…,an及d;B具有性質(zhì)a1/,a2/,…an/;因此,B也可能具有性質(zhì)d/。其中,a1與a1/,a2與a2/,…an與an/,d與d/分別相同或相似。(3)盡量滿足下列條件可增加類比結(jié)論的可靠性:①A與B共同(或相似)的屬性盡可能多些;②這些共同(或相似)的屬性應(yīng)是類比對象A與B的主要屬性;③這些共同(或相似)的屬性應(yīng)包括類比對象的不同方面,而且盡可能是多方面的;④可遷移的屬性d應(yīng)是和a1,a2…,an屬于同一類型。3、圓周角定理證明思路如下:將圓周角的兩邊所處的位置分成三種情況:①角的一邊落在直徑上;②角的兩邊在某一直徑的兩側(cè);③角的兩邊在某一直徑的同側(cè)。如上圖所示。先對情況①進行證明,然后將情況②、③轉(zhuǎn)化為情況①分別進行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結(jié)論。試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學(xué)思想方法。解答:該證明中用到下面幾種數(shù)學(xué)思想方法: