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圓滿版工程數(shù)學(xué)概率綜合練習(xí)題圓滿版工程數(shù)學(xué)概率綜合練習(xí)題/圓滿版工程數(shù)學(xué)概率綜合練習(xí)題北京郵電大學(xué)高等函授教育、遠程教育《工程數(shù)學(xué)》綜合練習(xí)題通訊工程、計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)(本科)《概率論與隨機過程》部分一、設(shè)A、B、C為三事件,用A、B、C運算關(guān)系表示以下事件:1.A發(fā)生,B與C不發(fā)生:_______________________、、C中最罕有一個發(fā)生:___________________2.AB3.A、B、C中最罕有兩個發(fā)生:___________________、、C中不多于一個發(fā)生。_____________________4.AB二、填空1.設(shè)A、B為兩個事件,且P(AB)0.7,P(A)P(B)0.5,則(1)P(AB)___________,(2)P(AB)__________;2.若事件A發(fā)生必致使事件B發(fā)生,且P(A)0.4,則P(BA)____,P(AB)____;3.若A、B為隨意兩隨機事件,若P(A),P(B),P(AB)已知,則P(AB)______________,P(A)_______________;4.設(shè)有三事件A1、A2、A3相互獨立,發(fā)生的概率分別為p1、p2、p3,則這三事件中最罕有一個發(fā)生的概率為__________________,這三事件中最罕有一個不發(fā)生的概率為_______;5.若隨機變量X~B(5,0.3),則P{X=3}=___________________________,P{X≥4}=__________________________________________;6.設(shè)隨機變量X~B(n,p),且EX=2.4,DX=1.44,則X的散布列為PXk__________________________________________,PX3__________________________________________;7.已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為1(x1)2f(x)e8(,)2則EX=______,DX=______,X的散布函數(shù)F(x)__________________;8.設(shè)X~N(1.5,4),則P{︱X︱<3}=_________________;(已知(0.75)0.7734,(2.25).9878)122x9.若X~N(,2),且Ye2e2,則E(Y)___________;10.設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)ke3x,x0則常數(shù)k_________。0,x011.設(shè)隨機變量X~U[1,3],則E1_________。X12.設(shè)隨機變量X~π(),且E(X2)2,則_________。13.設(shè)艦艇橫向搖晃的隨機振幅X遵照瑞利散布,其概率散布密度為x2xe22f(x)2
,x0其余0,則E(X)=___________。14.已知(X,Y)的散布律為Y123X1
111691813且知X與Y相互獨立,則和分別為_____,_____。15.已知(X,Y)的散布律為Y-10-1X10.20.10.120.100.1300.30.1則:(1)E(X)=__________2)E(Y)=__________三、單項選擇題1.一批產(chǎn)品共100件,此中有5件不合格,從中任取5件進行檢查,假如發(fā)現(xiàn)有不合格產(chǎn)品就拒絕接受這批產(chǎn)品,則該批產(chǎn)品被拒絕接受的概率為C)A.C955B.5C95514C.1D.1595C1005100C1005C51001002.設(shè)A、B為兩事件,P(AB)P(AB)且P(A)0.4,則P(B)(B)A.0.2B.0.4C.0.6D.13.設(shè)失散型隨機變量X的散布律為2X012P0.30.50.2若F(x)為X的散布函數(shù),則F(1.5)=(B)A.0.8B.0.5C.0D.14.設(shè)隨機變量X的概率散布密度為f(x)3x2,0xa則a0,其余(C)1B.1C.1D.2A.245.設(shè)隨機變量X與Y獨立,其方差分別為6和3,則D(2X-Y)=(D)A.9B.15C.21D.276.設(shè)隨機變量X與Y獨立,X的概率密度為8,x22y,0y1fX(x)x3的概率密度為YY,其余0,其余0則E(XY)=(D)4B.578A.3C.D.333四、某產(chǎn)品每批中都有三分之二合格品,查驗時規(guī)定:先從中任取一件,假如合格品,放回,再從中任取一件,假如仍為合格則接受這批產(chǎn)品,不然拒收,求一批這類產(chǎn)品被拒收的概率,以及三批產(chǎn)品中最罕有一批被接收的概率。五、袋中有5個白球,3個黑球,分別按以下兩種取法在袋中取球:(1)從袋中有放回地取三次球,每次取一球,(2)從袋中無放回地取三次球,每次取一球(或稱從袋中一次取三個球),在以上兩種取法中均求A={恰巧獲得2個白球}的概率。六、將n個球放入N個盒子中去,試求恰有七、為了防備不測,在礦內(nèi)安裝兩個報警系統(tǒng)
n個盒子各有一球的概率(n≤N)。a和b,每個報警系統(tǒng)獨自使用時,系統(tǒng)a有效的概率為0.92,系統(tǒng)b有效的概率為0.93,而在系統(tǒng)a失靈狀況下,系統(tǒng)b有效的概率為0.85,試求:(1)當發(fā)買賣外時,兩個報警系統(tǒng)最罕有一個有效的概率;(2)在系統(tǒng)b失靈狀況下,系統(tǒng)a有效的概率。八、設(shè)有一箱產(chǎn)品是由三家工廠(甲、乙、丙)生產(chǎn)的,已知此中1產(chǎn)品是由甲廠生2產(chǎn)的,乙、丙兩廠的產(chǎn)品各占1,已知甲、乙兩廠產(chǎn)品的2%是次品,丙廠產(chǎn)品的4%是次4品。試求:(1)任取一件是次品又是甲廠生產(chǎn)的概率;(2)任取一件是次品的概率;(3)任取一件已知是次品,問它是甲廠生產(chǎn)的概率。九、設(shè)某工廠實質(zhì)上有96%的產(chǎn)品為正品,使用某種簡單方法查收,以98%的概率把原來為正品的產(chǎn)品判為正品,而以5%的概率把原來是次品的產(chǎn)品判為正品。試求經(jīng)簡單驗3收法被以為是正品確實是正品的概率。十、對過去數(shù)據(jù)進行分析表示,當機器開動調(diào)整優(yōu)秀時,產(chǎn)品的合格率為90%,而當機器不優(yōu)秀時,其產(chǎn)品的合格率為30%;機器開動時,機器調(diào)整優(yōu)秀的概率為75%。試求某日首件產(chǎn)品是合格品時,機器調(diào)整優(yōu)秀的概率。十一、兩批產(chǎn)品同樣多,一批全部合格,另一批混有1的次品,從任一批中取一產(chǎn)品4檢測后知為合格品,又將其放回,求仍在這一批產(chǎn)品中任取一件為次品的概率。十二、由統(tǒng)計資料可知,甲、乙兩城市,一年中雨天的比率分別為20%和18%,且已知甲下雨時,乙也下雨的概率為60%。試求甲、乙最罕有一地出現(xiàn)雨天的概率。十三、一批部件共100個,次品率為10%,每次從中任取一個部件,拿出部件不再放回去,求第三次才獲得正品的概率。十四、三人獨立地去破譯一個密碼,他們能譯出的概率分別為1、1、1。問能將此534密碼譯出的概率是多少?十五、已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的次品率為0.01,假如該廠以每10個產(chǎn)品為一包銷售,并許諾若發(fā)現(xiàn)包內(nèi)多于一個次品即可退貨,問賣出的產(chǎn)品被退回的概率?若以20個產(chǎn)品為一包銷售,并許諾多于2個次品即可退貨,問賣出的產(chǎn)品被退回的概率。十六、設(shè)有20臺同類設(shè)施由一人負責維修,并假設(shè)各臺設(shè)施發(fā)生故障的概率為0.01,且各臺設(shè)施能否發(fā)生故障相互相互獨立,試求設(shè)施發(fā)生故障而不可以實時維修的概率,若由3人共同維修80臺設(shè)施狀況又怎樣?npk(1p)nkk十七、用近似計算公式ek0,1,2,,n計算上邊第十六題。kk!十八、某保險企業(yè)發(fā)現(xiàn)索賠要求中有15%是因被盜而提出的,此刻知道1998年中該公司共收到20個索賠要求,試求此中包括5個或5個以上被盜索賠的概率。十九、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)Acosx,x20,2其余求(1)系數(shù)A;(2)P0X;(3)求X的散布函數(shù)。4二十、一種電子管的使用壽命為X小時,其密度函數(shù)為100,x100f(x)x20,x100設(shè)其儀器內(nèi)裝有三個上述電子管(每個電子管破壞與否相互獨立的),試求1)使用150小時內(nèi)沒有一個電子管破壞的概率;2)使用150小時內(nèi)只有一個電子管破壞的概率。二十一、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為4k3x2kx,x0f(x)e2(k>0),x0求X的概率散布函數(shù)F(x)。二十二、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的散布函數(shù)x2F(x)abe2,x00,x0求:(1)常數(shù)a,b;2)P{-1≤X≤1};3)X的散布密度f(x)二十三、設(shè)k在[0,5]上遵照平均散布,求方程4x24xkk20有實根的概率。二十四、設(shè)X遵照參數(shù)0.015的指數(shù)散布(1)求P{X>100};(2)假如要使P{X>x}<0.1,問x應(yīng)在哪個范圍?二十五、設(shè)丈量某地到某一目標的距離時帶有隨機偏差X,已知X~N(20,600),(1)求丈量偏差的絕對值不超出30的概率;(2)假如接連三次丈量,各次丈量相互獨立,求至罕有一次偏差絕對值不超出30的概率。二十六、設(shè)隨機變量X的散布列為X101252P11133510101010求(1)Y=-2X的散布列;(2)Y=X2的散布列。二十七、若隨機變量X~N(0,1),求Y=X2的散布密度。二十八、若隨機變量X的密度為f(x)1ex,(-∞,+∞),求Y=︱X︱的概率密2度。二十九、設(shè)二維隨機變量(X,Y)的散布列為Y0123X11111862462111116124812311111612481251)求對于X和對于Y的邊沿散布列;2)判斷X與Y能否獨立;3)求P{X+Y<3};4)求E(XY)。三十、設(shè)隨機變量X的散布列為X1012P11112666且Y=X2-1求(1)Y的散布列;(2)(X,Y)的結(jié)合散布列;(3)判斷X與Y能否獨立。三十一、設(shè)隨機變量X與Y獨立,且X在[0,0.2]上遵照平均散布,Y的散布密度為fY(y)5e5y,y00,y0求(X,Y)的散布密度及P{Y≥X}。三十二、設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)xy,0x1,0y1,其余1)求P{X+Y≤1};(2)問X與Y能否相互獨立?3)求E(X+Y)和D(X+Y)。三十三、設(shè)二維連續(xù)隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為Axy2,0x2,0y1f(x,y)其余0,求(1)常數(shù)A;(2)對于X的邊沿散布密度fX(x);(3)對于Y的邊沿散布密度fY(y);(4)EX。三十四、設(shè)X的散布列為X-202P0.40.30.3求:EX,EX2,DX,D(3X2+5)。三十五、設(shè)(X,Y)的散布密度為f(x,y)1(xy),0x2,0y280,其余求(X,Y)。6北京郵電大學(xué)高等函授教育、遠程教育《工程數(shù)學(xué)》綜合練習(xí)解答通訊工程、計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)(本科)《概率論與隨機過程》部分一、1.ABC;2.ABC;3.ABCABCABCABC4.ABCABCABCABC二、填空:21.(1)0.2,(2);2.10.453.P(A)+P(B)-P(AB),1-P(A);4.1(1p1)(1p2)(1p3),1p1p2p3;5.C53(0.3)3(0.7)2(或0.135),C54(0.3)4(0.7)1C55(0.3)5(或0.0280.002);.Ckk(0.6)6k,k0,1,2,,6,C3(0.4)3(0.6)3或864;66(0.4)63125x1(t1)27.1,4,e8dt,x2;28.0.7612;9.1;10.3;11.1ln3;12.1;213.2;14.2,1;15.2,0。99三、單項選擇題1.C2.B3.B4.C5.D6.D四、解:設(shè)A1、A2表示第一、二次拿出的為合格品7P拒收P接收1P接收1P(A1A2)1P(A1)P(A2)122533953P三批中最罕有一批被接收1P三批全拒收60417299五、解:(1)N88883512,NA35532252P(A)NA2250.44N512(2)N876A83336,NA35433A51A3118022P(A)NA1800.5433653或2130P(A)80.54563六、解:令A(yù)恰有n個盒子各有一球NNNNNnnNANn!nNn!n所以P(A)Nn七、解:令A(yù)系統(tǒng)a有效B系統(tǒng)b有效8P(A)0.92P(B)0.93P(BA)0.85(1)P(AB)P(A)P(B)P(AB)此中P(AB)P(BBA)P(B)P(BA)P(B)P(A)P(BA)0.93(10.92)0.850.862所以P(AB)0.920.930.8620.988(2)P(AB)P(AB)P(AAB)P(A)P(AB)P(B)1P(B)1P(B)0.920.8620.82910.93八、解:設(shè)A1、A2、A3分別為甲、乙、丙的產(chǎn)品,B表示產(chǎn)品是次品,明顯P(A1)11,P(A2)P(A3)42P(BA1)P(BA2)2%P(BA3)4%由乘法公式P(A1B)11%23(2)由全概率公式P(B)P(BAi)P(Ai)i1114%12%2%0.0252441P(BA1)P(A1)2%(3)由Bayes公式P(A1B)20.430.025P(BAi)P(Ai)i1九、解:設(shè)A表示原為正品P(A)=96%P(A)=4%設(shè)B表示簡單查收法以為是正品P(BA)=98%P(BA)=5%所求概率為P(AB)P(AB)P(A)P(BA)P(B)P(BA)P(A)P(BA)P(A)0.960.980.9980.980.960.050.04十、解:設(shè)A={機器調(diào)整優(yōu)秀}B={合格品}P(A)=75%P(A)=25%P(BA)=90%P(BA)=30%9所以P(AB)=P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(B)75%90%90%75%90%25%30%十一、解:設(shè)A1、A2分別表示第一次取到有次品產(chǎn)品的事件和無次品產(chǎn)品的事件,B為第一次拿出的合格品,明顯有P(A1)P(A2)13,P(BA1),P(BA2)1由Bayes公式24P(A1B)P(A1)P(BA1)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)1332413117242設(shè)C表示第二次拿出次品的事件313P(C)4287十二、解:設(shè)A={甲出現(xiàn)雨天},B={乙出現(xiàn)雨天}由題意可知P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(BA)=0.6所求概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+(B)-P(A)P(B︱A)=0.2+0.18-0.2×0.6=0.26十三、解:令A(yù)i第i次拿出為正品i1,2,3,所求概率為P(A1A2A3)P(A1A2)P(A3A1A2)P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)10990100990.008498十四、解:設(shè)Ai第i人能譯出i1,2,3A={密碼被譯出}則AA1A2A3P(A)P(A1A2A3)1P(A1A2A3)4231P(A1)P(A2)P(A3)130.654十五、解:設(shè)X表示賣出的一包產(chǎn)品中的次品數(shù)(1)X~B(10,0.01)于是P{賣出的一包被退回}=P{X>1}=1-P{X≤1}=1-P{X=0}-P{X=1}100(0.01)0101(0.01)1(0.99)90.004=1C10(0.99)C102)X~B(20,0.01)P{賣出的一包被退回}=P{>}-P{X≤}X2=12=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=2}00201(0.01)1(0.99)192(0.01)2(0.99)180.001=1C20(0.01)(0.99)C20C20十六、解:先研究一人負責維修20臺設(shè)施的狀況。在某一時辰設(shè)施發(fā)生故障的狀況可視為在此時辰對20臺設(shè)施逐一進行檢查,每次檢查只有兩個可能結(jié)果;設(shè)施發(fā)生故障或設(shè)施正常工作,所以可視為一個n(n20)重貝努利試驗。若令X表示某時辰設(shè)施發(fā)生故障的臺數(shù),則X~B(20,0.01).由題意知,當發(fā)生故障的臺數(shù)超出維修工作人數(shù),即超出1時,將發(fā)生不可以實時維修的現(xiàn)象,所以,所求事件概率為P{X>}1=1-P{X≤1}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-(0.99)2020(0.99)190.011=0.017對于3人共同維修80臺設(shè)施的狀況,可近似于上邊的討論,此時X~B(80,0.01),并且發(fā)生故障不可以實時維修的概率為P{X>3}=13PXkk0=380k(0.99)80k1(0.01)k0k=0.008十七、解:一人維修20臺的狀況:n20,p0.001,np0.2{≥2}0.2ke0.2PXk0k!查附表2得{X≥2}≈0.01753人維修80臺的狀況:n80,p0.01,np0.811P{X≥4}0.8ke0.8k0k!=0.00905十八、解:令X表示20個索賠中被盜索賠的個數(shù)X~B(20,15%)所求概率為P{X≥5}=1-P{X<5}=1-443k3(200.153)PXk1ek0k0k!(查表)=1-[0.049787+0.149361+0.224042+0.224042+0.168031]=1-0.815263=0.184737十九、解:(1)1=f(x)dx2Acosxdx2A2cosxdx20=2Asinx02=2A,A=12f(x)1cosx,2x故220,其余(2)P0X41cosxdx=1sinx41sin240220244(3)當x<時,F(x)02當≤x<時,22F(x)xx1cosudux1(sinx1)f(u)du1sinu22222當x>時,F(xiàn)(x)120,x12總之F(x)x(sinx1),2221,x2二十、解:令p表示一個電子管使用壽命不超出150小時(即150小時內(nèi)破壞)的概率,于是12p=P{X≤150}=1501002dx100
1501
1001100xx
1001503若Y表示150小時內(nèi)破壞電子管的數(shù)量,則Y~B3,1303于是(1)P{=0}=0128;YC3332712(2){=1}=112124PYC333279二十一、解:當x<0時F(x)xf(u)du0當x≥0時F(x)xf(u)duxk3x2ekxdx02k3x2ekx2xekx2ekx2kk2k31k2x22kx2ekx2k2x22kx2kx,x0所以F(x)12e0,x0二十二、解:(1)由1=limF(x),得a1x由F(x)在x0處連續(xù),F(0)abF(0)0以及a1,得b1,于是x2F(x)1e2x00x0
23k1(2)P{-1≤X≤1}=F(1)-F(-1)=1-e20.3935x2(3)f(x)F(x)xe2x00x0二十三、解:有實根是當b24ac0即(4k)244(k2)013即16k216k320即k2k20k20或k20即k2或k1k10k10fk(x)1,0x550,其余于是P有實根Pk2或k1Pk2Pk151dx10dx3255二十四、解:依題意X的密度函數(shù)為f(x)0.015e0.015x,x00,x0(1)P{X>0}f(x)dx1000.015e0.015xdx100e0.015x100e1.50.223(2)假如要使P{X>x}<0.1即xf(x)dxx0.015e0.015udue0.015uxe0.015x0.1即-0.015x<ln0.1即x>ln0.10.015二十五、解:()P︱X︱≤30}=P-≤x≤30}=302030201{{304040(0.25)(1.25)0.59870.874410.4931(2)令Y表示三次丈量絕對值偏差不超出30的次數(shù)則Y~B(3,0.4931)所以P{Y≥1}=1-P{Y<1}=1-P{Y=0}=1-(0.4931)3≈0.88二十六、解:(1)因為X101252Y=-2X20245P11133510101010所以Y=-2X的散布列為Y=-2X5420214P33111101010105(2)因為X101252=2101425YX4P11133510101010所以Y=X2的散布列為Y=X2014254P1333101010101x2二十七、解:因為f(x)e2,(,)2當y0時F(y)PYyPX2yP()0當y時Fy)PYyPX2yPyXy0(y1x2dx1x2dxyy220所以2f(y)F(y)2
2ye2,y000,y0x1e2所以f(y)2y0
,y0,y0二十八、解:Y=︱X︱的取值為yx≥0所以當y0時F(y)PYy0當y0時F(y)PYyPxyPyXyy1exdx01exdx+y1exdxy2y202=1-e
y15所以F(y)0,y00,y0,則f(y)F(y)ey,y01ey,y0二十九、解:(1)對于X、Y的邊沿散布列分別為X012Y0123111P1111P44431232(2)經(jīng)考證:對全部i,j有pijpipj所以X與Y相互獨立。(3)PXY311111113862416121624(4)E(X)3,E(Y)342又X與Y相互獨立E(XY)E(X)E(Y)339428三十、解:(1)Y的散布列為Y-103P121636(2)PXxi,YyjPXxiPYyjXxiPX1,Y10PX1,Y10PX1,Y01PX1,Y0126PX1,Y30PX1,Y30PX0,Y11PX2,Y106PX0,Y00PX2,Y00PX0,Y30PX2,Y316(X,Y)的散布列為Y103X-1010210006116201
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