中考數(shù)學(xué)壓軸題秘籍《二次函數(shù)的綜合》含答案解析

二次函數(shù)的綜合題型解讀：二次函數(shù)的綜合問題在中考中常常作為壓軸題出現(xiàn)，多考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，一般要用到線段最值、圖形面積、特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形等相關(guān)知識，以及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①求拋物線、直線的解析式；②求點的坐標(biāo)、線段長度、圖形面積；③探究幾何圖形的存在性問題或周長、面積的最值問題.下圖為二次函數(shù)綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：二次函數(shù)與最值問題解題模板：1.（2022?廣元）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；（2）當(dāng)a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△ABP周長的最小值；（3）當(dāng)a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當(dāng)QD的值最大時，求此時點Q的坐標(biāo)及QD的最大值．【分析】（1）在直線y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得點A和B的坐標(biāo)，代入拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；（2）連接BC交直線x＝1于點P，利用兩點之間線段最短可得出此時△PAB的周長最小，從而可以解答；（3）根據(jù)a＝1時，可得拋物線的解析式y(tǒng)＝x2+x﹣2，如圖2，過點Q作QF⊥x軸于F，交AB于E，則△EQD是等腰直角三角形，設(shè)Q（m，m2+m﹣2），則E（m，﹣m﹣2），表示QE的長，配方后可解答．【解答】解：（1）直線y＝﹣x﹣2中，當(dāng)x＝0時，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），當(dāng)y＝0時，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），將A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）如圖1，當(dāng)a＝時，2×﹣b＝1，∴b＝﹣，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴拋物線的對稱軸是：x＝1，由對稱性可得C（4，0），要使△ABP的周長最小，只需AP+BP最小即可，如圖1，連接BC交直線x＝1于點P，因為點A與點C關(guān)于直線x＝1對稱，由對稱性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，此時△ABP的周長最小，所以△ABP的周長為AB+BC，Rt△AOB中，AB＝＝＝2，Rt△BOC中，BC＝＝＝2，∴△ABP周長的最小值為2+2；（3）當(dāng)a＝1時，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如圖2，過點Q作QF⊥x軸于F，交AB于E，則△EQD是等腰直角三角形，設(shè)Q（m，m2+m﹣2），則E（m，﹣m﹣2），∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，當(dāng)m＝﹣1時，QD有最大值是，當(dāng)m＝﹣1時，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，綜上，點Q的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）時，QD有最大值是．【變式1-1】（2022?遂寧節(jié)選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，E為△ABC邊AB上的一動點，F(xiàn)為BC邊上的一動點，D點坐標(biāo)為（0，﹣2），求△DEF周長的最小值；【分析】（1）利用待定系數(shù)法把問題轉(zhuǎn)化為方程組解決；（2）如圖，設(shè)D1為D關(guān)于直線AB的對稱點，D2為D關(guān)于直線BC的對稱點，連接D1E，D2F，D1D2．當(dāng)D1，E．F．D2共線時，△DEF的周長最小，最小值為D1D2的長；（3）求出直線AM的解析式，利用方程組求出點M的坐標(biāo)，過點M作x軸的平行線l，過點N作y軸的平行線交x軸于點P，交直線l于點Q．分三種情形：當(dāng)AM＝AN時，當(dāng)AM＝MN時，當(dāng)AN＝MN時，分別構(gòu)建方程求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點C（0，﹣3）．∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖，設(shè)D1為D關(guān)于直線AB的對稱點，D2為D關(guān)于直線BC的對稱點，連接D1E，D2F，D1D2．由對稱性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周長＝D1E+EF+D2F，∴當(dāng)D1，E．F．D2共線時，△DEF的周長最小，最小值為D1D2的長，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（3，0），∴OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（0，﹣2），∴D2（1，﹣3），∵D，D1關(guān)于x軸對稱，∴D1（0，2），∴D1D2＝＝＝，∴△DEF的周長的最小值為．【變式1-2】（2022?齊齊哈爾節(jié)選）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象交點為A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求拋物線的解析式；（2）點C為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)AC與BC的和最小時，點C的坐標(biāo)為；（3）點D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點D作DE⊥x軸，交線段AB于點E，求線段DE長度的最大值；【分析】（1）將A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；（2）根據(jù)兩點之間，線段最短，可知當(dāng)點A、B、C三點共線時，AC+BC的最小值為AB的長，求出直線AB的解析式，即可得出點C的坐標(biāo)；（3）設(shè)D（a，a2﹣2a﹣3），則E（a，a+1），表示出DE的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（4）分CF為對角線和邊，分別畫出圖形，利用正方形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝kx+b，，∴，∴直線AB的解析式為y＝x+1，∵AC+BC≥AB，∴當(dāng)點A、B、C三點共線時，AC+BC的最小值為AB的長，∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對稱軸為x＝1，∴當(dāng)x＝1時，y＝2，∴C（1，2），故答案為：（1，2）；（3）設(shè)D（a，a2﹣2a﹣3），則E（a，a+1），∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），∴當(dāng)a＝時，DE的最大值為；題型2：二次函數(shù)與圖形面積問題解題模板：技巧精講：表示圖形面積的方法2.（2022?常德）如圖，已知拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)△OAB的面積為15時，求B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動點，當(dāng)PA﹣PB的值最大時，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最大值．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)B（2，m）（m＞0），運用待定系數(shù)法求得直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線OA與拋物線對稱軸交于點H，則H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面積公式建立方程求解即可得出答案；（3）運用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y＝﹣x+10，當(dāng)PA﹣PB的值最大時，A、B、P在同一條直線上，聯(lián)立方程組求解即可求得點P的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式可求得AB，即PA﹣PB的最大值．【解答】解：（1）∵拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（4，0），設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；（2）∵點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，∴設(shè)B（2，m）（m＞0），設(shè)直線OA的解析式為y＝kx，則5k＝5，解得：k＝1，∴直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線OA與拋物線對稱軸交于點H，則H（2，2），∴BH＝m﹣2，∵S△OAB＝15，∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴點B的坐標(biāo)為（2，8）；（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝cx+d，把A（5，5），B（2