二面角的定義

二面角二面角2021/5/91一、二面角的定義從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角二面角αβι2021/5/92二面角的平面角角的平面角

一個(gè)平面垂直于二面角的棱，并與兩半平面分別相交于射線PA、PB垂足為P，則∠APB叫做二面ABPγβαι二面角二面角2021/5/93二、二面角的求法1、直接法：⑴定義法:a以二面角的棱a上任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA,OB，則∠AOB就是此二面角的平面角。OAB在一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)A向另一平面作垂線AB，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連結(jié)AO，則∠AOB就是二面角的平面角。ABO⑶垂面法:a過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角。ABCO⑵三垂線定理法:a二面角的求法2021/5/94ABCO cos(∮)=MN三角形ABC在平面N內(nèi)的射影為BCO三角形ABC的面積為S，三角形BCO的面積為S射面積法2021/5/95例1.

在棱長(zhǎng)為a的正方體

ABCD－A1B1C1D1中，求（1）平面C1BD與平面

ABCD所成角的大?。?/p>

（2）二面角A－B1D1－C的大小。例題分析A1AC1BCB1D1DPO2021/5/96例2.如圖，已知P是二面角α-AB-β棱上一點(diǎn)，過(guò)P分別在α、β內(nèi)引射線PM、PN，且∠MPN=60o

∠BPM=∠BPN=45o

，求此二面角的度數(shù)。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一點(diǎn)O，在α內(nèi)過(guò)O作OC⊥AB交PM于C，在β內(nèi)作OD⊥AB交PN于D，連CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角設(shè)PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45o∴CO=a，

DO=a，

PCa，PDa又∵∠MPN=60o

∴CD=PCa∴∠COD=90o因此，二面角的度數(shù)為90oaOPC二面角2021/5/97例3．如圖P為二面角α–ι–β內(nèi)一點(diǎn)，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數(shù)。

過(guò)PA、PB的平面PAB與棱ι

交于O點(diǎn)∵PA⊥α∴PA⊥ι

∵PB⊥β∴PB⊥ι

∴ι⊥平面PAB∴∠AOB為二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60o∴∠AOB=120o

∴這二面角的度數(shù)為120o解：βαABPιO二面角2021/5/98OABPC取AB的中點(diǎn)為E，連PE，OE∵O為AC中點(diǎn)，∠ABC=90o∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值為例4．如圖，三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn)O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值?！唷螾EO為二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角2021/5/99例5已知：Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使∠BDC成直角。

求證：①平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC②∠BAC=60。證明：①在圖乙中∵AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC，∴平面ABD⊥平面BDC，②在圖甲中∵AB=AC=a，∠BAC=90。在圖乙中∵△ABC是等邊三角形∴∠BAC=60。平面ACD⊥平面BDC。

又∵AD平面ABD，AD平面ACD，∩∩BD=DC=BC/2=2/2DBACADBC(甲圖）（乙圖）2021/5/910例6、如圖，設(shè)E為正方體的邊CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1-所成角的余弦值。

△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影為△A1B1C1，故這兩個(gè)平面所成二面角的余弦值為ABCDA1B1C1D1EM2021/5/911ABCA1B1C1例7：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值NQ分析：易知，平面ABC與平面BCC1B1垂直故可由面面垂直的性質(zhì)來(lái)尋找從一個(gè)半平面到另一個(gè)半平面的垂線。2021/5/912

h=1/3×2×，解：由直三棱柱性質(zhì)得平面ABC⊥平面BCC1B1，過(guò)A作AN⊥平面BCC1B1，垂足為N，則AN⊥平面BCC1B1，（AN即為我們要找的垂線）在平面BCB1內(nèi)過(guò)N作NQ棱B1C，垂足為Q，連QA，則NQA即為二面角的平面角?！逜B1在平面ABC內(nèi)的射影為AB，CAAB，∴CAB1A，AB=BB1=1，得AB1=?！咧本€B1C與平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC=，∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。sinAQN=。即二面角B-B1C-A的正弦值為。2021/5/9131、如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點(diǎn)，則二面角P-BC-A的平面角為:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是

練習(xí)2、已知P為二面角內(nèi)一點(diǎn)，且P到兩個(gè)半平面的距離都等于P到棱的距離的一半，則這個(gè)二面角的度數(shù)是多少？pαβιABOABCP60o二面角2021/5/914二、二面角的平面角一、二面角的定義

從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角1、定義2、求二面角的平面角方法①點(diǎn)P在棱上②點(diǎn)P在一個(gè)半平面上③點(diǎn)P在二面角內(nèi)ABPγβαι小結(jié)二面角二面角αβιABαβιpιpαβABpαβιABO—定義法—三垂線定理法—垂面法二面角2021/5/915幾點(diǎn)說(shuō)明：⑴定義法是選擇一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計(jì)算，不是我們首選的方法。⑵三垂線法是從一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向另一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這個(gè)點(diǎn)和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計(jì)算簡(jiǎn)便，所以我們常用此法。⑶垂面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@一點(diǎn)不好選擇，所以此法一般不用。⑷以上三種方法作平面角都需寫出作法、證明、指出平面角。⑸間接法是在不易作出平面角時(shí)用。在解答題中要先證明射影面積公式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)系，再用公式,這種方法雖然避免了找平面角，但計(jì)算較繁，所以不常用。