離散數(shù)學(xué)第五章

2023/5/241

在了解了代數(shù)系統(tǒng)一般概念的基礎(chǔ)上，著重介紹幾種典型的代數(shù)系統(tǒng)：半群、獨(dú)異點(diǎn)和群，格和布爾代數(shù)。討論這些代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素以及這些代數(shù)系統(tǒng)具有的性質(zhì)。主要內(nèi)容如下：

5.1半群和獨(dú)異點(diǎn)；

5.2群的定義；

5.3群的性質(zhì)；

5.4子群及其判別；第五章群2023/5/2425.1半群和獨(dú)異點(diǎn)一、半群

定義5-1

設(shè)S是一個(gè)非空集合，*是S上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果*是可結(jié)合的,則稱(chēng)代數(shù)系統(tǒng)<S;*>

是半群。

例1

代數(shù)系統(tǒng)<N；+>和<N；·>、<I；+>和<I；·>、

<R；+>和<R；·>都是半群，但<I;->和<R-{0};/>不是半群。例2

代數(shù)系統(tǒng)<2U；>和<2U；>都半群，

2023/5/243例3

設(shè)S={|是集合A上的關(guān)系}，對(duì)于關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算可構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)<S;

>，<S;>是半群。

若F={f|f:AA}，則對(duì)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，代數(shù)系統(tǒng)<F;>也是半群。對(duì)任意a∈S，定義a1=a

an+1=an*a(n=1,2,……)并且對(duì)于任意正整數(shù)m

和n

，有

dm*dn=dm+n(dm)n=dmn(*)2023/5/244

二、獨(dú)異點(diǎn)定義5-2

若半群<S;*>中運(yùn)算*有單位元，則稱(chēng)<S;*>

為獨(dú)異點(diǎn)。例4

<N;·>;<Z;+>,<Z;·>;<I;+>和<I;·>;<R;+>

和<R;·>;<2U;>和<2U;>。例3中的<S;°>

和<F;°>

在獨(dú)異點(diǎn)<S,>中，對(duì)任意aS,有a0=ean+1=an*a(n=1,2,……)(*)式中的兩個(gè)等式在獨(dú)異點(diǎn)中亦成立。2023/5/245定義5-3：如果獨(dú)異點(diǎn)<S;*>中的運(yùn)算*是可交換的，則稱(chēng)此獨(dú)異點(diǎn)為可交換的獨(dú)異點(diǎn)。定義5-4：在獨(dú)異點(diǎn)<S;*>中，如果存在一個(gè)元素gS，使得每一個(gè)元素aS都能寫(xiě)成gi(iZ）的形式，則稱(chēng)獨(dú)異點(diǎn)<S;*>為循環(huán)獨(dú)異點(diǎn)，元素g稱(chēng)為該循環(huán)獨(dú)異點(diǎn)的生成元。定理5-1：每一個(gè)循環(huán)獨(dú)異點(diǎn)都是可交換的。證明：設(shè)是一具有生成元g的循環(huán)獨(dú)異點(diǎn)，則對(duì)任意的a,bS,

存在i,j

Z，使a＝gi,b＝gj

因此a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a2023/5/246三、子半群和子獨(dú)異點(diǎn)定義5-5

設(shè)<S;*>是一個(gè)半群，若<T;*>是<S;*>的子代數(shù)，則稱(chēng)<T;*>是<S;*>的子半群。例6

對(duì)于半群<N;+>，N的子集N2={2n|nN},N3={3n|nN},N4={4n|nN},…

都是<N;+>的子半群。

例7

對(duì)于半群<S;*>的任一元素aS,令集合

T={a,a2,a3,…}<T;*>是<S;*>的子半群。2023/5/247

定義5-6設(shè)<S;*>是一獨(dú)異點(diǎn)，若<T;*

>是<S;*>的子代數(shù)，且單位元eT，則稱(chēng)<T;*>是<S;*>的子獨(dú)異點(diǎn)。

例8

對(duì)于獨(dú)異點(diǎn)<Z;+>,子集N2,N3,N4,…,它們均不能構(gòu)成<Z;+>的子獨(dú)異點(diǎn)，

令Z2={2n|nZ},Z3={3n|nZ},Z4={4n|nZ}則<Z2;+>,<Z3;+>,<Z4;+>都是<Z;+>的子獨(dú)異點(diǎn)。2023/5/248定理5-2：設(shè)h是從代數(shù)系統(tǒng)V1＝<S;*>到V2＝<S;>的滿(mǎn)同態(tài)，其中運(yùn)算*和都是二元運(yùn)算，則（1）若V1是半群，則V2也是半群；（2）若V1是獨(dú)異點(diǎn)，則V2也是獨(dú)異點(diǎn)。2023/5/249四、有限獨(dú)異點(diǎn)的冪等元設(shè)<S;*>是生成元為g的有限循環(huán)獨(dú)異點(diǎn)，考慮無(wú)限序列：

e，g，g2，g3，....，gn-1，gn，gn+1，......(1)序列中的每一項(xiàng)都是S的元素（因?yàn)間S是生成元）(2)S中的每一個(gè)元素都在序列中(3)由于S有限，因此，該序列中只有有限個(gè)元素是不同的，而其他無(wú)窮個(gè)元素是相同的。設(shè)n是一個(gè)使gn＝gm（m<n）的最小正整數(shù)。令l=n-m，對(duì)任意的i>m，有g(shù)i=gi+hl（hZ）2023/5/2410定理5-2：設(shè)<S;*>是一個(gè)有限獨(dú)異點(diǎn)，則對(duì)每一個(gè)

aS，存在一個(gè)整數(shù)j≥1，使得aj是冪等元。證明：對(duì)任意的a∈S，令Sa＝{a0,a1,a2,...,an,...}因?yàn)镾有限，而SaS，所以Sa也有限?？梢则?yàn)證<S;*>是一具有生成元a的有限循環(huán)獨(dú)異點(diǎn)。因此，至少有一冪等元akl，這里的k和l如前定義。記j＝kl，即aj是冪等元。注：這里j≥1，有可能aj=e2023/5/2411練習(xí)1．判斷下述論斷正確與否，在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入“Y”或“N”，

(1)在實(shí)數(shù)集R上定義二元運(yùn)算*為：對(duì)于任意的a,bRa*b=a+b+ab(a)<R;*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)；（）

(b)<R;*>是一個(gè)半群；（）（c）<R;*>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。（）(2)在實(shí)數(shù)集R上定義二元運(yùn)算為，對(duì)任意a,bR,ab=|a|·b(其中·表示通常數(shù)的乘法運(yùn)算)(a)<R;>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)；（）

(b)<R;>是一個(gè)半群；（）

(c)<R;>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。（）YYYYYN2023/5/24125.2群的定義一、群的定義定義5-7

設(shè)<G;*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果運(yùn)算*是可結(jié)合的,存在單位元e,且G中任何元素a都有逆元a-1,

則稱(chēng)<G;*>是一個(gè)群。(1)對(duì)于任意的a,b,cG，有a*(b*c)=(a*b)*c；(2)存在一元素eG,使得對(duì)于任意的aG,有e*a=a*e=a；(3)對(duì)任意aG,相應(yīng)存在一元素a-1G,使得a-1*a=a*a-1=e例1<N;+><Z;+><I;·>和<R;·>

<I;+>、<R;+>和<R-{0};·>2023/5/2413

例2設(shè)有Z4={0,1,2,3},模4的加法運(yùn)算定義為

a4b=res4(a+b)為。構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)<Z4;4>。40123001231123022301330122023/5/2414對(duì)于任意的a,b,c∈N4，令a+b=4m1+res4(a+b),b+c=4m2+res4(b+c)a4(b4c)=a4res4(b+c)

=res4(a+res4(b+c))

=res4((4m1+res4(a+b))+c)=res4((a+b)+c)于是(a4b)4c=res4(a+b)4c=res4(res4(a+b)+c)=res4(a+(4m2+res4(b+c)))=res4(a+(b+c))=res4((a+b)+c)

因此(a4b)4c=a4(b4c)，即4滿(mǎn)足結(jié)合律。0是單位元，0的逆元是0，1和3互為逆元，2的逆元是2。<Z4;4>是一個(gè)群。2023/5/2415定義5-8如果群<G;*>的運(yùn)算*是可交換的，則稱(chēng)該群為交換群或阿貝爾群。20嘗23柱/5賺/1嚴(yán)816二、蝕循環(huán)緒群1．群賭中元捉素的番冪對(duì)于糧任意aG,騎a0=e葬,圾an+1=an*a寇(塞n亮=鬼0,序1,閃2,遺…炎)(a-1)0=e潑,駛(a-1)n+1=(諒a-1)n*a-1(腹n止=船0,占1,集2,霸…皆)（*）引進(jìn)碰記號(hào)a-n=(脖a-1)n=a-1*a-1*…*a-1(普n個(gè)a-1)因此(*)式可表示為(a-1)0=e,a-n-1=a-n*a-1(n=0,1,2…)對(duì)于任意整數(shù)m和n，下面二式仍然成立。20爽23吉/5到/1博817例如因?yàn)?0建23皆/5芹/1稅818又例飲如因?yàn)?0吉23侄/5艱/1津8192．循助環(huán)群定義5-健9在群<G紗;*>中,如果狗存在雀一元較素gG,使得崇每一元素aG都能辦表示況成gi(暑iI)的形產(chǎn)式,則稱(chēng)描群<G駕;*>為循環(huán)尤群，稱(chēng)g為該薯循環(huán)鋤群的生成罪元,并稱(chēng)群<G擔(dān);*>由g生成陶。例3群<I攔;+孔>是循幕環(huán)群草，1是生漠成元綱，10=0，對(duì)計(jì)任意東正整罪數(shù)n，n=1思+1惱+…止+1，按婆照群絡(luò)中元笛素的刑冪的稀表示巖方法n=1n.對(duì)任意負(fù)整數(shù),按照群中逆元的表示方法20訂23些/5請(qǐng)/1債820例4例2中的塵群<Z4;4>是循宴環(huán)群抱，因?yàn)?0=0，11=1，12=141=充re疑s4(2嚇)=括2,13=1241=駝241=顏re再s4(3務(wù))=尸3所以1是其孝生成擠元。又30=0，31=3，32=343=彎re晶s4(6束)=父2,33=3243=國(guó)243=此re泛s4(5租)=須1所以3也是身其生握成元吉。20學(xué)23吃/5梢/1撒821例5設(shè)G=壞{巴a,眼b,遼c,野e}司,*是G上的儀二元繁運(yùn)算旱，*eabceabcaecbbceacbaeeabca*a=駁b*b=軌c*c=抓e*e=有e,a*b=寺b*a=局c,b*c=寧c*b=利a，a*c=陣c*a=猾b<G勝;*>是一犧阿貝睬爾群惠，但炭它不藏是循基環(huán)群欄，一拉般稱(chēng)秤這個(gè)頓群為Kl血ei煌n四元使群。20網(wǎng)23究/5神/1姐822三、俱群的約階和童元素葵的周咸期定義5-較10設(shè)<G血;*>是一勒個(gè)群,如果G是有院限集,則稱(chēng)<G贈(zèng);*>是有月限群,G中元尾素的慰個(gè)數(shù)素稱(chēng)為覽群<G鍵;*>的階;若G是無(wú)辦限集,則稱(chēng)<G添;*>是無(wú)毅限群黨。定義5-鋪11設(shè)<G諒;*>是一溫個(gè)群悲，aG，若賓存在正整耐數(shù)r,使得ar=e，則箭稱(chēng)元鍛素a具有馬有限解周期費(fèi)。使ar=e成立疫的最懼小的理正整嫩數(shù)r稱(chēng)為a的周期。如拌果對(duì)于任惕何正亂整數(shù)r，均桐有ar≠e，則閱稱(chēng)a的周哨期為無(wú)限席。注意:階數(shù)月大于1的群何一定脖沒(méi)有咱零元.葛(?礙)20舉23兔/5柳/1飾823例6在群<R嚷-{姑0}貫;·>中，范單位售元1的周哈期為1。（-1）2=（-1）4=（-1）6=…=1，例7在例2所給細(xì)出的綢群<Z4;4>中，岸（參順見(jiàn)例4）14=纖1341=焰341防=問(wèn)re臣s4(4騰)=跳0柄,21=情2，22=242頑=點(diǎn)re裹s4(4養(yǎng))=斧0如,34=魔3343碧=庸143虜=蓄re能s4(4陣)惜=團(tuán)0違,20扁23同/5授/1志824定理5-摩5設(shè)<G爬;*>是一暗由元屋素g生成白的循側(cè)環(huán)群燒，則（1）若g的周寺期為n,則<G險(xiǎn);*>是一憑個(gè)階漢為n的有限雷循環(huán)想群；（2）若g的周詞期為淚無(wú)限裝，則<G吹;*>是一解個(gè)無(wú)限落階的宿循環(huán)劑群。例如難循差環(huán)群<I剖;+倆>的生磚成元1和–1，其盞周期咳均為塊無(wú)限渴，群<I厚;+恨>是一個(gè)嚴(yán)無(wú)限血階的房誠(chéng)循環(huán)累群。循環(huán)矮群<Z4;4>的生弦成元晚是1和3。14=1341=難341=漫re梨s4(4穩(wěn))=箱034=3343=霜143=杰re稅s4(4身)=狹01和3的周啊期均婆為4，循挽環(huán)群<Z4;4>的階造也為4。20膜23爪/5蜜/1惠825練習(xí)1．設(shè)悲有集險(xiǎn)合A=址{a休,b盈,c竹,d硬},是函聽(tīng)數(shù)的劫?gòu)?fù)合沈運(yùn)算魄，判件斷下積述各論斷窯是否獨(dú)正確旺，在流相應(yīng)妥的括鴉號(hào)中假鍵入碧“Y”或“N”（1）令FA={f|f:AA},則<FA;>是一泳個(gè)群坐。(鼠)（2）令EA=銀{f|f:AA是雙懷射},則<EA;>是一畏個(gè)群畜。(由)（3）EA定義慚同上均，<EA;>是一虎個(gè)交油換群劉。(鞋)（4）EA定義早同上產(chǎn)，<EA;>是一貴個(gè)循暢環(huán)群賞。(嗽)NYNN20罰23邪/5存/1搶8265.鑒3群的萌性質(zhì)一、深關(guān)于壯相約駁性定理5-戀6設(shè)<G參;*>是一置個(gè)群約，則旁對(duì)任肺意的a,押bG，（1）存德在唯壟一的框元素xG，使a*x=百b；（2）存反在唯頓一的慣元素yG，使y*a=蜓b。證明（1）因界為a,橡b谷∈親G提,所以a-1*bG。令x=溫a-1*b

則，因此,a-1*b是方程a*x=b的解假設(shè)x'G也使爆得a*x'貿(mào)=b成立姑，則x'=e*x'=a-1*a*x'=a-1*(a*x')=園a-1*b因此x=迫a-1*b是滿(mǎn)案足a*x=房誠(chéng)b的唯蕉一的沒(méi)元素卷。20哭23惕/5晉/1姨827定理5-鳥(niǎo)7設(shè)<G掘;*>是一風(fēng)個(gè)群年，則絮對(duì)任員意的a,鑼b,窗cG（1）若a*b=誓a*c,則b=此c；（2）若b*a=晃c*a,則b=益c。證掙明長(zhǎng)（1）令a*b=尺a*c=押d，根碗據(jù)定役理5-賓2，方該程a*x膀=波d在G中只抬有唯墊一的交解，揀故得b=城c。20呢23膛/5簡(jiǎn)/1硬828二、遞元素北運(yùn)算拔后求毒逆元蠟等于土元素攻分別稿求逆采元后棕顛倒跑次序摔相運(yùn)應(yīng)算證明因?yàn)?a*b)*(a*b)-1=e根據(jù)定理5-7，有對(duì)任意有定理5-跡8設(shè)<G興;*>是一掘個(gè)群槳，則慚對(duì)任伯意a,bG，有20怠23預(yù)/5材/1雀829三、兄關(guān)于療元素鼻的周騰期定理5-釀9若群<宗G;*>的元艇素a具有饞有限下周期r，則李當(dāng)且粘僅當(dāng)k是r的倍舒數(shù)時(shí)耗，ak=e證明：（1）設(shè)k=盆mr亭(mI)也(要證ak=e）則ak=amr=（ar）m=em=e請(qǐng)(因?yàn)閞是a的周游期)（2）假寒定ak=e慶(要證r乞|記k)令k=極mr貌+i臥(園0≤i＜r)則e=遲ak=amr絮+i=(胸ar)m*ai=ai若i≠0則i<綿r，與r是a的周瘦期矛縫盾。20顆23侵/5削/1柏830定理5-織10群中為任一剪元素襖與它犬的逆講元具荒有相拖同的奪周期督。定理5-畝11在有沾限群<G鑼;*>中，管每個(gè)母元素虜均具繼有有拍限周期，建且周杏期不挎超過(guò)冤群<G險(xiǎn);*>的階肢。證明設(shè)<G歷;*>是有椒限群就，#G聽(tīng)=n，對(duì)哭任意aG，構(gòu)大造序列a,竿a2,繭a3…,礎(chǔ)an,哈an+1,

因?yàn)?G=n，所以序列中必存在ai=aj于是因此a的周期至多為,而。20診23隨/5顫/1崖831定理5-哀11的結(jié)抬論對(duì)狐于無(wú)鬼限群弓不成澤立。例如勝群<I；+稼>.例1對(duì)于5.水2節(jié)例2中的左群<Z4;4>,單位僅元0的周輛期是1；1和3的周較期均鄉(xiāng)豐為4；2的周剝期為2，群<Z4;4>的階4.例2設(shè)<G棗;*>是一辦個(gè)群廳，且碼對(duì)于棄任意版的a,比bG，有(a*b)2=a2*b2,則<G竄;*>是阿陽(yáng)貝爾跡群，由已烏知（a*b)2=a2*b2(a*b)*(a*b)傻=(痛a*a)*(b*b)a*(b*a)*b丈=膽a*(a*b)*b利用匠定理5-倆7的相請(qǐng)約性封得b*a治=松a*b20燙23訪/5蠢/1宇832練習(xí)1．填腥空設(shè)Z6={愚0,銳1,焦2,鄭3,廳4,封5}灰,6是模6的加騰法，對(duì)定義儀為：a6b較=r伙es6(a森+b消)，<Z6;6>是一蔽個(gè)群俊。（1）群<Z6;6>的單德位元堅(jiān)是。（2）1的逆晶元是；2的逆誦元是；3的逆纖元是。（3）1的周詢(xún)期是，1與的周繞期相維同。（4）2的周疲期是，2與的周鞭期相鍛同。054365342.判斷躲下述古論斷由正確求與否啞，在傾相應(yīng)榨的括毛號(hào)中盟鍵入孕“Y”或“N”設(shè)<G義;*>是群吸，a,任bG普,遺a的周昨期為5,晌b的周過(guò)期為3。則（1）a3=e搞,襯a5=e侵,訪a8=e擊,岔a10=e噴,鉗a14=e(春)懼(甜)梨(譽(yù))糾(噴)炭(勾)（2）b2=e扔,欣b3=e貼,視b5=e知,用b6=e植,授b9=e勾,服b15=e(饑)田(拐)草(臟)鋪(唇)昆(武)律(魔)YNNYNN鴿Y志N時(shí)Y私Y(jié)Y20曠23股/5蓄/1括8335．4子群鳴及其惹陪集一、吵子群鼠的定狐義定義5-相12設(shè)<G踏;*>是一誦個(gè)群棄，若<H志;*>是<G苗;*>的子代數(shù)須，單葛位元eH，且笨對(duì)于飽任意把的aH，有a-1H，則忌稱(chēng)<H拍;*>是<G剛;*>的子妖群。

ea

GH若<H如;*>是<G冠;*>的子慘群，梢則<H很;*>也是釘群.半群肺，獨(dú)慌異點(diǎn)復(fù)和群依這三符個(gè)概幻玉念之腎間的箏區(qū)別甲：半榴群<N挪;+柄>，獨(dú)炸異點(diǎn)<Z壯;+消>，群<I藍(lán);+德>。20蛾23惡/5客/1悼834<I；+>既是衡半群藍(lán)、獨(dú)胳異點(diǎn)海，也擺是一熄個(gè)群披，對(duì)化于I的三捷個(gè)子販集：<E1；+>只能理看作秀是<I；+>的子亂半群注，<E2；+>只能套看作針是<I；+>的子馬獨(dú)異艱點(diǎn)，只有<扇E3；+>才是<I；+>的子泰群。對(duì)于記任意匆的整邊數(shù)m，若蒼令I(lǐng)m={mi|iI}。則<Im;+些>可構(gòu)禽成<I；+>的子桂群。20爪23員/5膛/1蔬835例1Kl間ei耍n的四覽元群<{端a,答b,槍c,掠e}輝;>有如紅下子減群：子集{e,或a,販b}不能擁構(gòu)成<G率;>的子王群，子集{a}或{a,b,c}也不窩能構(gòu)舞成<G悔;>的子畫(huà)群eeabcaaecbbbceaccbaeeabc<{e};>,

<{e,a};>,<{e,b};>,<{e,c};>和<G;>20論23射/5槽/1售836二、虜子群鈔的判各別要判吐斷H對(duì)于感運(yùn)算自能否宜構(gòu)成<G漿;*>的子件群，塊需要輛弄清咐以下縮慧三個(gè)飲問(wèn)題呈。1封閉輪性：花對(duì)于勺任意a,蓋bH，是手否有a*bH；2單位印元：戴是否六有eH；3可逆烈性；頃對(duì)于管任意aH，是辱否有a-1H；定理5-頌12設(shè)<G宿;*>是群,酒H是G的非美空子飾集,則<H框;*>是<G移;*>的子消群。20例23竹/5努/1藏837if娘f（Ⅰ）鏡（1）對(duì)粒任意卷的a,泥bH，有a*bH;（2）對(duì)類(lèi)任意諒的aH，有a-1H。if稠f（Ⅱ）（3）對(duì)權(quán)任意聞的a,葬bH，可鐵得a*b-1H。if每f（Ⅲ）（4）<佩H;*>是群符。證明產(chǎn)：（Ⅰ）設(shè)<蛇H;*>是<G摔;*>的子坑群，彎由子廢群的饅定義5-頌12知（Ⅰ）中洗的(1耐)和(2見(jiàn))成立云。（1）成長(zhǎng)立，主保證<怪H;*>是子樹(shù)代數(shù)俊。（2）成膚立，夢(mèng)保證擔(dān)可逆巷性，舞且e=柿a*a-1H。20聞23級(jí)/5幸/1旱838證明：（Ⅱ）設(shè)<啄H峰;*>是<G；*>的子胃群，痰則由眠定義5-她12知對(duì)倆任意a，bH，存災(zāi)在b-1H，因輕此a*b-1H若對(duì)含任意慶的a，bH，有a*b-1H因H非空孕，故叛存在辣一個(gè)aH，由領(lǐng)條件租知a*a-1=eH對(duì)任花意的aH胖,因?yàn)閑H，所富以e*a-1=a-1H又設(shè)a，bH，由仙上證撲得b-1H，且a*(困b-1)-1H即a*bH，于荷是由薯定義5-酸12知<友H椒;*>是<G；*>的子逃群。20思23亭/5名/1島839證明梳（Ⅲ）設(shè)<H罷;*>是<G籍;*>的子暢群,由定列義5-匠12知<H爽;*>群。設(shè)<H助;*>是群,其單礎(chǔ)位元這為e喪'H,則e'*e染'啟=e劈燕'令G的單胳位元領(lǐng)為e，則e'=e*e'=(e尼'-1*e'盤(pán))*e'欠=e'-1*(e拌'*e'舌)=e普'-1*e'愧=e即eH，又反若aH，a對(duì)群觀的逆盡元為a-1則a1'*a=從e'館=e，另均一方呀面aHG，a-1*a普=船e所以a1'*a=燒a-1*a，由賴(lài)消去睜律得a-1=a1'H所以<H過(guò);*>是<G陸;*>的子牧群.20喉23座/5售/1僅840定理5-慕12設(shè)<G籠;*>是群膚，H是G的非買(mǎi)空子展集，濤若(1括)對(duì)于筋任意觀的a,bH，有a*b∈H；(2冤)對(duì)任農(nóng)意的aH，有a-1∈H，則<H據(jù);*>是<G旨;*>的子搶群。20捉23禁/5掛/1憲841定理5-泥13設(shè)<G址;*>是一你個(gè)群奏，H是G的一護(hù)個(gè)非捎空子窗集，任若對(duì)于渠任意a,蘆bH，有a*b-1H，則<H谷;*>是<G腹;*>的子響群。

證明

設(shè)aH，則由定理5-12的條件由e,aH,則

又設(shè)a,bH，由上證得b-1H，因此

,即a*bH,于是根據(jù)定理5-12，

<H；*>是<G；*>的子群。20蠶23啊/5向/1給842解顯然H是G的非鄭空子善集。例2設(shè)<G笛;*>是一禮個(gè)群扮，a是G中任剖一元醬素，被令即H是a的所歉有整繭數(shù)次驢冪的背集合甩，問(wèn)H對(duì)于晴運(yùn)算絲式能否構(gòu)成<G泥;*>的子傍群？（1）對(duì)女任意ai,ajH，有ai*aj=ai+盟j因?yàn)閕+貸jI，所課以ai+表jH；

又由H的定義a-iH

于是根據(jù)定理5-12，<H;*>是<G;*>的子群。顯然<H;*>是由元素a生成的一個(gè)循環(huán)群.（2）對(duì)任意aiH,有a-i*ai=ai*a-i=a0=e,即a-i是ai

的逆元，20欣23評(píng)/5攏/1燦843例3設(shè)<G勸;*>是一亡個(gè)群性，定忽義G的子榨集H為試問(wèn)H對(duì)于姑運(yùn)算敬能否春構(gòu)成<G樹(shù);*圖>的子爐群。解：對(duì)任叛意xG，有x*e撕=驅(qū)e*x棗=蹄x沒(méi),所以eH，故H是G的非避空子疲集。任取a伶,壁bH,則對(duì)稍任意xG必有a*x務(wù)=腰x*a,b*x糕=壁x*b，于有是根片據(jù)群霉的性憶質(zhì)因此a*b-1H，根鞏據(jù)定墨理5-穿13海,雞<H候;*>是<G芝;*>的子遞群。20滴23孕/5謹(jǐn)/1稱(chēng)844定理5-所14的證倆明：個(gè)設(shè)aH，由壇定理5-糖11，a具有訪有限周期卷，設(shè)廉為r，定理5-帶14設(shè)<G蠟;*>是一層有限泊群，協(xié)若<H兵;*>是<G娘;*>的子代草數(shù)，逗則<H垮;*>是<G乎;*>的子少群。定理5-昆15設(shè)<G鞏;*>是一尊個(gè)群故，若<H蒙;*>是<G胞;*>的有鹿限子代配數(shù)，獨(dú)則<H問(wèn);*>是<G孫;*>的子?jì)扇?。其中ar己–1=ar*a–1=e*a–1=a，因工此a–1∈H，故<H餡;*>是<G赤;*>的子絞群。又因勞為運(yùn)帥算*在H上封憤閉，橋所以殖元素a,辦a2,a3,…錄,ar恐-1,ar(=友e)均在H中,20另23爐/5裹/1斃845例4對(duì)于鑰群<Z6;6>，找逢出它文的所多有子立群。單位敬元e=暮0，1和5互為居逆元患，2和4互為賞逆元鞭，3以3自身烘為逆痕元。<Z6;6>有如窯下子預(yù)群：解按照定運(yùn)算6的定駱義，a6b=禁re旨s6(a柳+b遞),作出零群<Z6;6>的運(yùn)算室表如啊下：5

5012340

0123451

1234502

2345013

3450124

45012301234520數(shù)23原/5卷/1診846三、頓子群攤的等軟價(jià)定哀義如前敢所述貸，若<H閉;*>是群<G背;*>的子紋群，肉則<H膜;*>自身杏也必先是群衡。反之握，設(shè)<G叉;*>是一灰個(gè)群膝，H是G的非沙空子濃集，將若<H詢(xún);*>也是短群，或則<H松;*>必是<G洪;*>的子鍛群。證明嘴：*在H上是備封閉艙的，貓所以<H總;*>是<G派;*>的子剖代數(shù)脊。又設(shè)e'是群<H央;*>的單陪位元僻，e為群<G榴;*>的單蝴位元鼻。則有e'*e'=滲e',敲e*e'=攪e'，于偶是e'*e'=聞e*e',由群吹的相掘約性峰，得e殿=e'，因擊此eH。又對(duì)名任–a∈H，a'表示a在<H券;*>中的撫逆元泡，a-1表示a在<G區(qū);*>中的數(shù)逆元斗，根據(jù)泥定義5-啄12，<H托;*>是群<G芳;*>的子染群。于是綁有a*a'=欲e鳥(niǎo)=a*a-1.由相胞約性沖，得a'=a-1，因間此a-1H。20難23癥/5房誠(chéng)/1由847定義5-奇12設(shè)<G偷;*竊>是一搞個(gè)群淡，H是G的非歉空子斯集，罪若<H各;*班>也是擦群，炎則稱(chēng)<H慘;*應(yīng)>是<G套;*莖>的子浸群。練艷習(xí)1．判雷斷下慮述論蹄斷正僑確與協(xié)否，椒在相輩應(yīng)的棒括號(hào)蕉中鍵蠢入“Y”或“N”。對(duì)于誘群<Z4;4>有如披下子棚群。YNYNNY20躺23菠/5剝/1繩848定義5-鞋13設(shè)<H稅;*>是群<G睛;*>的子嗓群，a是G的任扯意一相個(gè)元素，六稱(chēng)集厲合H*a={說(shuō)h*a|hH}為子央群<H穗;*>在群<G損;*>中的糾一個(gè)右陪泊集。集五合a*H=硬{a*h|石hH}為子蓮群<H旅;*>在群<G賢;*>中的扶一個(gè)左陪制集。若aG，有H*a=a*H，則籮稱(chēng)子頓群<H阻;*>是群<G網(wǎng);*>的正規(guī)內(nèi)子群，此岡時(shí)左(右)陪集勝簡(jiǎn)稱(chēng)漆為陪集。例5令H=纏{k甚m|見(jiàn)kI},則<H奇;+認(rèn)>是<I來(lái);+靜>的子籃群。偶又<I虛;+愉>是Ab蕉el群，島故其冬左右參陪集兔相等護(hù)。問(wèn)題薯：如弟何判懂?dāng)嘁挥泜€(gè)子濾群是先否是近正規(guī)淘子群像？20怕23壁/5尚/1輕849問(wèn)題1.對(duì)于與給定螺的群G和子蹤蝶群H,陪集凳與陪這集之讓間有睜何關(guān)絡(luò)系?2.左右析陪集望之間修有何腫關(guān)系?3.對(duì)于序給定緞的群G和子巧群H,有多聰少個(gè)演不同森的陪勞集?如何肉求得?20柄23澡/5員/1忘850定理5-但16設(shè)<H輸;*>是群<G吵;*>的一劃個(gè)子壞群，吊當(dāng)且滑僅當(dāng)aG償,妙h季H,都有a*h*a-1H時(shí),<H央;*>是群<G震;*>的正調(diào)規(guī)子場(chǎng)群。例6設(shè)G是全長(zhǎng)體nn可逆祝實(shí)數(shù)欲矩陣希，則<G醬;?>構(gòu)成幸群。H是G中全體姜行列膨式為1的矩址陣集廣合，檢則<H顯;?>是G的子嘉群，悟并且是正鄰規(guī)子蹲群。定理5-獸17設(shè)<H絞;*>是群<G糟;*>的一省個(gè)子