第三講數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

實際問題中的優(yōu)化模型x~決策變量f(x)~目標(biāo)函數(shù)gi(x)0~約束條件決策變量個數(shù)n和約束條件個數(shù)m較大最優(yōu)解在可行域的邊界上取得數(shù)學(xué)規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點在模型的建立和結(jié)果的分析優(yōu)化模型的簡單分類

線性規(guī)劃(LP)目標(biāo)和約束均為線性函數(shù)

非線性規(guī)劃(NLP)目標(biāo)或約束中存在非線性函數(shù)

二次規(guī)劃(QP)目標(biāo)為二次函數(shù)、約束為線性

整數(shù)規(guī)劃(IP)決策變量(全部或部分)為整數(shù)整數(shù)線性規(guī)劃(ILP)，整數(shù)非線性規(guī)劃(INLP)一般整數(shù)規(guī)劃，0-1（整數(shù)）規(guī)劃連續(xù)優(yōu)化離散優(yōu)化數(shù)學(xué)規(guī)劃例1加工奶制品的生產(chǎn)計劃獲利24元/公斤1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利16元/公斤50桶牛奶時間480小時甲設(shè)備至多加工100公斤A1

制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大每天：線性規(guī)劃模型1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤x1桶牛奶生產(chǎn)A1

x2桶牛奶生產(chǎn)A2

獲利24×3x1

獲利16×4x2

原料供應(yīng)

勞動時間

加工能力

決策變量

目標(biāo)函數(shù)

每天獲利約束條件非負(fù)約束

線性規(guī)劃模型(LP)時間480小時至多加工100公斤A1

50桶牛奶每天模型求解

軟件實現(xiàn)

LINGOmodel:max=72*x1+64*x2;[milk]x1+x2<50;[time]12*x1+8*x2<480;[cpct]3*x1<100;end

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2

VariableValueReducedCost

X120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000

20桶牛奶生產(chǎn)A1,30桶生產(chǎn)A2，利潤3360元.如何裝運，使本次飛行獲利最大？

三個貨艙最大載重(t),最大容積(m3)

例2貨機(jī)裝運

重量（t）體積(m3/t）利潤（元/t）貨物1184803100貨物2156503800貨物3235803500貨物4123902850三個貨艙中實際載重必須與其最大載重成比例.

前倉：10；6800中倉：16；8700后倉：8；5300飛機(jī)平衡WET=(10,16,8),VOL=(6800,8700,5300);w=(18,15,23,12),v=(480,650,580,390),p=(3100,3800,3500,2850).已知參數(shù)i=1,2,3,4（貨物）j=1,2,3(分別代表前、中、后倉)貨艙j的重量限制WETj體積限制VOLj第i種貨物的重量wi，單位重量的體積vi，利潤pi貨機(jī)裝運決策變量

xij--第i種貨物裝入第j個貨艙的重量(t）i=1,2,3,4,

j=1,2,3(分別代表前、中、后倉)模型假設(shè)每種貨物可以分割到任意??；貨機(jī)裝運每種貨物可以在一個或多個貨艙中任意分布；多種貨物可以混裝，并保證不留空隙；所給出的數(shù)據(jù)都是精確的，沒有誤差.

模型建立貨艙容積

目標(biāo)函數(shù)(利潤)約束條件貨機(jī)裝運模型建立貨艙重量

10；680016；87008；5300xij--第i種貨物裝入第j個貨艙的重量約束條件平衡要求

貨物供應(yīng)

貨機(jī)裝運模型建立10；680016；87008；5300xij--第i種貨物裝入第j個貨艙的重量j,k=1,2,3;j≠k

!定義集合及變量;sets:cang/1..3/:WET,VOL;wu/1..4/:w,v,p;link(wu,cang):x;endsets!對已知變量賦值;data:WET=10,16,8;VOL=6800,8700,5300;w=18,15,23,12;v=480,650,580,390;p=3100,3800,3500,2850;enddatamax=@sum(wu(i):p(i)*@sum(cang(j):x(i,j)));@for(wu(i):@sum(cang(j):x(i,j))<w(i));@for(cang(j):@sum(wu(i):x(i,j))<WET(j));@for(cang(j):@sum(wu(i):v(i)*x(i,j))<VOL(j));@for(cang(j):

@for(cang(k)|k#GT#j: !#GT#是大于等于的含義; @sum(wu(i):x(i,j)/WET(j))=@sum(wu(i):x(i,k)/WET(k))););END貨機(jī)裝運LINGO程序

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:121515.8Totalsolveriterations:12VariableValueReducedCostX(1,1)0.000000400.0000X(1,2)0.00000057.89474X(1,3)0.000000400.0000X(2,1)7.0000000.000000X(2,2)0.000000239.4737X(2,3)8.0000000.000000X(3,1)3.0000000.000000X(3,2)12.947370.000000X(3,3)0.0000000.000000X(4,1)0.000000650.0000X(4,2)3.0526320.000000X(4,3)0.000000650.0000貨物2：前倉7,后倉8；

貨物3:前倉3,中倉13；貨物4:中倉3.貨機(jī)裝運模型求解最大利潤約121516元如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)80輛，那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應(yīng)作何改變？例1汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量.小型中型大型現(xiàn)有量鋼材（t）1.535600勞動時間（h）28025040060000利潤（萬元）234制訂月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大.4.3

汽車生產(chǎn)與原油采購IP可用LINGO直接求解整數(shù)規(guī)劃(IntegerProgramming,簡記IP)IP的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z=632max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3<600;280*x1+250*x2+400*x3<60000;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:632.0000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:3VariableValueReducedCost

X164.00000-2.000000

X2168.0000-3.000000

X30.000000-4.000000IP結(jié)果輸出設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為x1,x2,x3其中3個子模型應(yīng)去掉，然后逐一求解，比較目標(biāo)函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：方法1：分解為8個LP子模型汽車廠生產(chǎn)計劃若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃.x1,x2,,x3=0或80x1=80，x2=150，x3=0，最優(yōu)值z=610LI雀NG淚O中對0-詞1變量透的限顧定：@b艙in押(y護(hù)1)塵;象@b惱in古(y創(chuàng)2)核;需@b口in哄(y敢3)挺;方法2：引入0-痰1變量類，化飄為整慌數(shù)規(guī)猛劃M為大哄的正兵數(shù),本例莫可取10釣00Ob由je迅ct悉iv潑e緊Va季lu愈e:琴61趣0.吸00警00Va握ri斷ab腎le儲Va琴lu個e眾R表ed獎uc疼ed折C據(jù)os茂tX1遇80粒.0閥00寄00睛0-2王.0劇00賣00婚0X2大15叔0.總00能00獸00-3壁.0執(zhí)00攪00素0X3筑0.央00億00域00-4跑.0垂00瞞00訪0Y1客1.粒00耕00報00眾0.氣00款00矮00Y2侍1.肉00嚼00館00麥0.抬00恒00嚴(yán)00Y3攔0.搭00涼00與000.菠00另00訊00若生糧產(chǎn)某聲類汽忠車，皇則至辯少生還產(chǎn)80輛，淘求生婚產(chǎn)計笨劃.x1=0或80x2=0或

80x3=0或

80最優(yōu)仰解同卵前ma萄x=殖2*變x1婚+3福*x產(chǎn)2+遷4*峰x3差;1.盞5*暈x1直+3俱*x要2+雜5*臂x3災(zāi)<6動00跡;28秒0*肢x1棵+2劍50針*x索2+大40農(nóng)0*甲x3垮<6竿00矩00犬;x1百*(揉x1悼-8慨0)奮>0使;x2穩(wěn)*(賭x2原-8摘0)扒>0獎;x3到*(嘩x3蔑-8葬0)蠅>0祖;@g境in晨(x畝1)名;@攪gi譽n(詞x2該);微@g警in債(x奏3)摩;方法3：化為殖非線列性規(guī)愁劃非線誤性規(guī)內(nèi)劃（No伴n-點L扎in紀(jì)ea獅r痕Pr犬og朱ra依m(xù)m戒in荷g，簡但記NL苗P）若生悠產(chǎn)某瀉類汽泛車，超則至億少生奧產(chǎn)80輛，悶求生柿產(chǎn)計碰劃.x1=0或80x2=0或

80x3=0或

80最優(yōu)證解同猛前.一般塑地，黃整數(shù)覆規(guī)劃烈和非獄線性凈規(guī)劃谷的求識解比窩線性興規(guī)劃朵困難兩得多奸，特點別是旁問題畝規(guī)模情較大社或者崗要求鹽得到悲全局某最優(yōu)統(tǒng)解時.汽車夜廠生升產(chǎn)計興劃決策隙變量付為整霉數(shù),建立整數(shù)藥規(guī)劃常模型.求解窩整數(shù)桶規(guī)劃警和非樂線性重規(guī)劃損比線良性規(guī)團(tuán)劃困跌難得淺多(即便變用數(shù)瘋學(xué)軟葡件)悟.當(dāng)整劉數(shù)變乎量取佛值很習(xí)大時,可作感為連膏續(xù)變湊量處扔理,問題簡化敗為線趙性規(guī)游劃.對于近類似疾于“x=0或80菊”這樣買的條莖件，籌通常引入0-稍1變量處理忠，盡旨量不屈用非漁線性感規(guī)劃律（特壩別是夾引入邁的整贏數(shù)變質(zhì)量個究數(shù)較爆少時鑰）.應(yīng)如饑何安舒排原勺油的朵采購述和加造工？例2原油喬采購捐與加診工市場飛上可析買到絨不超諸過15魚00t的原坡油A：購買越量不染超過50蹲0t時的泳單價枕為10徐00乖0元/t；購買感量超犁過50被0t但不常超過10頓00t時，控超過50疼0t的柄部分80盞00元/t；購買譯量超銀過10那00t時，絲式超過10月00t的部顯分60鎮(zhèn)00元/t然.售價4800元/t售價5600元/t庫存500t庫存1000t汽油甲(A50%)原油A原油B汽油乙(A60%)決策凍變量目標(biāo)所函數(shù)問題巨分析利潤動：銷顧售汽努油的喉收入購買坑原油A的支饞出.難點懼：原棍油A的購爪價與撲購買胡量的順關(guān)系泡較復(fù)芬雜.甲(A50%)AB乙(A60%)購買xx11x12x21x224.8千元/t5.6千元/t原油A的購霞買量,原油A,懸B生產(chǎn)汽油甲,乙的驢數(shù)量c(x)本~購買北原油A的支般出利潤(千元)c(x)如何裳表述逼？原油織供應(yīng)約束動條件x50嘩0t單價巧為10千元/t；50舉0tx10路00t，超余過50竟0t的8千元/t；10挪00tx15喜00t，超參過10滲00t的6千元/t怒.目標(biāo)立函數(shù)購買xABx11x12x21x22庫存500t庫存1000t目標(biāo)江函數(shù)剩中c(x)不是株線性隨函數(shù)絕，是箭非線半性規(guī)蓮劃；對于貌用分畢段函捐數(shù)定陡義的c(x)，一負(fù)般的浴非線倘性規(guī)辮劃軟澤件也男難以鉤輸入堵和求淺解；想辦填法將愉模型素化簡桑，用全現(xiàn)成掏的軟當(dāng)件求度解.汽油槳含原寒油A的比走例限廈制約束世條件甲(A50%)AB乙(A60%)x11x12x21x22x1,x2,x3~以價眼格10煌,勉8,善6腿(千元/t)采購A的噸層數(shù)目標(biāo)販函數(shù)只有返當(dāng)以10千元/t的價咐格購行買x1=5尤00(t可)時，常才能容以8千元/t的價刑格購久買x2方法1非線謎性規(guī)度劃模嫌型，可艱以用LI溜NG墾O求解模型但求解x=x1+x2+x3,c(x)欄=裳10x1+8x2+6x350良0tx10疲00t，超大過50椒0t的8千元/t增加約束x=x1+x2+x3,c(x)雖=袍10x1+8x2+6x3類似地有方法1：LI臨NG涼O求解Mo計de且l:Ma透x=院4辮.8鮮*x竄11密+緒4票.8咳*x衡21貸+納5鍵.6蘋*x裝12財+裙5唯.6農(nóng)*x傘22冶-瞞1枯0*擺x1踩-特8且*x勵2嘆-福6*澆x3捆;x1刑1+動x1決2受<昆x際+謎50厚0;x2浴1+胸x2批2日<膽10輪00興;x1棄1牛-頌x2界1能>棉0;2*赤x1統(tǒng)2曠-念3*狐x2幸2簽>光0;x=優(yōu)x1陷+x刺2+刺x3忌;(x撇1餅-瓦50敵0)終*內(nèi)x功2=張0;(x閥2段-散50花0)言*辛x護(hù)3=較0;x1銹<盜5斯00拍;x2毫<佩5等00讓;x3皆<語5擠00飲;en露dLo佛ca粱l引op幕ti撞ma掙l研so傲lu渴ti播on條f癥ou餡nd黑.Ob狂je倚ct橋iv恢e慌va匯lu霸e:撕48研00說.0琴00To掃ta離l今so不lv愿er追i帳te薯ra戴ti花on陸s:避14Va逃ri涼ab明le隸V噴al單ue仆Re舊du補ce諷d荒Co食stX1序1召5尾00騎.0賀00連0捎0頭.0冒00協(xié)00環(huán)0X2林1損5耗00年.0勻00俗0耐0愉.0雀00禮00述0X1偷2棟0雨.0凝00篩00得0猶0.健26誤66泉66杠7X2蕩2仙0魂.0值00床00曲00.無00街00壘00X1垃0.助00葬00飾00唯0躺.4峽00體00飼00X2漸0.乓00萬00吊000.恢00統(tǒng)00后00X3悔0.反00狡00牛000.膝00辯00偶00X表0肉.0定00鏡00廣00.議00抬00儉00LI亡NG撤O得到群的是錦局部陶最優(yōu)喘解,還能削得到獨更好低的解槐嗎？用庫稠存的50鉤0t原油A、50格0t原油B生產(chǎn)誓汽油述甲，孔不購亂買新揀的原某油A，利難潤為48披00千元.方法1：LI余NG吼O求解計算騰全局夜最優(yōu)永解睜：選LI應(yīng)NG稠O|猶Op斤ti住on嘩s菜單緞；在彈縱出的能選項癥卡中辟選擇倚“Ge俗ne置ra升l侍So沃lv捆er居”；然后柄找到令選項荷“Us傳e催Gl磨ob踩al碌S裳ol垃ve評r”將其鋼選中啟；應(yīng)用紛或保統(tǒng)存；索重新哨求解泰。Gl臭ob擠al秩o判pt嘗im鏈al及s礎(chǔ)ol割ut英io構(gòu)n鑼fo紀(jì)un栗d.Ob伸je恭ct蟲iv糊e艱va叛lu船e:散50赤00爺.0雹00Ex澡te斯nd梨ed香s秧ol矩ve貿(mào)r抱st毯ep本s:朋1To剝ta鉤l揪so催lv匙er害i些te饅ra郵ti誕on布s:胃43Va饞ri笨ab泉le俯V動al患ue鉆Re攪du版ce困d鑄Co述stX1意1幅0蹦.0軋00薄00賭00.吼00績00悟00X2悠1追0兵.0怎00偉00銜0遮0.你90萄00泛00X1儀2燭1室50窮0.拉00遺0償0測.0怎00固00抱0X2閉2救1割00哨0.脊00顧0幼0值.0禍00處00襪0X1松50撇0.纖00劣00倘0.悅00凱00套00X2金50罷0.暑00輩00磨0.閑00驚00鞠00X3墾0.臣00濫00牽000.樸00史00域00X控1飲00辭0.舅00揪0賴0組.0先00緩00疤0還有絹其他驢建模嗚和求具解方殺法嗎？購買10摔00帆t原油A，與知庫存界的50頸0t原油A和10諷00停t原油B一起圍，共蹤蝶生產(chǎn)25透00改t汽油史乙，漠利潤繁為50英00千元.y1,y2,y3=1卵~以價哪格10屑,白8,廣6漫(千元/t)采購A增加菜約束方法20-協(xié)1線性叨規(guī)劃瘋模型,可用LI喚NG吩O(shè)求解.y1,y2,y3=0或1購買10黃00t原油A，與敘庫存閑的50汪0t原油A和10復(fù)00t原油B一起帝，生忍產(chǎn)汽層油乙捧，利勤潤為50勇00千元.x1,x2,x3~以價注格10閑,擊8,擾6賊(千元/t)采購A的噸圖數(shù)y=0x=0x>0y=1與方陷法1（全欣局最擴(kuò)優(yōu)解吵）的陜結(jié)果區(qū)相同引入0-堤1變量模型示求解b1b2b3b4方法3b1xb2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z20,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000O50010001500b2xb3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z30,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3xb4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z40,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接獄處理肚分段澆線性浩函數(shù)c(x)IP模型肌，LI慢NG酬O求解庫，得幅到的朋結(jié)果開與方碗法2相同.bkxbk+1yk=1,否則,yk=0方法3bkxbk+1,x=zkbk+zk+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+10,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000O50010001500b1b2

b3

b4對于k=1弱,2塘,3方法3:直接扒處理贈分段鉗線性緒函數(shù)鏈，方諸法更留具一夫般性.分段針函數(shù)無法恨直接蓬用非雅線性錫規(guī)劃攪方法轉(zhuǎn)或軟室件求亭解.原油張采購體與加徐工方法1:增加捷約束埋化為非線果性規(guī)此劃,可以盼用LI哪NG牙O求解,但可釣?zāi)艿玫窖鄣氖菬艟植考咀顑?yōu)假解.方法2:引入0-茅1變量,化為線性非規(guī)劃淚模型,可用LI懸NG扔O求解.如何異選拔轟隊員古組成410辨0m混合蓋泳接弊力隊?例1混合技泳接繳力隊借的選挺拔5名候鵝選人墨的百米光成績甲乙丙丁戊蝶泳仰泳蛙泳自由泳目標(biāo)意函數(shù)若選架擇隊袋員i參加屬泳姿j的比冰賽，卻記xij=1,否則相記xij=00-浪1規(guī)劃鎖模型cij(s)~隊員i第j種泳貞姿的兩百米抖成