第二十二章混沌動力學

高等工程地質學山東大學山東大學研究生專業(yè)基礎課2011年9月主講教師：薛翊國第二十二章混沌動力學混沌動力學(chaoticdynamics)“混沌”一詞譯自英文“Chaos”，意為“混沌”、“紊亂”、“無規(guī)律”、甚至“湍流”。“混沌”一詞自古以來，國內(nèi)外的書籍中就早有使用，如我國的古代神話中認為在盤古王開天辟地之前，宇宙就是一片混沌狀態(tài)。

1963年Lorenz在其論文《確定性非周期流》中提出了混沌的思想(對初值的敏感性)。但作為一個科學術語，一般認為李天巖和約克（Yoke）在1975年的論文“周期3則混沌”是首次引用Chaos一詞。3.1引言1973年4月的一天，在美國馬里蘭大學數(shù)學系，一名叫李天巖的研究生百無聊賴地走進導師約克教授的辦公室，此時李的博士論文正處于膠著階段，一時未有進展。約克給了李一個區(qū)間迭代問題，李卻開玩笑地說這個問題的解決足以送到美國《數(shù)學月刊》上發(fā)表。3.1.1“混沌”的來歷

兩個星期后，李解決了這個區(qū)間迭代問題。如果從x=x0開始按照公式迭代n次后，回到原來的地方，但當?shù)螖?shù)小于n時都不回到原來地方，則x0就叫f(x)的一個n周期點。李證明，如果區(qū)間到區(qū)間自身的函數(shù)f(x)連續(xù)，且有一個3周期點，那么，對于任何正整數(shù)n，f(x)有n周期點。(周期3則混沌)

李和約克把這項研究成果寫成論文真的寄到《數(shù)學月刊》去了，但很快論文便被退回來了，理由是“本刊不以論文形式發(fā)表研究成果，如果要發(fā)表，應按本刊文章規(guī)格改寫”。于是，文章被扔進了辦公室的角落里。過了一年(1974)，約克教授在一次會議上了解到物理學界正在為混沌現(xiàn)象感到頭痛，他立即想到這個區(qū)間迭代問題。

其實，李—約克關于有3周期點則有一切周期點的定理只是蘇聯(lián)一位不知名學者的沙可夫斯基定理的一個特例。

沙可夫斯基定理：設f(x)是區(qū)間到區(qū)間自身的連續(xù)函數(shù)，又設在沙可夫斯基序中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期點的話，則它一定也有n周期點。3.1.2“混沌”現(xiàn)象一、氣候中的“蝴蝶效應”

混沌現(xiàn)象首先是1963年被美國氣象學家Lorenz發(fā)現(xiàn)的。他為了預報天氣變化，把大氣動力學方程組簡化為12個方程組（用牛頓定律建立了溫度和壓強、壓強與風速等之間關系），并在計算機上進行模擬實驗，因嫌參數(shù)小數(shù)點后面的位數(shù)太多，輸入時很麻煩，便舍去幾位，盡管舍去部分看來微不足道，可結果卻大大出乎Lorenz的意料：舍去與沒有舍去的模型的結果競然大相徑庭，幾乎變得完全認不出來了。

為了深入研究這種現(xiàn)象，Lorenz把12個大氣動力學方程進一步簡化為三個一階的常微分方程組，并進行了深入細致地分析，得到同樣的結論。這三個方程也便成了經(jīng)典的混沌的例子——Lorenz模型。Lorenz通過對他所提出的方程進行研究表明：短期的天氣預報可行，但長時期天氣預報是不可能的。

“蝴蝶效應”：在南半球某地的一只蝴蝶偶然扇動翅膀所帶來的微小氣流，幾星期后可能變成席卷北半球某地的一場龍卷風。

二、雷諾實驗

在混沌研究中，另一類比較有代表意義的混沌現(xiàn)象便是湍流。

雷諾（Reynold）實驗:

在一個可控制流速的園管中注入液體，并在園管中心軸線入口處引入一絲有色液體，以便觀察流體的運動狀況。

(1)當管中液體流速不大時，有色液體的流動順直光滑，層次分明→層流。

(2)當流速增加到超過某個值時，有色液體絲將發(fā)生規(guī)則地振蕩→湍流（紊流）。ρ-密度；a-粘滯系數(shù)；v-流速；D-園管直徑三、Benard對流實驗混沌是一個相當難以精確定義的概念。①對初值的敏感依賴性②確定的隨機性，由確定性規(guī)律決定的系統(tǒng)可以有效地表現(xiàn)出隨機行為。確定的：是因為它由內(nèi)在的原因而不是外來的噪聲或干擾所產(chǎn)生，即過程是嚴格確定性的。隨機性：指不規(guī)則的，不能預測的行為。3.1.3混沌的定義混沌栽提供春了把療復雜扛的行手為理凈解為純是有雜目的隊和有岔結構閣的某妨種行皂為，第而不扁是理味解為扇外來倒的和過偶然卻的行課為的錦方法蔽。確定掏性的疤方程誓可以濟產(chǎn)生靜隨機質行為胳。湍流搭：Na砍vi主er嗽-s蘇to殖ke爭s方程Lo堪gi吊st價ic映射蠶：Lo層re菌nz模型完：3.且2混沌尤產(chǎn)生手的數(shù)清學模朝型對于認確定泥性系粒統(tǒng)中脊的隨誰機性別，即沃混沌蓄現(xiàn)象乘，也傭存在論著一城些代評表性之的模箱型，侮這就脈是一維劉迭代對過程。它到們簡完單得帽可以厚用一記般的你計算雕器進慢行分床析，芽但又研巧妙敢得足本以抓瘋住很找大一裕類真干實世幟界現(xiàn)友象的淋本質幣。對初義始條輝件的垮敏感過依賴若性，是嗓混沌紅現(xiàn)象競的一蜂大特危征，夕也是霜造成偷混沌排的原合因。討論景一維炎映射萄：3.悄2.占1貝諾械勒變溝換模味型111/擠2xnxn-1xn=xn-1從表思面上羨看，燒序列似乎僻有三種形態(tài)猾：（1）當是有堂理數(shù)襲，且耗用分道數(shù)表驅示時,其分簽母為2的（k是正挺整數(shù)罪）時些，此承時。冪數(shù)例如信：（2）當不是2的冪千數(shù)時吃，則虜序列沙為周期拋解。是有燦理數(shù)薦，且凱用分穴數(shù)表稅示。牛其分老母例如腰：…大于擾一定神的數(shù)鐘后將體在三剪個數(shù)即之間解循環(huán)（3）當是無細理數(shù)疑時，仗則序趨列既謙不趨頸向于制零，纖也不趨向捧于周能期解酒，而皂是一氧個貌塑似無規(guī)濾則的崖解。為例叼，迭甜代下演去有，但俱若一咸個以初值和前90冤0多位谷小數(shù)胸都相協(xié)同，后面暈只差一點粥，如蔽：但實備際情瀉況并造非如暈此，抽其實祥序列刑只能樹有一不種形么態(tài)，即混駁沌。所以沫，如玩用作迭趟代，肥則到俊第30潑02次有三個普相差注很小勞的初繞始條福件，套但迭漏代到30麻02次后宗，則縣相差宣甚遠瓜，真飼是“寒差之醋毫厘捕，失籌之千才里”母。計算救結果虜對初碗始條銅件敏戀感地誤依賴海性。再換形一個石和相差鋼很小格的無葛理數(shù)→無周測期的宴序列設想菜在一叉?zhèn)€小犧島上級繁衍平著某核類昆技蟲，岔每年宰春末艱蜉出昌，夏帳末產(chǎn)追卵后員死去洽。下將一代橡在第國二年猾又重凳復同懂樣的瀉生死斗輪回懲，就及這樣瀉年復捆一年青地傳依種接牌代下漸去。突那么卻，若挨干年言后這明類昆先蟲的癢繁衍樹狀況北如何練呢？為了凱描述宣這種晴昆蟲刊的繁活衍狀兼況，阿德國董生物程學家（Ve創(chuàng)rh斑ul綿st）18諸37年建堡立了腔這樣薪一個刃理想堤化的正生態(tài)瞇模型循：K：昆摟蟲繁煌殖后鞭代的咸能力L：環(huán)五境容凳量，聽環(huán)境旺能夠墊供養(yǎng)嫌的最相大昆結蟲數(shù)僅目。的飽忠和值X*。：t時刻慰的昆祝蟲數(shù)其等卻于3.恭2.離2Lo繳gi眠st起ic映射如果往我們急將環(huán)爸境容柔量取腦為1個單身位，奏也即性意味子著如席果L=貍10坑0萬，紅那么斧昆蟲還數(shù)目應以10酬0萬為忌單位偵。上式鄭變?yōu)閾恚捍耸角f的精祖確解級為：X（0）是昆蟲爐繁衍靜的長超期行段為：機當飽和亡值時的旅昆蟲翠數(shù)。tx如果然我們字每年智對昆廚蟲數(shù)典目測仙算一龍次，舅并用年的吸昆蟲君數(shù)，追則原怒來的棋連續(xù)炭變量和t就變仰為離激散變緊量則：Ve掃rh躲ul功st生成千模型走就演貓化為高：表示蘿第nLo相gi血st映ic映射孔（離賊散模斷型）f函數(shù)處的這滑種作矛用在碗數(shù)學洗上稱魯為映射。求解泳差分犬方程斗可采遭用逐塊步迭看代法鄙運算白：即：是從戴初始開始遣連續(xù)n次用f函數(shù)浸作用害的結虜果。Lo洞gi房誠st抖ic仍然討映射螞到該市區(qū)間艘，，這聚種映大射稱敗為自耗身映饞射。自身巴映射：如呈果控泊制參讓數(shù)K值在0和4之間粥，的作山用是層把任故何值函數(shù)f即Lo訂gi壇st膝ic映射3.獸2.撥3從倍狐周期籍分叉嚼通向暗混沌(一)莫0<衫K<細1(K0=1拉)解不遍動點賀？每個押不動殿點：當K=嗎0.例5時：因此螺，當K=澆0.本5時，征昆蟲騰演化答的最哲終結謹果是晌趨于溝穩(wěn)定，即續(xù)消亡野。不動揀點不動秤點：穩(wěn)定傾點、勉收斂館點那么款，作睬為生澇態(tài)學貨研究援的課址題，K究竟良要達肢到何棉值才倍能使魂之擺境脫消拌亡（哲滅亡胡）的熊不幸譯結局恨呢？可采浸用分荷析不希動點辱的穩(wěn)年定性巖條件魔來回艙答這夾個問摸題。在穩(wěn)甚定的凍不動銷點附近伶，如革果把鹽每次矩迭代捆結果績寫成到：那么測，要與使逐漸肉趨于具穩(wěn)定變不動趕點，則旋隨著楚迭代逐漸壤減小無，即的進啊行，上式街就是邊不動碰點的穩(wěn)喇定條沃件。由在不隸動點采處，那么的穩(wěn)每定性證條件堆為：將代入蚊上式把，得傾到不昏動點也就挨是說狐，要遵使昆都蟲的推數(shù)目茄隨時菊間延掏續(xù)不除致于罵消亡弊，所以菌，不遠動點的穩(wěn)輝定條將件為萬：我們秒來看x的另弱一個已不動榆點那么K=左?也即牧：當育參數(shù)下從K<辛1變?yōu)镵>菊1時不她動點把穩(wěn)鮮定性了。交給(二)豎1<不K<鑼3(K1=3互)從上鞭圖可梳以看不出：①隨著K值的野增大公，曲正線斜何率在語逐漸昌變陡彈，而曬只有挪那些曲線躺斜率歪小于1的不妙動點膀才為磚穩(wěn)定殃不動滲點。②當昆哭蟲的另繁殖雄能力K達到休一定拼程度高時，婦無論扔初始怎樣案小（劉昆蟲沫數(shù)量碑各多截少）遍（但它都撓會逐忘年增漲加，書最后顆把昆傅蟲數(shù)虜目穩(wěn)騎定在趨勢痛不會師永遠膛繼續(xù)貧下去鮮，當K超過3時也會扁變成延不生存必資源格條件現(xiàn)允許墓的有寧限數(shù)頌目上池。但各我們擾看到晌，這登個一個有限農(nóng)數(shù)目也會燃隨著K的增賄加而亞增加晚，但障這種穩(wěn)定龍。(三)認3<痰K<(K2=清=3將.4身49誘5)既然響是重樣復出頓現(xiàn)：系統(tǒng)微重復景出現(xiàn)講的這趴兩個紫點上述賞情況表明呈：當K>挪3時，羅昆蟲揮數(shù)的投長時瘋間行侍為不枯再趨強于某計一固氏定值局，而愿是趨烤于一枯年多府一年動少的周期碧值（交摔替）貢。稱為2點周訪期。如此畢眾多終的昆盲蟲，飼絕大匪多數(shù)待昆蟲貓未能渡到產(chǎn)營卵期悄使中促途死茄亡，坑幸存醫(yī)的昆鈔蟲留蛇下少摟量的列卵在警第三躍年又盯蜉化著出則少詞量的昆蟲柿有足禽夠的訪食物袖和良股好的殃環(huán)境濕空間福，絕維大多焰數(shù)昆膠蟲都犬能活艙到夏妙末的夾產(chǎn)卵敬期，省留下捎大量消的卵活可供蛙第二閃年春教季蜉陪化出瓜眾多姐的昆廳蟲數(shù)線性勒項（牲加快悶繁殖現(xiàn)）；擊非線滅性項魚（限貿(mào)制繁礙殖）這種交替易變化來源愛于線博性項和非對線性套項之間顫的競爭。①如果幣某一看年的侵昆蟲妹數(shù)處贏于較僻少的。狀態(tài)錄，②當昆逝蟲數(shù)拾真正前達到的新羨一代瘋。時，馬島上莖食物夢不再前能供呼應說明經(jīng)過爐兩次展映射雷（兩榴個f）又勵回到一個駐復合疫函數(shù)墳：顯然偽，滿足屑上述怕條件仗，即（1），如濫果定勞義（2）2點周動期：不動默點穩(wěn)鞭定的義條件謊：據(jù)此格可求然出跌穩(wěn)定引時K的取煎值范暈圍。K2K1當時，4點周軍期將賤取代2點周金期即：根據(jù)4點周自期穩(wěn)知定的沙條件雀，可陶求出4點周偏期穩(wěn)斯定的K的取煌值范堤圍：用計賤算機賺求解衰這兩蜓個高厚次代任數(shù)方風程，蘆得4周期況點穩(wěn)酬定條顛件：當時，8點周悔期→16點周齊期倍周謙期分萬叉：隨著趨控制崗參數(shù)K的不戒斷增舒大，瓜穩(wěn)定啄不動頁點的押個數(shù)唉從一筒分為近二，負二分豈為四益，四雨分為蛛八，……，呈悔周期攜加倍框的分飄叉現(xiàn)蹈象稱績之。當時，16點周甘期→32點周事期當時，4點周煉期→8點周魂期K0K1K2K3類似焦的分懲支可拼以不蒼斷地材繼續(xù)盒下去殺，每濱到分四支點Kn會出鉆現(xiàn)穩(wěn)籍定的2n點周急期。各相草鄰分升支點兵的間涂距隨著n的增煩大逐未漸減魚小。當n比較良大的途時候妄，稍菜微改誦變一堤下控熟制參斧數(shù)K的值堪，周矩期加牌倍會隔很快表發(fā)生蚊，直寇到無窮款長的消周期頃，即魂非周鈔期。當K大于沙，昆文蟲數(shù)異的長遵時間惜行為希不再娃穩(wěn)定殘到任宴何不蘋動點廳或周快期值椅上，居它可求以從沃小到稠大表良現(xiàn)得書很隨怖機，情這時合我們撿說昆沾蟲的漠演化耕進入胡了混沌池狀態(tài)。1<個K<輩33.過44布95貝<K阿<3襲.5謹44片13<績K<啊3.招44樸95K>眾3.執(zhí)56滴99(1卡)有序：混僵沌的革產(chǎn)生志條件甘是在仔遠離暮平衡融狀態(tài)游，在吩混沌邊的無樣序中處還包捎含著宋更深燃層次胞的有途序性宗；(2駱)無序：混柄沌是商一種就有結許構的殘無序餡，表制面上拋看起灶來是妥雜亂命無規(guī)霧則的李混沌伏是有接其內(nèi)抱在規(guī)妹律性吧的。3.餡3混沌襯中的渡規(guī)律榜性混沌流的產(chǎn)架生經(jīng)紫歷了改一個他從無戒序→呆有序酒→無翅序的概過程雷，混治沌與沃簡單寸的無碌序（多平衡鋒態(tài)的嫂均勻倦無序箭）是攪有本滔質差圓別的3.宿3.鞋1各態(tài)傍歷經(jīng)當演侄化處情于混扭沌區(qū)鐘后，沒由于白它是線無窮宇周期點點，鄙隨著劫時間憶的演框化，柴系統(tǒng)煌的狀池態(tài)幾傘乎可史分布收于[0，1]的整斧個區(qū)護間→各態(tài)臨歷經(jīng)。兩點交規(guī)律償：①當K從4減小廉時，黎昆蟲材數(shù)歷嚷經(jīng)的娃區(qū)域增逐步乳在縮價小；②在混參沌帶恒內(nèi)的學某些法部位沃，當K減小糧到原來鍵連成羞一片輩的混竊沌帶書一分沾為二賓，到……，這殘種行溜為與翅倍周歪期分芽支行宏為類俗似，型所以跳稱時，混沌喝帶又潛二分為四鋼，為混沌舅帶倍謎周期票逆分翠叉。3.窯3.袖2混沌糾帶倍預周期踩逆分曠叉混沌泥區(qū)并市不完憤全是楚無序工的，切它有未著復孩雜的甜結構補。通合過對森混沌歪區(qū)的渾仔細痰觀察快可以譯發(fā)現(xiàn)遷，在索混沌炕區(qū)內(nèi)旦還存受在著撤一些壘大大逐小小范的透明這窗口，在短這些幅窗口際內(nèi)，偏昆蟲羨數(shù)的坦演化創(chuàng)是周期犯性的。在這蠟些窗跑口，價最大尿的周今期窗找口是迅周期3，它反發(fā)生染于3.健3.馳3周期貿(mào)窗口3.國3.秀4陣發(fā)眾混沌當慌，時鄉(xiāng)豐出現(xiàn)擴的3個不械穩(wěn)定于不動怖點之閑間形對成了帳三處孔狹窄慘“走觀廊”椒?！白呃群浦械墓实|很象川在不銜動點根附近稿徘徊侍，近懲乎周橋期運哪動。取在不嬸同走暮廊之慎間的芬跳躍蛙，近明乎混陽沌。檔因此楊，在戒整個費過程丙中隨粗機地奪夾雜緩了一搞些混皇沌階俊段。n（2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