第二十二章混沌動(dòng)力學(xué)

高等工程地質(zhì)學(xué)山東大學(xué)山東大學(xué)研究生專業(yè)基礎(chǔ)課2011年9月主講教師：薛翊國(guó)第二十二章混沌動(dòng)力學(xué)混沌動(dòng)力學(xué)(chaoticdynamics)“混沌”一詞譯自英文“Chaos”，意為“混沌”、“紊亂”、“無(wú)規(guī)律”、甚至“湍流”?！盎煦纭币辉~自古以來(lái)，國(guó)內(nèi)外的書(shū)籍中就早有使用，如我國(guó)的古代神話中認(rèn)為在盤古王開(kāi)天辟地之前，宇宙就是一片混沌狀態(tài)。

1963年Lorenz在其論文《確定性非周期流》中提出了混沌的思想(對(duì)初值的敏感性)。但作為一個(gè)科學(xué)術(shù)語(yǔ)，一般認(rèn)為李天巖和約克（Yoke）在1975年的論文“周期3則混沌”是首次引用Chaos一詞。3.1引言1973年4月的一天，在美國(guó)馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系，一名叫李天巖的研究生百無(wú)聊賴地走進(jìn)導(dǎo)師約克教授的辦公室，此時(shí)李的博士論文正處于膠著階段，一時(shí)未有進(jìn)展。約克給了李一個(gè)區(qū)間迭代問(wèn)題，李卻開(kāi)玩笑地說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的解決足以送到美國(guó)《數(shù)學(xué)月刊》上發(fā)表。3.1.1“混沌”的來(lái)歷

兩個(gè)星期后，李解決了這個(gè)區(qū)間迭代問(wèn)題。如果從x=x0開(kāi)始按照公式迭代n次后，回到原來(lái)的地方，但當(dāng)?shù)螖?shù)小于n時(shí)都不回到原來(lái)地方，則x0就叫f(x)的一個(gè)n周期點(diǎn)。李證明，如果區(qū)間到區(qū)間自身的函數(shù)f(x)連續(xù)，且有一個(gè)3周期點(diǎn)，那么，對(duì)于任何正整數(shù)n，f(x)有n周期點(diǎn)。(周期3則混沌)

李和約克把這項(xiàng)研究成果寫成論文真的寄到《數(shù)學(xué)月刊》去了，但很快論文便被退回來(lái)了，理由是“本刊不以論文形式發(fā)表研究成果，如果要發(fā)表，應(yīng)按本刊文章規(guī)格改寫”。于是，文章被扔進(jìn)了辦公室的角落里。過(guò)了一年(1974)，約克教授在一次會(huì)議上了解到物理學(xué)界正在為混沌現(xiàn)象感到頭痛，他立即想到這個(gè)區(qū)間迭代問(wèn)題。

其實(shí)，李—約克關(guān)于有3周期點(diǎn)則有一切周期點(diǎn)的定理只是蘇聯(lián)一位不知名學(xué)者的沙可夫斯基定理的一個(gè)特例。

沙可夫斯基定理：設(shè)f(x)是區(qū)間到區(qū)間自身的連續(xù)函數(shù)，又設(shè)在沙可夫斯基序中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期點(diǎn)的話，則它一定也有n周期點(diǎn)。3.1.2“混沌”現(xiàn)象一、氣候中的“蝴蝶效應(yīng)”

混沌現(xiàn)象首先是1963年被美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)的。他為了預(yù)報(bào)天氣變化，把大氣動(dòng)力學(xué)方程組簡(jiǎn)化為12個(gè)方程組（用牛頓定律建立了溫度和壓強(qiáng)、壓強(qiáng)與風(fēng)速等之間關(guān)系），并在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，因嫌參數(shù)小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)太多，輸入時(shí)很麻煩，便舍去幾位，盡管舍去部分看來(lái)微不足道，可結(jié)果卻大大出乎Lorenz的意料：舍去與沒(méi)有舍去的模型的結(jié)果競(jìng)?cè)淮笙鄰酵?，幾乎變得完全認(rèn)不出來(lái)了。

為了深入研究這種現(xiàn)象，Lorenz把12個(gè)大氣動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為三個(gè)一階的常微分方程組，并進(jìn)行了深入細(xì)致地分析，得到同樣的結(jié)論。這三個(gè)方程也便成了經(jīng)典的混沌的例子——Lorenz模型。Lorenz通過(guò)對(duì)他所提出的方程進(jìn)行研究表明：短期的天氣預(yù)報(bào)可行，但長(zhǎng)時(shí)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的。

“蝴蝶效應(yīng)”：在南半球某地的一只蝴蝶偶然扇動(dòng)翅膀所帶來(lái)的微小氣流，幾星期后可能變成席卷北半球某地的一場(chǎng)龍卷風(fēng)。

二、雷諾實(shí)驗(yàn)

在混沌研究中，另一類比較有代表意義的混沌現(xiàn)象便是湍流。

雷諾（Reynold）實(shí)驗(yàn):

在一個(gè)可控制流速的園管中注入液體，并在園管中心軸線入口處引入一絲有色液體，以便觀察流體的運(yùn)動(dòng)狀況。

(1)當(dāng)管中液體流速不大時(shí)，有色液體的流動(dòng)順直光滑，層次分明→層流。

(2)當(dāng)流速增加到超過(guò)某個(gè)值時(shí)，有色液體絲將發(fā)生規(guī)則地振蕩→湍流（紊流）。ρ-密度；a-粘滯系數(shù)；v-流速；D-園管直徑三、Benard對(duì)流實(shí)驗(yàn)混沌是一個(gè)相當(dāng)難以精確定義的概念。①對(duì)初值的敏感依賴性②確定的隨機(jī)性，由確定性規(guī)律決定的系統(tǒng)可以有效地表現(xiàn)出隨機(jī)行為。確定的：是因?yàn)樗蓛?nèi)在的原因而不是外來(lái)的噪聲或干擾所產(chǎn)生，即過(guò)程是嚴(yán)格確定性的。隨機(jī)性：指不規(guī)則的，不能預(yù)測(cè)的行為。3.1.3混沌的定義混沌栽提供春了把療復(fù)雜扛的行手為理凈解為純是有雜目的隊(duì)和有岔結(jié)構(gòu)閣的某妨種行皂為，第而不扁是理味解為扇外來(lái)倒的和過(guò)偶然卻的行課為的錦方法蔽。確定掏性的疤方程誓可以濟(jì)產(chǎn)生靜隨機(jī)質(zhì)行為胳。湍流搭：Na砍vi主er嗽-s蘇to殖ke爭(zhēng)s方程Lo堪gi吊st價(jià)ic映射蠶：Lo層re菌nz模型完：3.且2混沌尤產(chǎn)生手的數(shù)清學(xué)模朝型對(duì)于認(rèn)確定泥性系粒統(tǒng)中脊的隨誰(shuí)機(jī)性別，即沃混沌蓄現(xiàn)象乘，也傭存在論著一城些代評(píng)表性之的模箱型，侮這就脈是一維劉迭代對(duì)過(guò)程。它到們簡(jiǎn)完單得帽可以厚用一記般的你計(jì)算雕器進(jìn)慢行分床析，芽但又研巧妙敢得足本以抓瘋住很找大一裕類真干實(shí)世幟界現(xiàn)友象的淋本質(zhì)幣。對(duì)初義始條輝件的垮敏感過(guò)依賴若性，是嗓混沌紅現(xiàn)象競(jìng)的一蜂大特危征，夕也是霜造成偷混沌排的原合因。討論景一維炎映射萄：3.悄2.占1貝諾械勒變溝換模味型111/擠2xnxn-1xn=xn-1從表思面上羨看，燒序列似乎僻有三種形態(tài)猾：（1）當(dāng)是有堂理數(shù)襲，且耗用分道數(shù)表驅(qū)示時(shí),其分簽?zāi)笧?的（k是正挺整數(shù)罪）時(shí)些，此承時(shí)。冪數(shù)例如信：（2）當(dāng)不是2的冪千數(shù)時(shí)吃，則虜序列沙為周期拋解。是有燦理數(shù)薦，且凱用分穴數(shù)表稅示。牛其分老母例如腰：…大于擾一定神的數(shù)鐘后將體在三剪個(gè)數(shù)即之間解循環(huán)（3）當(dāng)是無(wú)細(xì)理數(shù)疑時(shí)，仗則序趨列既謙不趨頸向于制零，纖也不趨向捧于周能期解酒，而皂是一氧個(gè)貌塑似無(wú)規(guī)濾則的崖解。為例叼，迭甜代下演去有，但俱若一咸個(gè)以初值和前90冤0多位谷小數(shù)胸都相協(xié)同，后面暈只差一點(diǎn)粥，如蔽：但實(shí)備際情瀉況并造非如暈此，抽其實(shí)祥序列刑只能樹(shù)有一不種形么態(tài)，即混駁沌。所以沫，如玩用作迭趟代，肥則到俊第30潑02次有三個(gè)普相差注很小勞的初繞始條福件，套但迭漏代到30麻02次后宗，則縣相差宣甚遠(yuǎn)瓜，真飼是“寒差之醋毫厘捕，失籌之千才里”母。計(jì)算救結(jié)果虜對(duì)初碗始條銅件敏戀感地誤依賴海性。再換形一個(gè)石和相差鋼很小格的無(wú)葛理數(shù)→無(wú)周測(cè)期的宴序列設(shè)想菜在一叉?zhèn)€小犧島上級(jí)繁衍平著某核類昆技蟲(chóng)，岔每年宰春末艱蜉出昌，夏帳末產(chǎn)追卵后員死去洽。下將一代橡在第國(guó)二年猾又重凳復(fù)同懂樣的瀉生死斗輪回懲，就及這樣瀉年復(fù)捆一年青地傳依種接牌代下漸去。突那么卻，若挨干年言后這明類昆先蟲(chóng)的癢繁衍樹(shù)狀況北如何練呢？為了凱描述宣這種晴昆蟲(chóng)刊的繁活衍狀兼況，阿德國(guó)董生物程學(xué)家（Ve創(chuàng)rh斑ul綿st）18諸37年建堡立了腔這樣薪一個(gè)刃理想堤化的正生態(tài)瞇模型循：K：昆摟蟲(chóng)繁煌殖后鞭代的咸能力L：環(huán)五境容凳量，聽(tīng)環(huán)境旺能夠墊供養(yǎng)嫌的最相大昆結(jié)蟲(chóng)數(shù)僅目。的飽忠和值X*。：t時(shí)刻慰的昆祝蟲(chóng)數(shù)其等卻于3.恭2.離2Lo繳gi眠st起ic映射如果往我們急將環(huán)爸境容柔量取腦為1個(gè)單身位，奏也即性意味子著如席果L=貍10坑0萬(wàn)，紅那么斧昆蟲(chóng)還數(shù)目應(yīng)以10酬0萬(wàn)為忌單位偵。上式鄭變?yōu)閾恚捍耸角f的精祖確解級(jí)為：X（0）是昆蟲(chóng)爐繁衍靜的長(zhǎng)超期行段為：機(jī)當(dāng)飽和亡值時(shí)的旅昆蟲(chóng)翠數(shù)。tx如果然我們字每年智對(duì)昆廚蟲(chóng)數(shù)典目測(cè)仙算一龍次，舅并用年的吸昆蟲(chóng)君數(shù)，追則原怒來(lái)的棋連續(xù)炭變量和t就變仰為離激散變緊量則：Ve掃rh躲ul功st生成千模型走就演貓化為高：表示蘿第nLo相gi血st映ic映射孔（離賊散模斷型）f函數(shù)處的這滑種作矛用在碗數(shù)學(xué)洗上稱魯為映射。求解泳差分犬方程斗可采遭用逐塊步迭看代法鄙運(yùn)算白：即：是從戴初始開(kāi)始遣連續(xù)n次用f函數(shù)浸作用害的結(jié)虜果。Lo洞gi房誠(chéng)st抖ic仍然討映射螞到該市區(qū)間艘，，這聚種映大射稱敗為自耗身映饞射。自身巴映射：如呈果控泊制參讓數(shù)K值在0和4之間粥，的作山用是層把任故何值函數(shù)f即Lo訂gi壇st膝ic映射3.獸2.撥3從倍狐周期籍分叉嚼通向暗混沌(一)莫0<衫K<細(xì)1(K0=1拉)解不遍動(dòng)點(diǎn)賀？每個(gè)押不動(dòng)殿點(diǎn)：當(dāng)K=嗎0.例5時(shí)：因此螺，當(dāng)K=澆0.本5時(shí)，征昆蟲(chóng)騰演化答的最哲終結(jié)謹(jǐn)果是晌趨于溝穩(wěn)定，即續(xù)消亡野。不動(dòng)揀點(diǎn)不動(dòng)秤點(diǎn)：穩(wěn)定傾點(diǎn)、勉收斂館點(diǎn)那么款，作睬為生澇態(tài)學(xué)貨研究援的課址題，K究竟良要達(dá)肢到何棉值才倍能使魂之?dāng)[境脫消拌亡（哲滅亡胡）的熊不幸譯結(jié)局恨呢？可采浸用分荷析不希動(dòng)點(diǎn)辱的穩(wěn)年定性巖條件魔來(lái)回艙答這夾個(gè)問(wèn)摸題。在穩(wěn)甚定的凍不動(dòng)銷點(diǎn)附近伶，如革果把鹽每次矩迭代捆結(jié)果績(jī)寫成到：那么測(cè)，要與使逐漸肉趨于具穩(wěn)定變不動(dòng)趕點(diǎn)，則旋隨著楚迭代逐漸壤減小無(wú)，即的進(jìn)啊行，上式街就是邊不動(dòng)碰點(diǎn)的穩(wěn)喇定條沃件。由在不隸動(dòng)點(diǎn)采處，那么的穩(wěn)每定性證條件堆為：將代入蚊上式把，得傾到不昏動(dòng)點(diǎn)也就挨是說(shuō)狐，要遵使昆都蟲(chóng)的推數(shù)目茄隨時(shí)菊間延掏續(xù)不除致于罵消亡弊，所以菌，不遠(yuǎn)動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)輝定條將件為萬(wàn)：我們秒來(lái)看x的另弱一個(gè)已不動(dòng)榆點(diǎn)那么K=左?也即牧：當(dāng)育參數(shù)下從K<辛1變?yōu)镵>菊1時(shí)不她動(dòng)點(diǎn)把穩(wěn)鮮定性了。交給(二)豎1<不K<鑼3(K1=3互)從上鞭圖可梳以看不出：①隨著K值的野增大公，曲正線斜何率在語(yǔ)逐漸昌變陡彈，而曬只有挪那些曲線躺斜率歪小于1的不妙動(dòng)點(diǎn)膀才為磚穩(wěn)定殃不動(dòng)滲點(diǎn)。②當(dāng)昆哭蟲(chóng)的另繁殖雄能力K達(dá)到休一定拼程度高時(shí)，婦無(wú)論扔初始怎樣案小（劉昆蟲(chóng)沫數(shù)量碑各多截少）遍（但它都撓會(huì)逐忘年增漲加，書(shū)最后顆把昆傅蟲(chóng)數(shù)虜目穩(wěn)騎定在趨勢(shì)痛不會(huì)師永遠(yuǎn)膛繼續(xù)貧下去鮮，當(dāng)K超過(guò)3時(shí)也會(huì)扁變成延不生存必資源格條件現(xiàn)允許墓的有寧限數(shù)頌?zāi)可铣?。但各我們擾看到晌，這登個(gè)一個(gè)有限農(nóng)數(shù)目也會(huì)燃隨著K的增賄加而亞增加晚，但障這種穩(wěn)定龍。(三)認(rèn)3<痰K<(K2=清=3將.4身49誘5)既然響是重樣復(fù)出頓現(xiàn)：系統(tǒng)微重復(fù)景出現(xiàn)講的這趴?jī)蓚€(gè)紫點(diǎn)上述賞情況表明呈：當(dāng)K>挪3時(shí)，羅昆蟲(chóng)揮數(shù)的投長(zhǎng)時(shí)瘋間行侍為不枯再趨強(qiáng)于某計(jì)一固氏定值局，而愿是趨烤于一枯年多府一年動(dòng)少的周期碧值（交摔替）貢。稱為2點(diǎn)周訪期。如此畢眾多終的昆盲蟲(chóng)，飼絕大匪多數(shù)待昆蟲(chóng)貓未能渡到產(chǎn)營(yíng)卵期悄使中促途死茄亡，坑幸存醫(yī)的昆鈔蟲(chóng)留蛇下少摟量的列卵在警第三躍年又盯蜉化著出則少詞量的昆蟲(chóng)柿有足禽夠的訪食物袖和良股好的殃環(huán)境濕空間福，絕維大多焰數(shù)昆膠蟲(chóng)都犬能活艙到夏妙末的夾產(chǎn)卵敬期，省留下捎大量消的卵活可供蛙第二閃年春教季蜉陪化出瓜眾多姐的昆廳蟲(chóng)數(shù)線性勒項(xiàng)（牲加快悶繁殖現(xiàn)）；擊非線滅性項(xiàng)魚(yú)（限貿(mào)制繁礙殖）這種交替易變化來(lái)源愛(ài)于線博性項(xiàng)和非對(duì)線性套項(xiàng)之間顫的競(jìng)爭(zhēng)。①如果幣某一看年的侵昆蟲(chóng)妹數(shù)處贏于較僻少的。狀態(tài)錄，②當(dāng)昆逝蟲(chóng)數(shù)拾真正前達(dá)到的新羨一代瘋。時(shí)，馬島上莖食物夢(mèng)不再前能供呼應(yīng)說(shuō)明經(jīng)過(guò)爐兩次展映射雷（兩榴個(gè)f）又勵(lì)回到一個(gè)駐復(fù)合疫函數(shù)墳：顯然偽，滿足屑上述怕條件仗，即（1），如濫果定勞義（2）2點(diǎn)周動(dòng)期：不動(dòng)默點(diǎn)穩(wěn)鞭定的義條件謊：據(jù)此格可求然出跌穩(wěn)定引時(shí)K的取煎值范暈圍。K2K1當(dāng)時(shí)，4點(diǎn)周軍期將賤取代2點(diǎn)周金期即：根據(jù)4點(diǎn)周自期穩(wěn)知定的沙條件雀，可陶求出4點(diǎn)周偏期穩(wěn)斯定的K的取煌值范堤圍：用計(jì)賤算機(jī)賺求解衰這兩蜓個(gè)高厚次代任數(shù)方風(fēng)程，蘆得4周期況點(diǎn)穩(wěn)酬定條顛件：當(dāng)時(shí)，8點(diǎn)周悔期→16點(diǎn)周齊期倍周謙期分萬(wàn)叉：隨著趨控制崗參數(shù)K的不戒斷增舒大，瓜穩(wěn)定啄不動(dòng)頁(yè)點(diǎn)的押個(gè)數(shù)唉從一筒分為近二，負(fù)二分豈為四益，四雨分為蛛八，……，呈悔周期攜加倍框的分飄叉現(xiàn)蹈象稱績(jī)之。當(dāng)時(shí)，16點(diǎn)周甘期→32點(diǎn)周事期當(dāng)時(shí)，4點(diǎn)周煉期→8點(diǎn)周魂期K0K1K2K3類似焦的分懲支可拼以不蒼斷地材繼續(xù)盒下去殺，每濱到分四支點(diǎn)Kn會(huì)出鉆現(xiàn)穩(wěn)籍定的2n點(diǎn)周急期。各相草鄰分升支點(diǎn)兵的間涂距隨著n的增煩大逐未漸減魚(yú)小。當(dāng)n比較良大的途時(shí)候妄，稍菜微改誦變一堤下控熟制參斧數(shù)K的值堪，周矩期加牌倍會(huì)隔很快表發(fā)生蚊，直寇到無(wú)窮款長(zhǎng)的消周期頃，即魂非周鈔期。當(dāng)K大于沙，昆文蟲(chóng)數(shù)異的長(zhǎng)遵時(shí)間惜行為希不再娃穩(wěn)定殘到任宴何不蘋動(dòng)點(diǎn)廳或周快期值椅上，居它可求以從沃小到稠大表良現(xiàn)得書(shū)很隨怖機(jī)，情這時(shí)合我們撿說(shuō)昆沾蟲(chóng)的漠演化耕進(jìn)入胡了混沌池狀態(tài)。1<個(gè)K<輩33.過(guò)44布95貝<K阿<3襲.5謹(jǐn)44片13<績(jī)K<啊3.招44樸95K>眾3.執(zhí)56滴99(1卡)有序：混僵沌的革產(chǎn)生志條件甘是在仔遠(yuǎn)離暮平衡融狀態(tài)游，在吩混沌邊的無(wú)樣序中處還包捎含著宋更深燃層次胞的有途序性宗；(2駱)無(wú)序：混柄沌是商一種就有結(jié)許構(gòu)的殘無(wú)序餡，表制面上拋看起灶來(lái)是妥雜亂命無(wú)規(guī)霧則的李混沌伏是有接其內(nèi)抱在規(guī)妹律性吧的。3.餡3混沌襯中的渡規(guī)律榜性混沌流的產(chǎn)架生經(jīng)紫歷了改一個(gè)他從無(wú)戒序→呆有序酒→無(wú)翅序的概過(guò)程雷，混治沌與沃簡(jiǎn)單寸的無(wú)碌序（多平衡鋒態(tài)的嫂均勻倦無(wú)序箭）是攪有本滔質(zhì)差圓別的3.宿3.鞋1各態(tài)傍歷經(jīng)當(dāng)演侄化處情于混扭沌區(qū)鐘后，沒(méi)由于白它是線無(wú)窮宇周期點(diǎn)點(diǎn)，鄙隨著劫時(shí)間憶的演框化，柴系統(tǒng)煌的狀池態(tài)幾傘乎可史分布收于[0，1]的整斧個(gè)區(qū)護(hù)間→各態(tài)臨歷經(jīng)。兩點(diǎn)交規(guī)律償：①當(dāng)K從4減小廉時(shí)，黎昆蟲(chóng)材數(shù)歷嚷經(jīng)的娃區(qū)域增逐步乳在縮價(jià)??；②在混參沌帶恒內(nèi)的學(xué)某些法部位沃，當(dāng)K減小糧到原來(lái)鍵連成羞一片輩的混竊沌帶書(shū)一分沾為二賓，到……，這殘種行溜為與翅倍周歪期分芽支行宏為類俗似，型所以跳稱時(shí)，混沌喝帶又潛二分為四鋼，為混沌舅帶倍謎周期票逆分翠叉。3.窯3.袖2混沌糾帶倍預(yù)周期踩逆分曠叉混沌泥區(qū)并市不完憤全是楚無(wú)序工的，切它有未著復(fù)孩雜的甜結(jié)構(gòu)補(bǔ)。通合過(guò)對(duì)森混沌歪區(qū)的渾仔細(xì)痰觀察快可以譯發(fā)現(xiàn)遷，在索混沌炕區(qū)內(nèi)旦還存受在著撤一些壘大大逐小小范的透明這窗口，在短這些幅窗口際內(nèi)，偏昆蟲(chóng)羨數(shù)的坦演化創(chuàng)是周期犯性的。在這蠟些窗跑口，價(jià)最大尿的周今期窗找口是迅周期3，它反發(fā)生染于3.健3.馳3周期貿(mào)窗口3.國(guó)3.秀4陣發(fā)眾混沌當(dāng)慌，時(shí)鄉(xiāng)豐出現(xiàn)擴(kuò)的3個(gè)不械穩(wěn)定于不動(dòng)怖點(diǎn)之閑間形對(duì)成了帳三處孔狹窄慘“走觀廊”椒?！白呃群浦械墓实|很象川在不銜動(dòng)點(diǎn)根附近稿徘徊侍，近懲乎周橋期運(yùn)哪動(dòng)。取在不嬸同走暮廊之慎間的芬跳躍蛙，近明乎混陽(yáng)沌。檔因此楊，在戒整個(gè)費(fèi)過(guò)程丙中隨粗機(jī)地奪夾雜緩了一搞些混皇沌階俊段。n（2n周期點(diǎn)）分支點(diǎn)Kn01134.44950953923.4494877434.75132466733.5440903594.65634931543.5644072664.66824174953.5687594204.66874135163.5696916104.66914434873.5698912594.669059869┇┇┇∞3.5699456724.6692016093.章4Fe宮ig教en扯ba總um常數(shù)3.例4.貨1倍周摔期分森叉序?qū)O列的慎收斂孝速率設(shè)：隨著n的增分大，崖趨晴于一戒常數(shù)歉，在一個(gè)笑確切患的無(wú)譽(yù)理數(shù)糟上：時(shí)，冤它固跌定在……Lo出gi宴st零ic映射指數(shù)捆映射梅：正弦職映射券：在這跳兩個(gè)拿映射袋中觀卡察到躺發(fā)生寶分叉質(zhì)的參設(shè)數(shù)K都以準(zhǔn)為收物斂速腐率呈拒幾何圈級(jí)數(shù)勾收斂科。研究乓結(jié)果李表明逢，系與Lo務(wù)gi鬼st吃ic映射諸的細(xì)鳴節(jié)無(wú)么關(guān)，畜凡是惠滿足訪如下欄條件蛇的函榨數(shù)：函數(shù)旁有一侮個(gè)“扭通有犧的”泰的極頸大值內(nèi)，即鞭一個(gè)筋非零踐二階渠導(dǎo)數(shù)滾的極且大值騎，這索樣的籠函數(shù)純稱為單峰堵函數(shù)。（1）敗對(duì)所漠有通剪用的單峰恩映射是普冊(cè)通的籮；(2未)一旦冠在一何個(gè)耗頌散動(dòng)狐力學(xué)替系統(tǒng)蛙中發(fā)籃現(xiàn)倍周充期分洲叉，那緣瑞就應(yīng)牙該發(fā)換現(xiàn)該倒普通溝常數(shù)囑。(3要)維F李ei聚ge定nb蠅au降m常數(shù)燙的棄發(fā)現(xiàn)霸揭示祝了一刑條普適饞于從陣倍周千期分婆支到吐混沌腫的自撤然法洗則。單峰材映射(必要藝條件)倍周岔期分括叉→援混沌(充分燃條件)3.回4Fe振ig拴en員ba肥um常數(shù)3.灑4.答2標(biāo)度購(gòu)變換吧因子定義室：（相笛似比撇）……也是片一個(gè)飲普遍杏常數(shù)嘗，稱亮為Fe叼ig另en拘ba政um第二村常數(shù)痕，也稱為糧標(biāo)度案變換顫因子舅。附注駁：①也是遺一個(gè)殊普通壤常數(shù)筆，其泰適用訴范圍亦與一致毀，即開(kāi)一切傾從倍周袋期分舉叉混沌攻的過(guò)膊程。②實(shí)際萬(wàn)上是釘倍周材期分供叉過(guò)猴程中丘所有旗結(jié)構(gòu)踢的自相酸似比，與辛具體男結(jié)構(gòu)所無(wú)關(guān)泄。③混沌宿且有瘦無(wú)窮肺層次饑的嵌酬套結(jié)另構(gòu)。在這王大大旗小小交的復(fù)船雜的路自相暫似圖盟案中嫩，標(biāo)售度變幸換是叼普通芬的。沃（自有相似水）④混沌富行為誰(shuí)表現(xiàn)沸出無(wú)序牌中包恐含著議有序曾，有譯序中易又包梳含著晨無(wú)序，如丑果提曉高觀克察的塊分辨創(chuàng)率，姑這樣彎的特君征還飛會(huì)在嫂更小振的尺于度上塌重復(fù)笛出現(xiàn)愧，所泡以說(shuō)混沌氧具有樸更復(fù)膊雜的問(wèn)結(jié)構(gòu)淚?；煦缰v現(xiàn)象廈與隨勵(lì)機(jī)現(xiàn)逼象的女根本嘗區(qū)別Ly盼ap層un杰ov指數(shù)模：指相榨空間異中鄰傘近軌根道發(fā)悟散或巧收斂右的平每均指序數(shù)率衣，其豪反映挨了系拜統(tǒng)性進(jìn)態(tài)對(duì)沿初值客的敏碰感程柏度。3.騎5Ly丘ap攝un料ov指數(shù)澆與奇拳怪吸壟引子對(duì)于m