第六章環(huán)與域

環(huán)與域環(huán)定義:給定代數(shù)系統(tǒng)<S，＋，·>，其中＋和·都是二元運(yùn)算，如果滿足以下條件(1)<S，＋>是交換群。(2)<S，·>是半群。(3)·對(duì)＋是可分配的。則稱<S，＋，·>是一個(gè)環(huán)。通常將＋稱為環(huán)中的加法運(yùn)算，·稱為環(huán)中的乘法運(yùn)算。加法群中的幺元用0表示，a的加法逆元用－a表示。若<S，·>中存在幺元，用1表示，若a的乘法逆元存在，則用a－1表示。例1(1)整數(shù)集、有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q和實(shí)數(shù)環(huán)R。(2)系數(shù)屬于實(shí)數(shù)的所有多項(xiàng)式組成的集合記為R[x]，那么R[x]關(guān)于多項(xiàng)式的加法與乘法構(gòu)成環(huán)。(3)元素屬于實(shí)數(shù)的所有n階矩陣組成的集合關(guān)于矩陣的加法與乘法構(gòu)成環(huán)。(4)模m的剩余類集合Zm，對(duì)于模m的剩余類加法＋m和乘法×m構(gòu)成一個(gè)環(huán)，叫作剩余類環(huán)。定理:設(shè)<S，＋，·>是環(huán)，則對(duì)于任意的a、b、c∈S，有證明(1)因?yàn)閍·0＋a·0＝a·(0＋0)＝a·0＝a·0＋0，所以由消去律可得a·0＝0。同理可證，0·a＝0(2)因?yàn)閍·b＋a·(－b)＝a·(b＋(－b))＝a·0＝0，所以－(a·b)＝a·(－b)。同理可證－(a·b)＝(－a)·b。(3)(－a)·(－b)＝－(a·(－b))＝－(－(a·b))＝a·b（4)a·(b－c)＝a·(b＋(－c))＝a·b＋a·(－c)＝a·b－a·c。(b－c)·a＝(b＋(－c))·a＝b·a＋(－c)·a＝b·a－c·a。

定義:給定環(huán)<S，＋，·>，則(1)若<S，·>是可交換半群，稱<S，＋，·>是可交換環(huán)。(2)若<S，·>是獨(dú)異點(diǎn)，稱<S，＋，·>是含幺環(huán)。(3)若<S，·>滿足冪等律，稱<S，＋，·>是布爾環(huán)。定理:設(shè)R為有單位元的環(huán)，且不只含一個(gè)元素，則1不等于0反證法：若1＝0，則a=a*1=a*0=0整環(huán)、除環(huán)、域零因子:若存在a、b∈S且a≠0、b≠0滿足a·b＝0，稱環(huán)<S，＋，·>為含零因子環(huán)，a和b是零因子。整環(huán)、除環(huán)、域定理：

無零因子與乘法消去律等價(jià)環(huán)中無零因子，當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)中乘法具有消去律。若環(huán)<A,+,·>中無零因子,則對(duì)a≠0，x,y∈A,若a·x＝a·y則a·x－a·y＝0,于是a·(x－y)=0,因而x－y＝0，即x＝y(tǒng)。另一式:x·a＝y(tǒng)·ax＝y(tǒng)同理可得。當(dāng)環(huán)<A,+,·>中，<A,·>具有消去律時(shí),若a≠0，a·b＝0,即a·b＝a·0,消去a,則b＝0,即<A,+,·>中無零因子。

整環(huán)、除環(huán)、域例設(shè)S為下列集合,+和.為普通加法和乘法.(1)S＝{x｜x＝2n∧n∈Z}.(2)S＝{x｜x＝2n+1∧n∈Z}.(3)S＝{x｜x∈Z∧x≥0}＝N,(4)S＝{x｜x＝a+b,a,b∈Q}.問S和+,·能否構(gòu)成整環(huán)？能否構(gòu)成域？為什么？解：(1)不是整環(huán)也不是域,因?yàn)槌朔ㄧ墼?,1S.(2)不是整環(huán)也不是域,因?yàn)镾不是環(huán),普通加法的幺元是0,0S,(3)S不是環(huán),因?yàn)槌?以外任何正整數(shù)x的加法逆元是一x,而一xS當(dāng)然也不(4)是整環(huán)和域.環(huán)與域定理：設(shè)R是一個(gè)無零因子的有限環(huán)，且|R|》2，則R必為除環(huán)因?yàn)槿?lt;R-{0},·>有幺,可交換,且無零因子(群有消去律,由前面定理知:有消去律無零因子)。推論有限整環(huán)必定是域。推論：設(shè)P為素?cái)?shù)，則<Zp,+p,*p>為域商環(huán)與理想定義：設(shè)<S，＋，·>是環(huán)，T是S的非空子集。若T關(guān)于＋和·運(yùn)算也構(gòu)成環(huán)，則稱<T，＋，·>為<S，＋，·>的子環(huán)。例:整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q都是實(shí)數(shù)環(huán)R的子環(huán)。｛0｝和R也是實(shí)數(shù)環(huán)R的子環(huán)，稱為平凡子環(huán)。定理：(子環(huán)判定定理)設(shè)<S，＋，·>是環(huán)，T是S的非空子集。若對(duì)任意的a、b∈T，有a－b∈T且a·b∈T，則<T，＋，·>是<S，＋，·>的子環(huán)。例：偶數(shù)環(huán)2Z是整數(shù)環(huán)Z的子環(huán)定義：設(shè)<T，＋，·>為<S，＋，·>的子環(huán)，若對(duì)于T中任何元t和S中任何元a，有a·t∈T且t·a∈T，則稱<T，＋，·>為環(huán)<S，＋，·>的理想。定理：給定環(huán)<S，＋，·>，T是S的非空子集，則<T，＋，·>為環(huán)<S，＋，·>的理想對(duì)任意的t、t∈T及a∈S，有(t－t)∈T，t·a∈T，a·t∈T。例4試證<(i)，＋，×>為環(huán)<Z，＋，×>的理想，其中(i)＝{ni|n∈Z}。其中，＋和×是普通的加法和乘法。證明對(duì)任意的mi、ni∈(i)及k∈Z，則mi－ni＝(m－n)i(i)，(mi)×(ni)＝(mni)i(i)，k×(ni)＝(kn)×i∈(i)。所以，<(i)，＋，×>為環(huán)<Z，＋，×>的理想。定義：（1)設(shè)<T，＋，·>為環(huán)<S，＋，·>的理想，若在T中存在元g使得T＝S·g，其中S·g＝{a·g|a∈S}，則稱<T，＋，·>為環(huán)<S，＋，·>的主理想，并稱g為<T，＋，·>的生成元或稱由g生成<T，＋，·>。(2)設(shè)R是一個(gè)整環(huán)，如果R的每個(gè)理想都是主理想，則稱R為主理想整環(huán)例：設(shè)<L，＋，×>為環(huán)<Z，＋，×>的理想，則存在i∈N，使得L＝(i)。即<Z，＋，×>的每個(gè)理想都是主理想。證明顯然Z＝(1)，{0}＝(0)，因此兩個(gè)平凡理想<Z，＋，×>和<{0}，＋，×>都是主理想。令<L，＋，×>為<Z，＋，×>的任一真理想，i為L中最小正整數(shù)，下證L＝(i)。因?yàn)?lt;L，＋室，×>為<Z，＋宏，×>的理緊想且i∈L，所魂以對(duì)宮于任撲意ni∈(i)，有ni∈L，故(i)L。對(duì)任而意的k∈L，令k＝q×i＋r，其畫中q、r∈Z且0≤r＜i。因壟為q×i、k∈L，由比理想液的定棒義得r＝k－q×i∈L?？挤☉]到i為L中的約最小耕正整抱數(shù)和0≤r＜i，則r＝0。故k＝q×i∈(i)，因時(shí)此L(i)。綜上術(shù)可得暮，L＝(i)。所匹以，<L，＋尋，×>是<Z，＋潔，×>的主緣瑞理想妄。域的迷特征鑒和素羅域定義爪：設(shè)F是一嬸個(gè)域?yàn)?，S包含結(jié)于F，若S在加鐵和乘軋運(yùn)算絹下也繁構(gòu)成她域，聯(lián)則稱S為F的子好域，F(xiàn)為S的擴(kuò)毀域。定理劍：設(shè)<F逆,+恭,*駕>是一經(jīng)個(gè)域善，則(1藏)在加夏法群<F散,+餡>中，婆每個(gè)張非零河元都趙具有貍同樣取的周余期(2吵)如果<F弓,+兵>中非向零元趁素的烤周期醫(yī)為有稅限數(shù)p，則p必為盈素?cái)?shù)域的肚特征撕和素豆域定義胳：設(shè)<F牢,+夾,*比>是一耕個(gè)域震，若<F激,+腸>中非朱零元策的周幫期為蓬有限擊數(shù)p,則稱梨域F的特喪征為p，若<F緣瑞,+鍬>中非無零元寒的周皺期為覆無窮雁數(shù)，宜則稱擇域的扯特征薄為0注：皮域F的