圓錐曲線【全國一等獎】

第九章平面解析幾何§9.1直線的方程1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當直線l與x軸

時，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是

.向上方向平行或重合[0，π)復習引入12.斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k＝

.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝

.tanα3.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式

不含直線x＝x0斜截式

不含垂直于x軸的直線兩點式

不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0平面直角坐標系內的直線都適用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b(A2＋B2≠0)判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)根據直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.(

)(2)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率.(

)(3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.(

)(4)直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α.(

)(5)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.(

)(6)經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示.(

)√×××××2預習檢查(7)不經過原點的直線都可以用

表示.(

)(8)經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(

)√×直線的傾斜角與斜率解析答案復習引入3課堂講授設直線的傾斜角為θ，答案B解析直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，

解析答案ABP1.若將題(2)中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍.引申探究解析答案PyxABo2.將題(2)中的B點坐標改為B(2，－1)，求直線l傾斜角的范圍.解如圖：直線PA的傾斜角為45°，直線PB的傾斜角為135°，由圖象知l的傾斜角的范圍為[0°，45°]∪[135°，180°).解析答案思維升華PxyABo本題小結跟蹤訓練1例2

根據所給條件求直線的方程：解由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式.即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.解析答案本題小結(2)直線過點(－3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12；(3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.警示(2)直線過點(－3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12；又直線過點(－3,4)，故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.解析答案本題小結警示(3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.解當斜率不存在時，所求直線方程為x－5＝0；當斜率存在時，設其為k，則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.故所求直線方程為3x－4y＋25＝0.綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0.解析答案思維升華本題小結警示在求直線方程時，應先選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件.用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線.故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況.本題小結跟蹤訓練2本課小結警示

B解析答案當堂訓練4警示

2解析答案例2警示2.求適合下列條件的直線方程：(1)經過點P(4,1)，且在兩坐標軸上的截距相等；解設直線l在x，y軸上的截距均為a.若a＝0，即l過點(0,0)及(4,1)，∵l過點(4,1)，解析答案∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0.綜上可知，直線l的方程為x－4y＝0或x＋y－5＝0.警示(2)經過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍.解由已知：設直線y＝3x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角為2α.∵tanα＝3，又直線經過點A(－1，－3)，即3x＋4y＋15＝0.解析答案小結警示第二課時命題點1與基本不等式相結合求最值問題例3

已知直線l過點P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，如圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時直線l的方程.直線方程的綜合應用解析答案從而所求直線方程為2x＋3y－12＝0.方法二依題意知，直線l的斜率k存在且k<0.則直線l的方程為y－2＝k(x－3)(k<0)，解析答案即△ABO的面積的最小值為12.故所求直線的方程為2x＋3y－12＝0.命題點2由直線方程解決參數問題例4

已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，求實數a的值.解由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,2)，直線l1的縱截距為2－a，直線l2的橫截距為a2＋2，解析答案思維升華與直線方程有關問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關的最值問題，先設出直線方程，建立目標函數，再利用基本不等式求解最值.(2)求直線方程.弄清確定直線的兩個條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程.(3)求參數值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數的單調性或基本不等式求解.本題小結(3)(2014·四川)設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________.解析答案解析∵直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0分別過定點A，B，∴A(0,0)，B(1,3).當點P與點A(或B)重合時，|PA|·|PB|為零；當點P與點A，B均不重合時，∵P為直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0的交點，且易知此兩直線垂直，解析答案∴△APB為直角三角形，∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，當且僅當|PA|＝|PB|時，上式等號成立.答案5(2)(2015·安徽)在平面直角坐標系xOy中，若直線y＝2a與函數y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，則a的值為________.解析∵|x－a|≥0恒成立，∴要使y＝2a與y＝|x－a|－1只有一個交點，必有2a＝－1，解析答案返回典例設直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程；(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.易錯分析本題易錯點求直線方程時，漏掉直線過原點的情況.易錯警示系列13.求直線方程忽視零截距致誤規(guī)范解答溫馨提醒返回易錯分析小結解(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，∴a＝2，方程即為3x＋y＝0. [2分]當直線不經過原點時，截距存在且均不為0.∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.綜上，l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. [6分]返回溫馨提醒規(guī)范解答(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，∴a≤－1. [10分]綜上可知a的取值范圍是a≤－1. [12分]溫馨提醒小結(1)在求與截距有關的直線方程時，注意對直線的截距是否為零進行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導致產生漏解.(2)常見的與截距問題有關的易誤點有：“截距互為相反數”；“一截距是另一截距的幾倍”等，解決此類問題時，要先考慮零截距情形，注意分類討論思想的運用.溫馨提醒返回一、直線的傾斜角和斜率的關系：(1)任何直線都存在傾斜角，但并不是任意直線都存在斜率.(2)直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<05本節(jié)小結二、與直線方程的適用條件、截距、斜率有關問題的注意點：(1)明確直線方程各種形式的適用條件點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線.(2)截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零，在與截距有關的問題中，要注意討論截距是否為零.(3)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應注意分類討論，即應對斜率是否存在加以討論.返回備用練習1234567891011121314151.若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則參數m滿足的條件是(

)故m≠1時方程表示一條直線.D解析答案

123456789101112131415B解析答案3.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(

)A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2解析直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故選D.D123456789101112131415解析答案4.設直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝0，則a，b滿足(

)A.a＋b＝1 B.a－b＝1C.a＋b＝0 D.a－b＝0即a＝b，故應選D.D123456789101112131415解析答案

A123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案7.一條直線經過點A(－2,2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為______________.123456789101112131415解析答案∵A(－2,2)在此直線上，又∵直線與坐標軸圍成的三角形面積為1，123456789101112131415解析答案即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程.答案

x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝01234567891011121314158.若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三點共線，則ab的最小值為______.所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.123456789101112131415解析答案即ab的最小值為16.169.設直線l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)，根據下列條件分別確定m的值：(1)直線l在x軸上的截距為－3；解∵l在x軸上的截距為－3，∴－2m＋6≠0，即m≠3，又m≠－1，∴m2－2m－3≠0.123456789101112131415解析答案(2)直線l的斜率為1.解由題意知2m2＋m－1≠0，123456789101112131415解析答案10.已知點P(2，－1).(1)求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程；解過點P的直線l與原點的距離為2，而點P的坐標為(2，－1)，顯然，過點P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時l的斜率不存在，其方程為x＝2.若斜率存在，設l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.123456789101112131415此時l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.解析答案(2)求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？解作圖可得過點P與原點O的距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線，如圖所示.由l⊥OP，得klkOP＝－1，由直線方程的點斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.123456789101112131415解析答案

123456789101112131415解析答案11.若直線ax＋by＝ab(a>0，b>0)過點(1,1)，則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為(

)A.1 B.2 C.4 D.8解析∵直線ax＋by＝ab(a>0，b>0)過點(1,1)，當且僅當a＝b＝2時上式等號成立.∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.C123456789101112131415解析答案12.已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動點P(x，y)，則xy的最大值是_____.3123456789101112131415解析答案13.設點A(－1,0)