中考高分的十八個關節(jié)-關節(jié)2-充分發(fā)揮方程的工具性作用_第1頁
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蘇科版數(shù)學網(wǎng)免費提供優(yōu)秀蘇科版初中數(shù)學教案、課件和試卷。本站專注于蘇科版初中數(shù)學資料的收集、整理。郵箱:skbsx@126.com,QQ:782894242關節(jié)二充分發(fā)揮方程的工具性作用方程是重要的數(shù)學工具,它可以干什么用呢?結論是:凡是有關“求值”的問題,不管是怎樣的背景下和情境中,絕大多數(shù)情況都可以借助構造方程來解決。一、方程用于實際問題中的求值這方面的題目,同學們做的已經(jīng)很多,這里只舉一例。例1秋末,由于冷空氣入侵,某地區(qū)地面氣溫急劇下降到0℃以下的天氣稱為“霜凍”秋末某天,氣象臺發(fā)布了該地區(qū)如下的降溫預報:午夜0時至次日5時氣溫將勻速地由3℃降到—3℃,然后從次日5時至次日8時,氣溫將又勻速地由—3℃升到5【觀察與思考】這實際是要求出兩個數(shù)值:一是0時至次日5時氣溫下降過程中在哪個時刻達到0℃;二是在次日5時至次日8時氣溫上升過程中,在哪個時刻達到0可以用“勻速”所包含的“相等關系”來導出方程,即(事實上,只要把本問題的“溫度差”看作“路程”,它就相當于行程問題了。)簡解:設在0時至次日5時之間的時,氣溫降到0℃,則依題意有:(時)設在次日5時至次日8時之間的時氣溫升到0℃,依題意有:,解得(時)。氣溫在0℃二、方程用于數(shù)學問題中的價值數(shù)學問題中有形形色色或顯或隱的求值問題,大都可借助方程來解決。1、借助方程,解決某些“數(shù)與式”的問題例1如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差,那么,稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”。如:,因此4,12,20這三個數(shù)都是神秘數(shù),(1)28和2008這兩個數(shù)是神秘數(shù)嗎?為什么?(2)兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù))是神秘數(shù)嗎?為什么?【觀察與思考】根據(jù)題中規(guī)定知道,若(※),(其中是整數(shù),為正整數(shù)),則就是“神秘數(shù)”。正整數(shù)是不是“神秘數(shù)”,就看使(※)式成立的整數(shù)是不是存在,存在時就是“神秘數(shù)”;不存在,就不是“神秘數(shù)”。這就是說,研究是不是“神秘數(shù)”的問題,就變成了研究(※)這個關于的方程有無整數(shù)解的問題。解:(1)方程有非負整數(shù)解3。即28是神秘數(shù)。方程,沒有整數(shù)解,2008不是神秘數(shù)。(2),令解得不是整數(shù)。兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù))不是神秘數(shù)。例2按下面的程序計算,若開始輸入的值為正數(shù),最后輸出的結果為656,則滿足條件的的不同值最多有()輸入輸入計算的值輸出結果是否A、2個B、3個C、4個D、5個【觀察與思考】本題相當于按如下規(guī)律構造的方程:,有正整數(shù)解的共有多少個??沈炞C只有上述4個方程有正數(shù)解。解:選C。對于許多有關特定要求的數(shù),式問題,常需要借助方程來解決。2、借助方程,解決某些幾何圖形的求值問題例3圖1是由9個等邊三角形拼成的六邊形,若已知中間的小等邊三角形的邊長為,則六邊形的周長是【觀察與思考】拼成六邊形的9個等邊三角形按大小共分為5類,從大到小邊長逐減小,因此,可通過構造最大的等邊三角形的邊長的方程來求得它的值。從圖2中可以看到最大三角形的邊長是第四大三角形邊長的2倍,易如:設最大的等邊三角形的邊長為,則有。圖中六邊形的六條邊依次為:解:ABABCDEFGNM【觀察與思考】可借助來構造關于EN的方程求其長。解:。∽得關于EN的方程解得(不合題意,舍去)。許多圖形的求值問題,可借助方程來解決,事實上,包括解直角三角形和用相似三角形的性質求邊長,也是特定形式的方程,是方程思想的一種具體化表現(xiàn)。3、借助方程,解決函數(shù)相關的問題例5如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點E和F。從點A(1,0)和(2)當點P在邊DC上運動時,是否存在時刻,使線段PQ和對角線BD互相平行?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由;(3)當點P在邊CB上運動時,可能成為直角三角形嗎?寫出你的判斷,并說明理由;【觀察與思考】以上三個問題,實際都歸于建立關于的方程來解決。ADPCQB解:(1)點P在邊AD上運動時,??傆蠥DPCQB令PD=PQ,即。(秒)時,是以DQ為底邊的等腰三角形。 (1)當點P在邊DC上運動時,。若有PQ//BD,則四邊形DBQP為平行四邊形,即PD=BQ,如圖(1),也即,該方程無解。不存在這們的時刻,使PQ//BD。(3)點P在邊CB上運動時,若為直角三角形,只有如圖(2),此時。ABCABCDPQ當,為直角三角形。(2)運動中變化著的圖形或圖形關系凡屬“特殊圖形”、“特定關系”、“特殊存在”類的問題,大都可通過構造相應的方程來解決。5、借助方程解決某些探索性問題例9如圖,每個正方形點陣均被一直線分成兩個三角形點陣,根據(jù)圖中提供的信息,用含的等式表示第個正方形點陣中的規(guī)律是。 ………….【觀察與思考】不難發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律:第個點陣點的總數(shù)為,被分成的兩部分有關系:下邊部分比上邊部分多個點.如此一來,可用構造方程來確定要求的規(guī)律:設第個正方形點陣分成的兩部分是個點,個點,則解得解:應填:。例10欣賞下列的等式:寫出一個由7個連續(xù)整數(shù)組成,前4個數(shù)的平方和等于后3個數(shù)的平方和的等式為:;【觀察與思考】關鍵是如何既簡練又確切地表示“7個連續(xù)整數(shù)”,考慮到要計算“平方和”,那么最好的方法是,設為整數(shù),則7個連續(xù)整數(shù)表示為:如此一來,可借助方程求出滿足要求的和7個整數(shù)來。設有則即解得解:?!菊f明】某些探索性問題,用方程來解決更準確、更迅速。關鍵是要善于發(fā)現(xiàn)問題有無構造方程的條件,以及如何恰當?shù)貞梅匠獭F鋵?,方程的作用遠不止這些。由上可知,必須確立如下的深刻認識:1、對于求未知數(shù)量值的問題,不管是具有實際背景的,還是純數(shù)學的;不管是代數(shù)方面的,還是幾何圖形方面的;不管是顯性的,還是較為隱含的,第一條思考解決的途徑都應當是考慮“構造方程”和解方程。2、列出方程的關鍵是在深入分析題目情景后捕捉到“事關全局的相等關系”,以它為基礎再具體化為方程。如上的深刻認識和有效的落實,才是“方程思想”的深刻表現(xiàn),才能真正發(fā)揮方程的工具性作用。練習題 1、某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表:購買香蕉數(shù)(千克)不超過20千克20千克以上且不超過40千克40千克以上每千克價格6元5元4元某人共兩次購買50千克香蕉(第二次多于第一次),共付款264元,請問他第一次,第二次分別購買香蕉多少千克?AB人車同向示意圖ABCAB人車同向示意圖ABC人車異向示意圖3、為確保信息安全,信息需要加密偉輸,發(fā)送方將明文加密為密文傳輸給接收方,接收方收到密文后解密還原為明文,已知某種加密規(guī)則為:明文對應的密文為。例如,明文1,2對應的密文是-3,4。那么當接收方收到的密文是1,7時,解密得到的明文是()A、—1,1B、1,3C、3,1D、1,14、直線軸分別交于點A和點B,若直線AB的長度等于,求直線的解析式,并在直角坐標系中畫出它的圖象。5、如圖,在直角梯形ABCD中,AD//BC,,BC=16,DC=12,AD=21。動點P從點D出發(fā),沿射線DA的方向以每秒2個單位長度的速度運動,動點Q從點C出發(fā),在線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動,點P,Q分別從點D,C同時出發(fā),設運動時間為(秒)。(1)當為何值時,以B,P,Q為頂點的三角形為等腰三角形?ADCBPQ(2)是否存在時刻,使得ADCBPQCAB6、如圖,拋物線和軸交于A,B兩點,(點B在點A的右側)。和軸交于點C,在軸上是否存在點P,使以點P,A,O為頂點的三角形與相似?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;CABABCFDE7、如圖在,E,F(xiàn)分別為邊AB,AC上的點,當沿EF將ABCFDEABCDE8、如圖ABCDE9、星期天,小強騎自行車到郊外與同學一起游玩。從家出發(fā)2小時到達目的地,游玩3小時后按原路返回,小強離家4小時40分鐘后,媽媽駕車沿相同路線迎接小強,如圖是他們離家的路程(千米)與時間(時)的函數(shù)圖象。已知小強騎車的速度為15千米/時,媽媽駕車的速度為60千米/時。(時)(千米)(時)(千米)25CDAB(2)媽媽出發(fā)多長時間與小強相遇? 10、根據(jù)以下10個乘積,回答答問題:;;;;;;;;;試將以上各乘積

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