空間圖形的平行關(guān)系

第十一章立體幾何初步第三節(jié)空間圖形的平行關(guān)系

課前自主學(xué)案

知識梳理

1直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示方法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線在平面內(nèi)aα無數(shù)個(gè)直線不在平面內(nèi)直線與平面平行a∥α沒有直線與平面相交直線與平面斜交a∩α=A一個(gè)直線與平面垂直a⊥α

一個(gè)位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行α∥β沒有公共點(diǎn)兩平面相交α∩β=l有一條公共直線2.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系

3直線和平面平行的判定方法類別語言表述圖示字母表示應(yīng)用判定如果一條直線與一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么稱這條直線與這個(gè)平面平行

a∩α=α∥β證直線與平面平行如果面外的一條相交直線平行于該平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線平行于這個(gè)平面如果兩條直線互相垂直，且其中一條直線垂直于一個(gè)平面，第二條不在這個(gè)平面內(nèi)，那么第二條直線平行于這個(gè)平面4兩個(gè)平面平行的判定類別語言表述圖示字母表示應(yīng)用判定如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行證直線與平面平行如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行

垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行

5直線和平面平行的性質(zhì)類別語言表述圖示字母表示應(yīng)用判定如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行證直線與平面平行6兩個(gè)平面平行的性質(zhì)類別語言表述圖示字母表示應(yīng)用判定如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面證直線和平面平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面證直線和平面垂直基礎(chǔ)自測

1.(2010年廣州調(diào)研)已知α，β是平面，m，n是直線，給出下列命題：①若m⊥α,

mβ,則α⊥β．②若mα,

nα,

m∥β,

n∥β,則α∥β．③如果mα,nα,m、n是異面直線,那么n與α相交．④若α∩β=m,

n∥m,且nα,nβ,則n∥α且n∥β．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.4B.3C.2D.1C2.已知α,β是平面，m,n是直線，則下列命題中不正確的是（）A.若m∥n,m⊥α,則n⊥αB.若m∥α,α∩β=n,則m∥nC.若m⊥α,m⊥β,則α∥βD.若m⊥α,mβ,則α⊥βB3．設(shè)平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且AS=8，BS=9，CD=34，①當(dāng)S在α、β之間時(shí)，SC=

；②當(dāng)S不在α、β之間時(shí)，SC=

.解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272.答案：①16②2724.a、b、ｃ為三條不重合的直線，α、β、γ為三個(gè)不重合的平面，直線均不在平面內(nèi)，給出六個(gè)命題：②③④⑤⑥①其中正確的命題是

①④⑤⑥

.（將正確的序號都填上）課堂互動(dòng)探究

直線與平面平行的證明如右腹圖所翁示，襲兩個(gè)悉全等可的正曬方形AB炭CD和AB匯EF所在江的平圾面交看于AB，M∈AC，N∈FB，且AM赴=F大N求證冊：MN∥平面BC這E.證明川：法顫一：饞利用響線面琴平行喚的判槍定定銹理來頑證如上親圖所龍示，眼過M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂譜足，浙連結(jié)PQ，∵M(jìn)P∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ，又NQ邀=規(guī)B手N=總CM豪=M拉P，∴MP立QN是平贏行四蜜邊形.∴MN∥PQ，又PQ平面BC顧E，而MN平面BC貍E，∴MN∥平面BC混E.∴MG∥平面BCE，又∴GN∥AF∥BE，同樣可證明GN∥平面BCE，而MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE，MN平面MNG，∴MN∥平面BCE.點(diǎn)評：證明直線和平面的平行通常采用如下兩種方法：①利用直線和平面平行的判定定理，通過“線線”平行，證得“線面”平行；②利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過“面面”平行，證得“線面”平行.

法二：利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過“面面”平行，證得“線面”平行.過M作MG∥BC，交AB于G（如右圖），連結(jié)NG，∵M(jìn)G∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，變式探究

1.如右杯圖所潛示，黎正方筑體AB隔CD麥-A1B1C1D1中，搬側(cè)面將對角描線AB1、BC1上分死別有獨(dú)兩點(diǎn)E、F，且B1E=罰C1F.求證材：EF∥平面AB盾CD批.法一共：分迷別過E、F作EM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BC于點(diǎn)N，連娛結(jié)MN伏.∵BB1⊥平面AB糧CD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC栽.∴EM∥BB1，F(xiàn)N∥BB1.∴EM∥FN恢.又B1E=杠C1F，∴EM耕=F川N.故四匯邊形MN燦FE是平溜行四巧邊形.∴EF∥MN簽.又MN在平緩面AB泥CD中，∴EF∥平面AB掠CD幼.證明透：∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴法二惜：過E作EG景∥A隊(duì)B交BB1于點(diǎn)G，連絲式結(jié)GF，則∴FG究∥B1C1∥B晝C.昌又∵EG縣∩F悉G=狀G，AB吐∩B棟C=肚B，∴平兄面EF做G∥平面AB夕CD甚.而EF在平崗面EF漏G中，梳∴EF鄭∥平面AB倉CD灰.直線與平面平行的性質(zhì)應(yīng)用

如右研圖所條示,已知冒點(diǎn)P是三騙角形AB濕C所在朱平面腿外一銅點(diǎn),且PA現(xiàn)=B驗(yàn)C=燙1,截面EF脫GH分別蜘平行模于PA怕,B障C(點(diǎn)E,琴F,否G,職H分別減在棱AB穩(wěn),A喘C,邊PC傲,P磁B上)(1澤)求證:四邊柿形EF烈GH是平伯行四賽邊形滑且周介長為亭定值.(2屢)設(shè)PA與BC所成膝的角績?yōu)棣?求四絕邊形EF劫GH的面續(xù)積的肆最大眠值.分析灣：本勞題已及知線換面平蹤蝶行關(guān)軍系，嗎可聯(lián)賤想線衰面平轎行的段性質(zhì)浙定理.解析派：(1倆)證明氧：∵PA∥平面EF方GH園,平面PA響B(tài)∩平面EF加GH親=H詠E,平面PA覆C∩平面EF扒GH窗=G死F∴HE∥PA∥GF肚,同理HG∥BC∥EF，∴四海邊形EF丘GH是平捏行四零邊形.設(shè)EH喘=x孝(0魂<x苗<1疲),則,∴周長=2(EH+HG)=2(x+1-x)=2為定值.(2)由(1)知,設(shè)EH=x(0<x<1),則有EF=HG=1-x,又∵PA∥HE,BC∥EF∠HEF(或補(bǔ)角)是PA與BC所成的角，∴SEFGH=HE×EF×sin∠HEF=x(1-x)sinθ=sinθ[-(x-)2]∴當(dāng)x=,即E,F,G,H為所在邊中點(diǎn)時(shí),四邊形EFGH的面積有最大值sinθ.

∴變式探究

點(diǎn)評渡：（1）欲銀證線受面平碎行，惰先證攪線線悉平行串，欲存證線共線平洗行，計(jì)可先迎證線燒面平暈行，耗反復(fù)并用直屆線與踩平面爸平行到的判姿定、企性質(zhì)什，在年同一謙題中洽也經(jīng)嬌常用社到;（2）立青體幾武何中屢的最玻值問肅題往框往要春借助未函數(shù)姓來求士解.2.如右火圖所淹示，州四面置體A—BC播D被一哭平面士所截漫，截希面EF互GH是一壇個(gè)矩百形.(1廣)求證貸：CD∥平面EF鹿GH去.(2艱)求異梁面直斃線AB，CD所成眾的角.(3挪)若AB＝a，CD凡=b，求撈截面EF扇GH面積即的最渡大值.蘿2.解析邁：（1）證位明：慈∵截產(chǎn)面EF肥GH是一盛個(gè)矩港形，賭∴EF∥GH，又GH平面BC辯D.∴EF∥面BC是D，而EF面AC訴D，面AC境D∩面BC付D=浪CD賀.∴EF∥CD，∴CD∥平面EF糞GH近.（2）由染（1）知CD∥EF，同憑理AB∥FG，由果異面逝直線炒所成洪角的籃定義炎知∠EF壞G即為挨所求戲的角.易得顧∠EF丸G=逃90°.（3）SEF堡GH=ab正方室體AB腫CD-A1B1C1D1中．(1勸)求證暢：平批面A1BD∥平面B1D1C；(2滿)若E、F分別為是AA巷1，CC1的中慰點(diǎn)，遣求證羅：平信面EB1D1∥平面FB新D．面面平行的證明

分析川：要零證“巨面面桑平行捷”只默要證床“線裹面平尤行”廣，要驗(yàn)證“可線面霉平行印”，蹄只要龜證“頑線線運(yùn)平行格”，釣故問焦題最虹終轉(zhuǎn)喬化為稻證線毛與線犧的平芒行．證明遠(yuǎn)：(1彩)在正偏方體掃中，陽由B1B∥DD1得，魂四邊牲形BB1D1D是平麻行四歸邊形尾，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴云平面A1BD∥平面B1CD．(2共)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．如雪右圖亞所示湊，取BB1中點(diǎn)G，∴AE野B1G．從廣而四究邊形AE粉B1G為平遣行四曬邊形喊，從累而得B1E∥AG，同治理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面E臭B1D1．又BD∩DF洲=D∴平面E醫(yī)B1D1∥平面FB酸D．變式探究

3.如右斥圖所堡示，監(jiān)在正航方體AB挪CD-A1B1C1D1中，M、N、P分別姥是C1C、B1C1、C1D1的中夏點(diǎn).求證反：（1）AP⊥MN；（2）平信面MN吧P∥平面A1BD謝.證明熊：（1）連投結(jié)BC1、B1C，則B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的俯射影.∴AP⊥B1C.又B1C∥MN，∴AP⊥MN匹.（2）連析結(jié)B1D1，∵P、N分別到是D1C1、B1C1的中愈點(diǎn)，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD洽.又PN不在焰平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD感.同理廳，MN∥平面A1BD洪.又PN∩MN腸=N，∴平悅面PM暮N∥平面A1BD犧.面面平行的性質(zhì)

如右狼圖所吳示，墨平面α∥平面β，線令段GH與α、β分別鉤交于A、B，線殖段HF與α、β分別形交于F、E，線石段GD與α、β分別繩交于C、D，且GA括=9，AB筐=1外2，BH輔=1動(dòng)6，S△AC點(diǎn)F=7魄2.求△BD男E的面猾積.解析杏：因釘為α∥荒β，所攔以AC∥BD，AF∥BE婆.所以秩∠FA乳C與∠EB評D相等岡或互獸補(bǔ).因?yàn)锳C∥BD丟,故△GA蜻C∽△GB獅D,同理投△HE禮B∽絹△H瓜FA，變式探究

4.如右代圖所扎示，糾已知α∥平面β∥平面γ，且β位于α與γ之間.點(diǎn)A、D∈α，C、F∈γ,A態(tài)C∩β=B，DF∩β=E岔.(1難)求證教：(2謀)設(shè)AF交β于M，AD與CF不平啟行，α與β間距棚離為h′，α與γ間距襪離為h,當(dāng)臣的葡值是析多少秤時(shí)，S△B繭EM的面辟積最兆大？睡跟解析貝：(1鑰)∵當(dāng)β∥夫γ,平面AC拿F分別腿交β、γ于BM、CF，∴BM∥CF,∴據(jù)題逆意知群，AD與CF異面賴，只遠(yuǎn)是β在α、γ間變堵化位示置，殿故CF、AD是常悼量，si墨n∠BM拋E是AD與CF所成丸角的脾正弦云值，略也是辨常量院，令h′愉∶h=x只要帆考查芒函數(shù)y=鐘x(緒1-腥x)的最沿值，林顯然擦當(dāng)y=尤-x2+x有最曬大值.即β在α、γ兩平嬌面的遠(yuǎn)中間景時(shí)△BE枯M面積盛最大.溫馨提示

1.直線往與平羅面的住位置夢關(guān)系鋼有三拉種：族直線球在平璃面內(nèi)淺、直姐線與盲平面閣相交溜、直唱線與懶平面津平行匠，后阻面兩紛種又睡統(tǒng)稱艱為直刮線在蛋平面嘆外.2.證明溫線面金平行伯是高萌考中看常見智的問陣題，釣常用昂的方亦法就研是證賊明這傾條線百與平白面內(nèi)磨的某館條直型線平稿行.3.在判壩定和般證明棗直線鉗與平綠面的用位置兄關(guān)系型時(shí),除熟信練運(yùn)藝用判光定定懂理和薪性質(zhì)禿定理鍵外,切不妻可丟掠棄定趣義,因?yàn)閼?yīng)定義粱既可士作判焦定定拐理使筐用,亦可復(fù)作性迅質(zhì)定恢理使攀用；4.輔助獻(xiàn)線（綁面）殲是解梳（證危）線墓面平襪行的注關(guān)鍵.為了轉(zhuǎn)能利循用線繞面平校行的鳳判定鮮定理勿及性收質(zhì)定季理，說往往述需要據(jù)作輔那助線喬（面慈）.5.欲證捎線面提平行畢，先沫證線吉線平僅行，搞欲證溪線線商平行奮，可盼先證棚線面肥平行史，反拖復(fù)用剖直線斗與平塊面平族行的那判定氏、性怠質(zhì)定余理，臘在同礎(chǔ)一題悶中也后經(jīng)常印用到.6.證明餃面面零平行規(guī)的主摔要方床法:①利用暗定義;②利用默判定友定理.另外躬證面惕面平撐行還炒可利拴用“酷垂直絮于同扒一條枕直線擠的兩流個(gè)平購面互起相平啟行”向來證.7.空間度平行泄關(guān)系遺之間農(nóng)的轉(zhuǎn)餃化（旁這也點(diǎn)是立盛體幾離何中癢證明披平行尊關(guān)系么常用系的思疊路.）題型展示臺(tái)

解析謠：(1盟)連AN并延鹽長和BC交于E點(diǎn)，此則EN∶NA說=B業(yè)N∶ND陜,∴,∴MN∥PE連,而MN平面PB級C,錫PE面PB尋C，∴MN∥平面PB革C.(2撈)由余棚弦定贊理求勻得PE2=P政B2+B豪E2-2懇PB·EB撞co韻s糠60°.代入福數(shù)值達(dá)計(jì)算粗得PE訪=濁,∴MN握=眼PE動(dòng)=7惰.已知嘉正方襖形AB荷CD的邊曬長是13，平耗面AB損CD外一敞點(diǎn)P到正鼻方形扣各頂議點(diǎn)的為距離瓦都為13，M、N分別違是PA、BD上的話點(diǎn)且PM∶MA掃=B池N∶ND參=5∶8，如冶右圖餡所示.(1籃)求證藍(lán)：直星線MN∥平面PB那C；(2椒)求線崇段MN的長.如下狹的三牛個(gè)圖堂中，丹左面折的是惜一個(gè)艘長方印體截終去一相個(gè)角才所得猴多面躬體的比直觀勢圖，趣它的涂正視弊圖和幣側(cè)視半圖在塵下面方畫出收（單亡位：cm）.（1）在管正視寫圖下識面，慶按照腦畫三界視圖臨的要改求畫撥出該盤多面顫體的浩俯視債圖；（2）按面照給駐出的匯尺寸苗，求任該多廢面體賞的體旺積；（3）在顫所給露直觀澇圖中躺連結(jié)BC′，證搖明：BC′∥面EF農(nóng)G.分析賠：長方竭體的傳有關(guān)止知識都、體么積計(jì)假算及員三視蠶圖的貧相關(guān)粉知識.解析葬：（1）如右諸上圖（2）所桶求多菊面體溫的體強(qiáng)積V=消V長方存體-V正三物棱錐=4×4×6-×(×2×2)×2=束(卷cm3).（3）證團(tuán)明：京如右休下圖雅，在船長方馬體AB勵(lì)CD情-A截′B先′C撲′D靈′中，布連接AD勝′，則AD攻′∥跪BC葉′;因?yàn)闀儯?，籃Ｇ分故別為AA羞′,繞A′陰D′中點(diǎn)抓，所捆以AD限′∥冬EG，從殺而EG塑∥B獵C′，又BC汁′平面EF擠G,所以BC貿(mào)′∥平面EF雞G.結(jié)題型訓(xùn)練

1.設(shè)m，n是平