廣東省深圳市七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義 第12講 與相交有關(guān)概念及平行線(xiàn)的判定

QRQR第12講

與相交有關(guān)概及平行線(xiàn)的判定考點(diǎn)·方法·破譯1．了解在平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)的種位置關(guān)系：相交與平.2．掌握對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂直平行、內(nèi)錯(cuò)角、中旁?xún)?nèi)角的定義，并能用圖形或幾何符號(hào)表示它.3．掌握直線(xiàn)平行的條件，并能據(jù)直線(xiàn)平行的條件說(shuō)明兩條直線(xiàn)的位置關(guān).經(jīng)典·考題·賞析【例1】如圖，三條直線(xiàn)、CD、EF相于點(diǎn)，一共構(gòu)成哪幾對(duì)對(duì)頂角？一共構(gòu)成哪幾對(duì)鄰補(bǔ)角？【解法指導(dǎo)】

A

E

D⑴對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角是兩條直線(xiàn)所形成的圖.⑵對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)且一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng).⑶鄰補(bǔ)角：兩個(gè)角有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)有6對(duì)對(duì)頂角

C

F

B12對(duì)補(bǔ).【變式題組】01．右圖所示，直線(xiàn)、CD、EF相交于P、Q，：⑴∠的頂角是.鄰補(bǔ)角是.⑵中有幾對(duì)對(duì)頂角，幾對(duì)鄰補(bǔ)角？02．兩條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)時(shí)，有2對(duì)頂角；

CPAB當(dāng)三條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)時(shí)，共有對(duì)頂角；

F

D當(dāng)四條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)時(shí)，共有12對(duì)對(duì)頂角.問(wèn)：當(dāng)有100條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)時(shí)共有對(duì).【例２如圖所示，點(diǎn)是線(xiàn)AB上點(diǎn)OF分平分∠、∠．⑴求∠的度數(shù)；⑵寫(xiě)出的余角及補(bǔ).【解法指導(dǎo)】解這類(lèi)求角大小的題，要根據(jù)所涉及的角的

F

C

E定義，以及各角的數(shù)量關(guān)系，把它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)式從而求解；1【解】⑴∵、OF平∠、∠∴∠EOC∠2

A，∠＝

11∠AOC∴∠EOF＝＋∠＝22

∠111＋∠AOC＝BOC又∠＋∠AOC＝°∴EOF×222180°＝90°⑵的角是：、；∠的補(bǔ)角是：∠AOE【變式題組】01．圖，已知直線(xiàn)、相于點(diǎn)，OA平，EOC＝100°則BOD的度數(shù)是（）A．20．40C．°．80

E

D

AAC

（第1題）（第2題）02州已知∠＝∠＝∠362，則∠＝.【例３如圖，直線(xiàn)l、相交于點(diǎn)O，、B分是ll上點(diǎn)，試用三角尺完成下列作圖：⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)l的線(xiàn)

A⑵畫(huà)出表示點(diǎn)B到直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段【解法指導(dǎo)】垂線(xiàn)是一條直線(xiàn)，線(xiàn)段是一條線(xiàn).【變式題組】

B

O

l201．直線(xiàn)l外點(diǎn)，、B、是線(xiàn)l上三點(diǎn)，且PA＝＝＝則P到直線(xiàn)l的離為（）A．．5不大于D不小于

l102如，一輛汽車(chē)在直線(xiàn)形的公路上A向B行，MN為于公路兩側(cè)的村莊；⑴設(shè)汽車(chē)行駛到路AB上的置時(shí)距離村M最行駛到AB上的置時(shí)，距離村莊N近，請(qǐng)?jiān)趫D中的公路上分別畫(huà)出點(diǎn)、的位.⑵當(dāng)汽車(chē)從A出發(fā)向行的過(guò)程中，在的路上距離M村來(lái)越近.在的路上距離村莊N越越近，而距離村Ｍ越來(lái)越遠(yuǎn).【例４如圖，直線(xiàn)、相交于點(diǎn)，⊥CD⊥AB，∠＝°求∠和∠的度數(shù)【解法指導(dǎo)】圖形的定義現(xiàn)可以為判定圖形的依據(jù)，也可以作為該圖形具備的性質(zhì)，由圖可得：AOF＝

E

D90°，OF

A

O

B【解⊥CDOFAB∴∠FOB∠＝90°（垂直定義）∴BOE＝FOD＝90°－＝65∴∠DOB25°∴∠＝∠＝°對(duì)頂角相等）

C

F

【變式題組】01．圖，若EOAB于O，直線(xiàn)點(diǎn)，︰∠EOB︰，求AOC的度數(shù)

EDOB

AC02．圖為線(xiàn)AB上點(diǎn)，∠＝∠，分．⑴求∠的度數(shù)；⑵試說(shuō)明OD與AB的置關(guān).

D

CB

O

A03．圖，已知AB⊥于B，⊥于B，并且︰∠＝︰，作出CBE的對(duì)頂角，并求其度.

ABDAE【例５如圖指出下列各組角哪兩條直線(xiàn)被哪一條直線(xiàn)所截而得到的說(shuō)它們的名稱(chēng)：∠和∠2：是AB、被直線(xiàn)CD所截而得到的，一組同位角

F

C∠和∠3：是AB、被線(xiàn)CD所而得到的，一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角

∠和∠6：是、CD被線(xiàn)所而得到的，一對(duì)同旁?xún)?nèi)角∠和∠6：是EF被線(xiàn)所而得到的，一對(duì)同位角∠和∠4：是EFAB被線(xiàn)所而得到的，一對(duì)同旁角

3

B∠和∠5：是EF被線(xiàn)所而得到的，一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角∠和∠4：是AB、被線(xiàn)所而得到的，一對(duì)同旁?xún)?nèi)角

D

E【解法指導(dǎo)正辯認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的思路是：首先弄清所判斷的是哪兩個(gè)角其次是找到這兩個(gè)角公共所在的直線(xiàn)即截線(xiàn)余條邊所在的直線(xiàn)就是被截的兩條直線(xiàn)，最后確定它們的名稱(chēng).【變式題組】01．圖，平行直線(xiàn)AB、與交直線(xiàn)EFGH相，圖中的同旁

E

Ｇ內(nèi)角共有（）A．對(duì)．8對(duì)．對(duì)D．16對(duì)

ABCDH

F

02．圖，找出圖中標(biāo)出的各角同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi).

7

甲

乙

丙

A03．圖，按各組角的位置判斷誤的是（）A．∠∠是旁?xún)?nèi)角B．∠∠是錯(cuò)角

C．5和∠6是旁?xún)?nèi)角D．和∠7是同旁?xún)?nèi)角

B

C【例６如圖，根據(jù)下列條件，可推得哪兩條直線(xiàn)平行？并說(shuō)明理由?⑴∠＝；⑵∠＋＝180°⑶∠＝BAC

A

D【解法指導(dǎo)】圖中有即即有同旁?xún)?nèi)

OB

C角，有“”有內(nèi)錯(cuò).【解法指導(dǎo)】⑴由∠＝ADB，可推得AD；根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平⑵由∠＋∠ADC＝180，可推得∥；根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平.⑶由∠＝∠可推得∥DC根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平.【變式題組】01．圖，推理填.⑴∵∠A＝∠（知）

A∴∥ED（）

F⑵∵∠∠（已知）∴∥ED（）

E⑶∵∠A＝∠（知）∴ABDF（）

B

D

C02．圖分∠BAC，平，且1＝∠，試說(shuō)明的置關(guān)系解：∵∠BAC平分線(xiàn)（已知）∴∠BAC∠1角平分線(xiàn)定義）又∵平∠（已知∴（）又∵∠＝∠2（已知）∴（）

A

E∴AB（）B

DF

C

03．圖，已知E平∠CAB平∠∠CAE＋∠ACE＝90°，求證∥CD．ABECD04．圖，已知＝∠，BE分∠ABCCD平分∠ACB∠＝∠，證CD∥.AD

EB

CF【例７如圖⑴，平面內(nèi)有六條兩兩不平行的直線(xiàn)，試證：在所有的交角中，至少有一個(gè)角小于31°

l4

l3

l5

l4

l3l6

l5

l2

l6

l2l1

l1圖⑴

圖⑵【解法指導(dǎo)如⑵我可以將所有的直線(xiàn)移動(dòng)后它們相交于同一點(diǎn)，此時(shí)的圖形為圖⑵證明：假設(shè)圖⑵中的12個(gè)中每一個(gè)角都不小于31則12×°°360°這與一周角等于360°盾所以這12個(gè)角中至少有一個(gè)角于31【變式題組】01．面內(nèi)有18條兩不平行直線(xiàn)，試證：在所有的交角中至少有一個(gè)角小于11°.02．同一平面內(nèi)有2010條直,,…，,如⊥,a∥，⊥，∥…12201012245那么與的位置關(guān)系是.1201003．知（n＞）點(diǎn)，，P…Pn在同一平面內(nèi)沒(méi)有任何三在同一直線(xiàn)上，設(shè)12

n表示過(guò)這幾個(gè)點(diǎn)中的任意兩個(gè)點(diǎn)所作的所有直線(xiàn)的條數(shù)，顯然＝，＝，＝，23∴＝…則＝.5演練鞏固·反饋提高

FNFFNF01．圖，∠EAC＝∠ADB90°下列說(shuō)法正確的是（）A．余角只有∠B．鄰補(bǔ)角是C．ACF是余角D．與ACF互補(bǔ)A

E

A

E

Aα

M

BB

CDD第圖第圖

BDC第圖02．圖，已知直線(xiàn)ABCD被線(xiàn)所，則∠EMB同位角為（）A．∠．∠．∠D．∠END03．列語(yǔ)句中正確的是（）A．在同一平面內(nèi)，一條直線(xiàn)只有一條垂線(xiàn)B．過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)的直線(xiàn)只有一條C．直線(xiàn)上一點(diǎn)且垂直于這條直線(xiàn)的直線(xiàn)有且只有一條D．線(xiàn)就是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離04．圖，∠BAC＝90°，ADBC于，則下列結(jié)論中，正的個(gè)數(shù)有（）①ABACAD與互垂直③點(diǎn)到的線(xiàn)段是線(xiàn)段AB④段長(zhǎng)度是點(diǎn)到AC的距離⑤垂線(xiàn)段BA是B到的離⑥AD＞BDA．BC．D．05．、、C是線(xiàn)l上三點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)l外一點(diǎn)，且＝，＝，＝6cm則點(diǎn)P到線(xiàn)l的離是（）A．．5C．小于D．不大406一直角三角板按圖所示方法旋角頂點(diǎn)重合AOB＋∠DOC.cD

C

B

A

E

D

B

G

FC

A

O

H第6題圖

第7題

第9題圖07．圖，矩形沿EF對(duì)，且DEF72，則＝.08．同一平面內(nèi)，若直線(xiàn)a,aa∥a4…a

.（與不合）09．圖所示，直線(xiàn)a被直線(xiàn)c所，現(xiàn)給出下列四個(gè)條件：①1＝∠5，②∠1＝∠，③∠2＋∠3＝180°④4＝，其中能判斷∥b的件的序號(hào)是.10．同一平面內(nèi)兩條直線(xiàn)的位關(guān)系有.11．圖，已知平分∠ABD，DE平CDB且＝∠ABE＋∠試明∥CDA

B12．圖，已知BE平分∠ABCCF平∠BCD∠＝∠2，那么直線(xiàn)AB與CD的位置關(guān)系如何？

ECD

A

BEC

FD13．圖，推理填空：⑴∵∠A＝（知

A∴∥ED（）⑵∵∠＝（知）

E

F∴∥ED（）⑶∵∠A＋＝°已知）∴ABFD14．圖，請(qǐng)你填上一個(gè)適當(dāng)?shù)募?/p>

B使AD．

D第13題圖

CFEA

DB

第14題

C培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01．面圖上互不重合的三條直的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A．，．0，1．，，3D．，12，02．面上有10條線(xiàn)，其中4條是互相平行的，那么這10條線(xiàn)最多能把平面分成（）分

DA．60．C．50D4503．面上有六個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)都成一條直線(xiàn)，問(wèn)除了原來(lái)個(gè)點(diǎn)之外，這些直線(xiàn)最多還有（）交.A．35．C．45D．5504．如圖，圖上有6個(gè)點(diǎn)，作兩兩連時(shí)，內(nèi)最多有

AC

EF__________________交點(diǎn)05．圖是某施工隊(duì)一張破損的紙，已一個(gè)角的兩邊，

B現(xiàn)在要在圖紙上畫(huà)一條與這個(gè)角的平分線(xiàn)平行的直線(xiàn)你助這個(gè)施工隊(duì)畫(huà)出這條平行線(xiàn)，并證明你的正確性.b06平上三條直線(xiàn)相互間的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)（）A．B．1或3．1或或3D