2023學年完整公開課版余弦定理

2.余弦定理∵a－b＝c，∴(a－b)·(a－b)＝c·c，∴|a|2

＋|b|2

－2a·b＝|c|2,即c2=a2＋b2－2abcosC.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC;b2=c2＋a2－2cacosB;a2=b2＋c2－2bccosA.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.b2＋c2－a22bccosA＝c2＋a2－b22cacosB＝a2＋b2－c22abcosC＝;;.

利用余弦定理，可以解決：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊及夾角，求第三邊和其他兩個角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.a2＋b2－c22abcosC＝例1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，

c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°,∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinA

a()例2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解這個三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinC

c∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()例3已知四邊形ABCD的四邊長為AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.練習ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，則c＝_____；√1314.6°（2）a=2,

b=3,

c=4,則C=______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，則A＝______.小結(jié)1.余弦定理是解三角形的又一重要工具c2=a2＋b2－2abcosC;b2=c2＋a2－2cacosB;a2=b2＋c2－2bccosA;b2＋c2－a22bccosA＝c2＋a2－b22cacosB＝a2＋b2－c22abcosC＝2.余弦定理可解以下兩種類型的三角形：（1）已知三邊；（2）已知兩邊及夾角.;;.解：在AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°＝61,∴|a–b|＝√61.例3：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O∴a＋b＝√21.∴∠COA即a＋b與a的夾角約為49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b例3：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O在OAC中，∵|a+b|