平方根知識點講解(含例題)

1■算術(shù)平方根（1）定義一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即X2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的（2） 表示方法a的算術(shù)平方根記為 ，讀作“根號a”，a叫被開方數(shù).（3） 算術(shù)平方根的性質(zhì)正數(shù)a的算術(shù)平方根為y’a；0的算術(shù)平方根是0,即€0= ;負(fù)數(shù) 算術(shù)平方根.算術(shù)平方根ja具有雙重非負(fù)性：被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即a>o；算術(shù)平方根ya本身是非負(fù)數(shù)，即ja>0.2■平方根（1） 平方根的概念一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a，那么這個數(shù)x叫做a的 或二次方根.【注意】在這里，a是x的平方數(shù)，它的值是正數(shù)或零，因為任何數(shù)的平方都不可能是負(fù)數(shù)，即a>0.（2） 平方根的性質(zhì)一個正數(shù)a有 個平方根，其中一個是“\萬”，另一個為“-斯”，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根.（3） 開平方的概念求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做 .（4） 利用平方根的定義解方程將各式轉(zhuǎn)化為等號的左邊是含x的一個式子的平方式，右邊是一個非負(fù)數(shù)的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m>0），然后利用平方根的定義得到x=±.'；m或ax+b=±、］m，進(jìn)而得到原方程的解．3■平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別（1）定義不同；（2）個數(shù)不同，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，而一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個；（3） 表示方法不同，正數(shù)a的平方根表示為程，正數(shù)a的算術(shù)平方根表示\：'匚；（4） 取值范圍不同，正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)，正數(shù)的平方根為一正一負(fù)．K知識參考答案：1.（1）算術(shù)平方根（2）訂方（3）0,沒有2.（1）平方根（2）兩（3）開平方K—重點算術(shù)平方根的概念及表示方法K—難點平方根的概念及其性質(zhì)K—易錯混淆平方根和算術(shù)平方根一、求平方根和算術(shù)平方根若求一個算式的算術(shù)平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算術(shù)平方根，有時也可通過簡單的變形化成一個正數(shù)的平方的形式，從而提高運算的速度和準(zhǔn)確率.【例1】9的算術(shù)平方根是A.命 B.-3 C.±3 D.3【答案】D【解析】???32=9,???9的算數(shù)平方根是3,故選D.【例2】（-2）2的算術(shù)平方根是A.2 B.±2 C.-2 D.【答案】A【解析】???（-2）2=4,4的算術(shù)平方根是2,???（-2）2的算術(shù)平方根是2,故選A.【名師點睛】求一個式子的算術(shù)平方根時，先把這個式子化簡，再按算術(shù)平方根的定義求化簡所得數(shù)的算術(shù)平方根即可．【例3】25的平方根是A.5 B.-5 C.± D.±5【答案】D【解析】???(±5)2=25,???25的平方根為±5,故選D.【例4】設(shè)a-3是一個數(shù)的算術(shù)平方根，那么A.a>0 B.a>0 C.a>3 D.a>3【答案】D【解析】???a-3是一個數(shù)的算術(shù)平方根，???a-3>0，解得a>3，故選D.【名師點睛】本題考查的是算術(shù)平方根的“非負(fù)性”，即非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根P’a>0【例5】下列說法正確的是-二是2的一個平方根-4的算術(shù)平方根是2J的平方根是±20沒有平方根A.①②③ B.①④ C.①③ D.②③④【答案】C【解析】①-是2的一個平方根，正確；②-4沒有算術(shù)平方根，錯誤；J⑴的平方根是±2,正確；④0有平方根，是0,錯誤；故選C.【例6】求下列各式的值：(1)*144；(2)-208!；(3)土；(4)J562.196【解析】(1)^頁二丄.(2)-J08T=-0.9.+亙+11<196 14(4)品2=56.二、算術(shù)平方根非負(fù)性的應(yīng)用常用的三類非負(fù)性的表示形式：絕對值、偶次冪、算術(shù)平方根，當(dāng)幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，則每一個非負(fù)數(shù)均為0，這一結(jié)論在解答許多數(shù)學(xué)問題中起著關(guān)鍵的作用．【例7】當(dāng)式子J2a+1的值取最小值時，a的取值為1A.0 B.— C.-1 D.12【答案】B【解析】T2a+120,.：當(dāng)式子*：2a+1的值取最小值時，2a+1=0,1.°.a的取值為-.故選B.TOC\o"1-5"\h\z【例8】若實數(shù)x,y滿足訂x-2+（y一％3）2=0，則xy的值為 .【答案】2扛，則xy=273，故答案為2爲(wèi)，則xy=273，故答案為2爲(wèi)【解析】根據(jù)題意得：］ 匚C，解得＜、y-U3=0 〔y【例9】x、y是實數(shù)，寸x+2+p'y—3=0，貝xy= 【答案】-6【解析】由題意可知：x+2=0，y-3=0，.x=-2，y=3,.°.xy=-6，故答案為:-6.三、利用平方根的知識解方程先將方程轉(zhuǎn)化為一個式子的平方等于一個非負(fù)數(shù)的形式，再利用開平方發(fā)求解【例10】求下列各式中的x.121⑴x2=17；⑵x2-跖=0【解析】（1）因為（±￡7）2=17⑵x2-121=049121x2=【例11】求下列各式中x的值：4(x-1)2-16=0；8(2x+1)3-1=0.【解析】(1)4(x-1)2-16=0,4(x-1)2=16，(x-1)2=4，x-1=±2，x=-1或x=3．(2)8(2x+1)2-1=0，8(2x+1)2=1，1(2x+1)2=,82x+1=￡2x=-1匡1x=——211x=——2x=— + —28四、平方根和算術(shù)平方根定義和性質(zhì)的綜合運用若一個數(shù)的平方根是它本身，則這個數(shù)是0；若一個數(shù)的算術(shù)平方根是它本身，則這個數(shù)是0或1．【例12】若一個正數(shù)的算術(shù)平方根是a,則比這個數(shù)大3的正數(shù)的平方根是A.*：°2+3 B.—a2+3 C.土*a2+3 D.±、；a+3【答案】C【解析】根據(jù)一個正數(shù)的算術(shù)平方根是a,則這個正數(shù)為a2,則比這個數(shù)大3的正數(shù)的平方根是±\：'a2+3，故選C.【例13】已知2a-1的平方根是±3,J(-16)2的算術(shù)平方根是b求Ja+b.【解析】T2a-1的平方根是±3,.°.2aT=9,.°.a=5,???$(-16)2的算術(shù)平方根是b且$(—16)2=16,即16的算術(shù)平方根是b,b=4a+b=、：5+4=3.【名師點睛】本題主要考查的是算術(shù)平方根和平方根的定義，由平方根和算術(shù)平方根的定義得到2a-1=9，b=4是解題的關(guān)鍵.【例14】已知