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中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案13.如圖,直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、和點(diǎn).(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為,求四邊形的面積;(3)有兩動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā),其中點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線按→→的路線運(yùn)動(dòng),點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線按→→的路線運(yùn)動(dòng),當(dāng)、兩點(diǎn)相遇時(shí),它們都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)秒時(shí),的面積為S.①請(qǐng)問(wèn)、兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在∥,若存在,請(qǐng)求出此時(shí)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;②請(qǐng)求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;③設(shè)是②中函數(shù)S的最大值,那么=.解:(1)令,則;令則.∴.∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),∴可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為又∵該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn).∴解之,得,.∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為(2)∵=∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)M作MF軸于F∴=∴四邊形AOCM的面積為10(3)①不存在DE∥OC∵若DE∥OC,則點(diǎn)D,E應(yīng)分別在線段OA,CA上,此時(shí),在中,.設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為∴,∴∵,∴∴∵>2,不滿足.∴不存在.②根據(jù)題意得D,E兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為(秒)現(xiàn)分情況討論如下:?。┊?dāng)時(shí),;ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為∴,∴∴ⅲ)當(dāng)2<<時(shí),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為,類似ⅱ可得設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為15.如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),連接OA,將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段OB.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使△BOC的周長(zhǎng)最小?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(4)如果點(diǎn)P是(2)中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且在x軸的下方,那么△PAB是否有最大面積?若有,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,由已知可得:OB=OA=2,∠BOD=60°在Rt△OBD中,∠ODB=90°,∠OBD=30°∴OD=1,DB=∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,)(2)設(shè)所求拋物線的解析式為,由已知可得:解得:∴所求拋物線解析式為(備注:a、b的值各得1分)(3)存在由配方后得:∴拋物線的對(duì)稱軸為(也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出)∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸上,△BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO;∵OB=2,要使△BOC的周長(zhǎng)最小,必須BC+CO最小,∵點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱,有CO=CA△BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO=OB+BC+CA∴當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線,即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí),BC+CA最小,此時(shí)△BOC的周長(zhǎng)最小。設(shè)直線AB的解析式為,則有:解得:∴直線AB的解析式為當(dāng)時(shí),∴所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,)(4)設(shè)P(),則①過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q,PG⊥x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥PQ軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PQ軸于點(diǎn)E,則PQ=,PG=,由題意可得:==
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