第03講相等關(guān)系與不等關(guān)系（解析版）

相等關(guān)系與不等關(guān)系1．實數(shù)大小與運算性質(zhì)之間的關(guān)系a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b．2．等式的性質(zhì)(1)對稱性：若a＝b，則b＝a．(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c．(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c．(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd．3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性a>b?b<a；a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b，b>c?a>c；a<b，b<c?a<c同向可加性a>b?a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N*?an>bn同正可開方性a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)同正考點1比較大小[名師點睛]比較兩個數(shù)(式)大小的方法[典例]1.（2022·湖南·高三周練）若，比較與的大?。窘狻?=,因為，故，，，故，即.2.（2021·江蘇·高三專題復(fù)習(xí)）設(shè)x，y為正數(shù)，比較與的大小.【解】因為為整數(shù)，則且，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以.[舉一反三]1．（2022·重慶·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，，∴又，∴∴，又∴綜上：故選：A2.（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）（多選）若a＞b＞0＞c，則(

)A． B． C． D．【答案】ABD【解析】A：，∵，，，，故A正確；B：，∵，∴，，故B正確；C：時，在單調(diào)遞減，∵，故C錯誤；D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等號取不到，故，故D正確.故選：ABD.3.比較與的大?。窘狻?<.4．已知：、，且，比較的大小.【解】∵、，∴，作商：

（*）(1)若a>b>0，則，a-b>0，，此時成立；(2)若b>a>0，則，a-b<0，，此時成立.綜上，總成立.5．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知，比較與的大小【解】,同理，,從而，即>.考點2不等式的性質(zhì)[名師點睛](1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)．(2)在判斷一個關(guān)于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等．[典例](1)已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是()A．若eq\f(a,b)＞1，則a＞bB．若eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)，則a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)D．若a2＞b2且ab＞0，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)(2)(多選)下列命題為真命題的是()A．若a>b>0，則ac2>bc2B．若a<b<0，則a2>ab>b2C．若a>b>0且c<0，則eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)D．若a>b且eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則ab<0【解析】(1)A中，只有b＞0時正確，故A錯誤；B中，當(dāng)c＜0時，a＜b，故B錯誤；C中，若a3＞b3，ab＜0，則a＞0＞b，所以eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故C正確；D中，當(dāng)a＜0，b＜0時，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)不成立，故D錯誤．綜上所述，故選C.(2)當(dāng)c＝0時，不等式不成立，所以A命題是假命題；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b，,a<0))?a2>ab，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b，,b<0))?ab>b2，所以a2>ab>b2，所以B命題是真命題；a>b>0?a2>b2>0?0<eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，因為c<0，所以eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)，所以C命題是真命題；eq\f(1,a)>eq\f(1,b)?eq\f(1,a)－eq\f(1,b)>0?eq\f(b－a,ab)>0，因為a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命題是真命題，故選BCD.【答案】(1)C(2)BCD[舉一反三]1．（2021·遼寧·東北育才學(xué)校一模）若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式恒成立的是（

）A．< B．a(chǎn)2>b2C．> D．a(chǎn)|c|>b|c|【答案】C【解析】當(dāng)a=1，b=-2時，滿足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性質(zhì)得，C正確；當(dāng)c=0時，a|c|>b|c|不成立，排除D，故選：C2．（2022·安徽黃山·二模（文））設(shè)實數(shù)、滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A：當(dāng)，時不成立，故A錯誤；對于B：當(dāng)，，所以，，即，故C錯誤；對于C：當(dāng)時不成立，故C錯誤；對于D：因為，所以，又，所以（等號成立的條件是），故D正確.故選：D.3．（多選）（2021·福建三明·模擬預(yù)測）已知a，b，c，d均為實數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若a>b，c>d，則a-d>b-c B．若a>b，c>d則ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，則 D．若a>b，c>d>0，則【答案】AC【解析】解：由不等式性質(zhì)逐項分析：A選項：由，故，根據(jù)不等式同向相加的原則，故A正確B選項：若，則，故B錯誤；C選項：，，則，化簡得，故C正確；D選項：，，，則，故D錯誤.故選：AC4．（多選）（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）16世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】解：對于A，由，可得，故A正確；對于B，由，當(dāng)時，可得，故B錯誤；對于C，由，當(dāng)時，可得，，可得，當(dāng)，時，可得，當(dāng)時，，可得，故C正確；對于D，當(dāng)，時，，，故D錯誤．故選：AC．5.設(shè)a>b>0，m>0，n>0，則eq\f(b,a)，eq\f(a,b)，eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(a＋n,b＋n)由小到大的順序是____________________．[答案]eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)<eq\f(a＋n,b＋n)<eq\f(a,b)[解析]∵eq\f(b,a)－eq\f(b＋m,a＋m)＝eq\f(ba＋m－ab＋m,aa＋m)＝eq\f(mb－a,aa＋m)<0，∴eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)<1.∵eq\f(a＋n,b＋n)－eq\f(a,b)＝eq\f(ba＋n－ab＋n,bb＋n)＝eq\f(nb－a,bb＋n)<0，∴1<eq\f(a＋n,b＋n)<eq\f(a,b).∴eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)<eq\f(a＋n,b＋n)<eq\f(a,b).考點3不等式性質(zhì)的應(yīng)用[名師點睛]利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范圍．(1)設(shè)g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p，q；(3)再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范圍．[典例]已知－1<x<4，2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．【解析】因為－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.【答案】(－4，2)(1，18)[舉一反三]1．若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，則c的取值范圍是()A．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)解析：選D.因為eq\f(a,2)≤b≤2a，所以eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a，即eq\f(3a,2)≤c≤3a，因為6<a<10，所以9<c<30.故選D.2.（多選）（2022·山東·模擬預(yù)測）已知實數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【解析】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；因為，所以，則，故C錯誤；因為，所以，則，故D正確.故選：ABD.3.（2022·全國·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知實數(shù)、滿足，，則的取值范圍為___