1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

7.1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念第七章復(fù)數(shù)問題引入對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時沒有實數(shù)根.因此，在研究代數(shù)方程的過程中，如果限于實數(shù)集，有些問題就無法解決.從方程的角度看，負實數(shù)能不能開平方，就是方程x2+a=0(a>0)有沒有解，進而可以歸結(jié)為方程x2+1=0有沒有解.NZQR數(shù)系是一個不斷擴充的過程新知探索復(fù)數(shù)的概念引入新數(shù)i，使得x=i是方程x2＋1＝0的根，即使得i2＝－1.i和實數(shù)之間能夠進行加法和乘法運算，而且加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對加法的分配律.得到的新數(shù)是什么樣的形式呢？①定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.②表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R).新知探索兩個復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.如何定義兩個復(fù)數(shù)相等？新知探索復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)(z=a+bi，a，b∈R)實數(shù)(b=0)虛數(shù)(b≠0)純虛數(shù)(a=0)非純虛數(shù)(a≠0)復(fù)數(shù)集虛數(shù)集實數(shù)集純虛數(shù)集典例精析題型一：復(fù)數(shù)的概念例1

(1)給出下列幾個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1虛部是2i；③2i的實部是0；④若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)；⑤實數(shù)集的補集是虛數(shù)集.其中真命題的個數(shù)為A.0 B.1 C.2

D.3解令z＝i∈C，則i2＝－1<0，故①不正確.②中2i－1的虛部應(yīng)是2，故②不正確.④當(dāng)a＝0時，ai＝0為實數(shù)，故④不正確，∴只有③，⑤正確.(2)已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是________.典例精析題型二：復(fù)數(shù)的分類解

(1)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是∴當(dāng)m≠－3且m≠－2時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是∴當(dāng)m＝3時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).典例精析題型三：兩個復(fù)數(shù)相等例3在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a，b∈R}中的兩個數(shù)2+bi與a-3i相等，則實數(shù)a，b的值分別為 (

)

A.2，3 B.2，-3 C.-2，3 D.-2，-3解由2+bi與a-3i相等，得a=2，b=-3.故實數(shù)a，b的值分別為2，-3.例4

已知x0是關(guān)于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的實根，則m的值是____.跟蹤練習(xí)1.若xi－i2＝y(tǒng)＋2i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi等于A.－2＋i B.2＋iC.1－2i D.1＋2i解

由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，則由題意得1＋xi＝y(tǒng)＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.跟蹤練習(xí)2.若復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數(shù)，則實數(shù)m的值為A.－1 B.2C.1 D.－1或2