第四節(jié)數(shù)列的綜合應用(要點歸納夯實基礎(chǔ)練)

第四節(jié)數(shù)列的綜合應用【要點歸納】分期還款與數(shù)列(1)等額本金還款法：即將本金平均分配到每一期進行償還，每期還款金額＝eq\f(貸款本金,還款期數(shù))＋(貸款本金－已還本金總額)×利率．(2)等額本息還款法：即將本金和利息平均分配到每一期進行償還．每期還款金額＝eq\f(A0r1＋rm,1＋rm－1)，其中A0為貸款時的資金，r為銀行貸款月利率，m為還款總期數(shù)(單位：月)．【夯實基礎(chǔ)練】1．(2022·江西南昌一模)已知數(shù)列的前項和為，，，則(

)A．12 B． C． D．【解析】因為，取，則有，所以是首項、公比都為2的等比數(shù)列，所以.故選：D【答案】D2．(2022?黑龍江省哈三中高三二模)已知數(shù)列的前n項和為，滿足，則()A．4043 B．4042 C．4041 D．4040【解析】由知：為等差數(shù)列，又，，則公差，所以，故，則，可得，而也滿足，所以，則.故選：A【答案】A3．(2022?湖南省百校大聯(lián)考高三(上)聯(lián)考)設(shè)為等差數(shù)列的前項和，且，，則()A．75 B．141 C．7 D．99【解析】因為，所以，所以公差，所以，解得.【答案】B4．(2022?遼寧省大連市第一中學高三(上)期中)等比數(shù)列的前項和為，若，則()A．2 B．-2 C．1 D．-1【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當時，，不合題意；當時，等比數(shù)列前項和公式，依題意.【答案】A5．(2022?四川省成都市石室中學高三一模)已知數(shù)列的前項和為，其中，，，成等差數(shù)列，且(，)，則()A． B． C． D．【解析】(，)，，當時，，當時，，，，成等差數(shù)列，，，解得，(，)，，①；所以時，，②；①②得：，又，，，，數(shù)列是以首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則.故選：B.【答案】B6．(2022?黑龍江省哈六中高三(上)期末)已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的前2021項的和()A． B． C． D．【解析】由整理可得，所以是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，則，所以.故選：D.【答案】D7．(2022?西南四省名校高三第二次大聯(lián)考)數(shù)列的前n項和為，且，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為()A． B．C． D．【解析】當時，，∴，當時，符合上式，∴，∴．當n為奇數(shù)時，，令知，當時，，∴，當n為偶數(shù)時，，令，∴，∴．故選：A．【答案】A8．(2022?四川省成都市第七中學高三(下)開學考試)數(shù)列的前項和為，若，，，則的通項公式為______.【解析】由，得，兩式相減得，又由，，可得，即，故數(shù)列從第二項起為公比為4的等比數(shù)列，則的通項公式為，故答案為：【答案】9．(2022·安徽蕪湖一中一模)已知數(shù)列的通項公式為，其前n項和為Sn，則_________________.【解析】的最小正周期為3，則；；.∴，所以.故答案為：.【答案】10．(2022?江蘇省揚州中學高三(下)開學檢測)如圖所示陰影部分是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正三角形的邊長為4，取正三角形各邊的四等分點，，，作第2個正三角形，然后再取正三角形各邊的四等分點，，，作第3個正三角形，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖陰影部分，設(shè)三角形面積為，后續(xù)各陰影三角形面積依次為，，…，，….則___________，數(shù)列的前項和__________【解析】設(shè)正三角形邊長為，后續(xù)各正三角形邊長依次為，，…，，由題意，，，由于，所以，于是數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故答案為：；【答案】①②11．(2022?廣東省鐵一中學高三(上)期末)已知數(shù)列滿足，的前項的和記為，則______.【解析】，，因此，.故答案為：.【答案】12．(2022?廈門外國語學校高考仿真預測試題)數(shù)列其中在第個1與第個1之間插入個，若該數(shù)列的前2020項的和為7891，則________.【解析】當時，前個1之間共有項，當時，有項，在第63個1的后面在跟的第4個就是第2020項，所以前2020項中含63個1，其余的均為，故該數(shù)列前2020項的和為，解得，故答案為：4【答案】413．(2022?重慶市第八中學高三第五次月考)設(shè)，用表示不小于的最小整數(shù)，例如，，，則稱為向上取整函數(shù).已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且，.則_______________.【解析】當時，，又，；當時，，則，即，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；.故答案為：.【答案】14．(2022?四川省成都市石室中學高三二模)設(shè)，有三個條件：①是2與的等差中項；②，；③．在這三個條件中任選一個，補充在下列問題的橫線上，再作答．(如果選擇多個條件分別作答，那么按第一個解答計分)若數(shù)列的前n項和為，且______．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)選條件①時，由于是2與的等差中項；所以，①當時，解得；當時，②，①②得：，整理得，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；所以(首項符合通項)，所以；選條件②時，由于，；所以：，①，當時，，②，①②得：，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；故(首項符合通項)，所以；選條件③時，因為，所以當時，當時，因為時也滿足，所以(2)若是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故①，②，①②得：；整理得．【答案】(1)(2)15．(2022?西北工業(yè)大學附屬中學高三九模)已知數(shù)列中，，滿足.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；，.(2)由(1)得：，，；令，，則當時，；當時，；，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.【答案】(1)證明見解析；；(2)16．(2022?西北工業(yè)大學附屬中學高三第六次適應性訓練)已知數(shù)列滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】(1)由已知有：所以，，其中，所以數(shù)列為以為首項，公比為的等比數(shù)列.所以，得.(2)由(1)知：，，所以.【答案】(1)(2)17．(2022?遼寧省沈陽市第二中學高三二模)已知等差數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)等比數(shù)列的前項和為，且，再從下面①②③中選取兩個作為條件，求滿足的的最大值.①；②；③.(注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.)【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，則，即，于是得，從而有，所以的通項公式是.(2)選擇①②：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因，，由(1)知，，，而，則，即有，于是得，因，即，而，解得，則，所以滿足的的最大值為10.選擇①③：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因，，由(1)知，則，，由，解得，又，則有，于是得，因，即，而，解得，則，所以滿足的的最大值為10.選擇②③：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因，由(1)知，，則，解得或，而，則有，于是得，因，即，而，解得，則，所以滿足的的最大值為10.【答案】(1)；(2)10.18．(2022?遼寧省名校高三第四次聯(lián)考)已知數(shù)列的前項和為，且，．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，求證：．【解析】(1)∵，∴當n≥2時，∴，∴∴為從第二項開始的等比數(shù)列，公比為q＝3，又，∴，∴(n≥2)，n＝1時也滿足上式，∴)；(2)∵，∴①∴②①－②得，∴∵，∴，∴．【答案】(1)；(2)見解析﹒19．(2022?長春外國語學校高三(下)期初考試)已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和【解析】(1)∵，∴，∴，∴是首項為，公比為3的等比數(shù)列，∴，即.(2)由(1)知，，∴，因為，所以，∴，令，①，②①②得.∴.∴.【答案】(1)證明見解析，(2)20．(2022?河北省衡水中學高三六調(diào))已知數(shù)列滿足：.(1)求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)當時，，當時，，①，②①-②得，，當時，滿足通項公式，，.(2