幾何初步知識教學(xué)要求綜述

幾何初步知識教學(xué)要求綜述數(shù)學(xué)的內(nèi)容不外乎數(shù)與形兩大部分，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容也不例外。新頒布的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》（下稱“新大綱”）對幾何初步知識的教學(xué)作了一些重要的改革，教學(xué)要求更加明確?，F(xiàn)就我個(gè)人的體會，從“歷史的回顧”、“三點(diǎn)重要的改革”以及“具體的教學(xué)要求”三個(gè)方面分別闡述，和廣大老師們共同討論。

一、歷史的回顧

我國對幾何學(xué)的研究有著悠久的歷史，翻開二千多年前已經(jīng)成書的《九章算術(shù)》看一看，書中對許多平面圖形及其面積的求法已有詳細(xì)的記載。首先，它把一些平面圖形稱之為“田”，如方田（指正方形）、直田（指長方形）、圭田（指三角形）、斜田（指梯形）。這里充分說明人們是在一系列測田畝、定四時(shí)的農(nóng)業(yè)活動中，逐步形成一些幾何形體概念的。同時(shí)，書中還記載了三角形的面積是“半廣以乘正從”，這里講的“廣”是指矩形，“正從”是指高，意思是把三角形割補(bǔ)成矩形，取其底長的一半再乘高，便是三角形的面積；再看圓的面積，“半周半徑相乘得積步”，“積步”是當(dāng)時(shí)的面積單位“平方步”，就是說圓周的一半與半徑相乘，用今日的圓面積公式表示，即。至于祖沖之的圓周率，更是早于印度半個(gè)世紀(jì)，早于歐洲一千多年。我國輝煌的幾何學(xué)成就，是我國寶貴的文化遺產(chǎn)之一。

然而，幾何作為一門學(xué)科開設(shè)，在我國基礎(chǔ)教育，尤其是小學(xué)教育中，則是很晚的事了。一直到清政府制定的《奏定學(xué)堂章程》（1903年）中，才明確在小學(xué)設(shè)算術(shù)課，其中有一章和幾何有關(guān)，就是“求積”，內(nèi)容是田畝的算。

解放以后，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，幾何初步知識在小學(xué)算術(shù)中所占的地位也逐步明確。1952年的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》規(guī)定的內(nèi)容是：直線、線段、直角、正方形和長方形（包括面積）、正方體和長方體（包括體積）。1956年的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（修訂草案）》又增加了角、三角形的認(rèn)識及其面積等內(nèi)容。1963年《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》又增加了以下內(nèi)容：垂線和平行線，圓（包括周長與面積），平行四邊形和梯形（包括它們的面積），圓柱、圓錐、棱柱、棱錐（包括它們的面積）；同時(shí)還學(xué)習(xí)一些最簡單的作圖和測量。1963年的大綱是學(xué)習(xí)幾何知識最多的一個(gè)大綱。

經(jīng)過十年動亂后，1978年在調(diào)查研究基礎(chǔ)上，頒布了《全日制十年制學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》，對1963年規(guī)定的內(nèi)容作了調(diào)整，刪去較難的棱柱、棱錐，增加了扇形。現(xiàn)行教學(xué)大綱（指1986年由國家教委正式制訂的《全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》）規(guī)定的內(nèi)容與1978年的相同。

綜上所述，我們可以看到小學(xué)幾何初步知識的內(nèi)容是隨著科技的進(jìn)步和基礎(chǔ)教育的發(fā)展而逐步增加、逐步完善的。因?yàn)閷W(xué)一些幾何知識是適應(yīng)小學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及將來參加生產(chǎn)建設(shè)的需要的，這是一個(gè)方面。而另一方面，還可以看到，幾十年來，我國小學(xué)幾何初步知識的教學(xué)仍始終未能完全突破“以求積為中心”的傳統(tǒng)觀念，忽視了空間觀念的培養(yǎng)，而這個(gè)問題，則在新大綱中得到了較好的解決。

二、

新大綱中的三點(diǎn)改革

（一）

明確小學(xué)幾何初步知識的性質(zhì)——直觀幾何（實(shí)驗(yàn)幾何）。

從幾何發(fā)展的歷史中可以看到，人們對幾何圖形的認(rèn)識首先根據(jù)生活、生活實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，依靠直覺觀察、反復(fù)實(shí)驗(yàn)而形成的（這一點(diǎn)在第一個(gè)問題中已經(jīng)涉及）。很明確，不是靠后來人們整理時(shí)所運(yùn)用的邏輯推理而形成的。再看一下，小學(xué)生的思維又正處在由直觀表象思維為主向抽象邏輯思維為主的過渡階段，他們對幾何圖形的認(rèn)識還相當(dāng)于人類早期認(rèn)識幾何的階段。因此，在小學(xué)階段學(xué)的應(yīng)該屬于直觀幾何，就是要通過他們自己的拼拼擺擺、折折疊疊、量量畫畫等實(shí)際操作，認(rèn)識圖形的某些特性，積累一定的空間觀念。這樣，可以為今后升入中學(xué)逐步學(xué)習(xí)論證幾何作好準(zhǔn)備。這里我想舉一個(gè)例子說明。小學(xué)里學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，總是用“撕角”拼成一個(gè)平角，或是用量角器量出三個(gè)角的度數(shù)，以此說明其內(nèi)角和等于180°。這些方法看來是極為簡單或者說是比較“低級”的，因?yàn)樗臏?zhǔn)確度是有限的。如果采用邏輯證明，便可使人確信無疑。如下：

∠1+∠2+∠3=180°

證明：過A點(diǎn)作BC的平行線DE，

∠1=∠4

∠2=∠5（內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠4+∠3+∠5=180°

所以∠1+∠2+∠3=180°

但是，像上面這種推理方法，小學(xué)生是不能夠接受的，只是通過孩子們自己動手撕撕、拼拼、量量、畫畫，直觀地“證明”或“發(fā)現(xiàn)”它們的關(guān)系，積累比較豐富的感性認(rèn)識，這樣才有可能為將來學(xué)習(xí)論證幾何打下良好的基礎(chǔ)。

為此，新大綱一再指出：“通過直觀學(xué)習(xí)一些幾何初步知識……”，強(qiáng)調(diào)“幾何初步知識的教學(xué)，要充分利用和創(chuàng)造各種條件，引導(dǎo)學(xué)生通過對物體、模型的觀察、測量、拼擺、畫圖、制作、實(shí)驗(yàn)等活動，掌握形體的基本特征和面積、體積的計(jì)算方法，并注意在實(shí)際中應(yīng)用，以利于培養(yǎng)初步的空間觀念。

（二）突破“以求積為中心”的框子，加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng)。

前面已經(jīng)提到1963年的大綱是幾何初步知識學(xué)得最多的，但是即使如此，這一大綱在加強(qiáng)“雙基”的指導(dǎo)思想之下，提出了“以四則計(jì)算為中心”，與其相應(yīng)的幾何初步知識是“以求積為中心”，因此，對空間觀念的培養(yǎng)仍是比較忽視。直到新大綱頒發(fā)前，雖然每個(gè)教學(xué)大綱都談到“初步的空間觀念”，但是什么是空間觀念？應(yīng)該怎樣培養(yǎng)？這些問題都是含糊不清的。每次畢業(yè)考試中有關(guān)幾何的題目，也都是停留于求面積和體積。

新大綱首先回答了什么是空間觀念？空間觀念是在空間知覺基礎(chǔ)上形成起來的，它是形體的大小、形狀及其相互位置關(guān)系在人腦中的表象。新大綱又第一次比較恰當(dāng)而明確地指出了在小學(xué)階段培養(yǎng)初步空間觀念的“標(biāo)高”。這里包括三點(diǎn)要求：一是要求學(xué)生聽到某一圖形的名稱，就能在頭腦中正確地再現(xiàn)它的形象；二是能夠獨(dú)立地看懂所畫出的已學(xué)過的平面及立體圖形，正確掌握它們的名稱；三是能夠在各種圖形或模型中，正確地找出自己所需要的圖形，恰當(dāng)?shù)匕阉鼈兎诸?。最后，新大綱又指出要充分利用各種條件，讓學(xué)生通過各種觀察、實(shí)際操作等活動，獲取和運(yùn)用幾何初步知識，并在運(yùn)用過程中培養(yǎng)初步空間觀念。這樣，既明確了目標(biāo)，又指出了途徑，使初步空間觀念的培養(yǎng)落實(shí)在實(shí)處。

（三）幾何形體的認(rèn)識從低年級起合理安排。

這也是新大綱的一大特點(diǎn)。小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識要由淺入深，空間觀念也靠逐步積累。從一年級起，每一年級都編排一些幾何初步知識，這是符合小學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，又有利于數(shù)形結(jié)合的，同時(shí)，算術(shù)與幾何交替學(xué)習(xí)，動手又動腦，也可更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、具體的教學(xué)要求

新大綱對幾何初步知識教學(xué)的具體要求，仔細(xì)分析起來可分為以下三個(gè)方面：

（一）空間觀念；

（二）求積計(jì)算；

（三）實(shí)際操作技能（指簡單的測量、畫圖等）。

現(xiàn)將各年級的具體教學(xué)要求列表如下：

要求

空

間

觀

念

求

積

計(jì)

算

實(shí)際操作技能

年級

一年級

直觀認(rèn)識長方形、正方形、三角形和圓。（有知識點(diǎn)，但不提教學(xué)要求）

直觀認(rèn)識長方體、正方體、圓柱和球。（有知識點(diǎn)，但不提教學(xué)要求）

初步認(rèn)識直線和線段。

會量線段的長度（限整厘米）。

二年級

初步認(rèn)識角和直角，知道角的各部分名稱。

初步掌握長方形、正方形的特征，知道周長的含義。

直觀認(rèn)識平行四邊形。

會計(jì)算長方形和正方形的周長。

會用三角板判斷直角和畫直角。會在方格紙上畫長方形和正方形。

三年級

知道面積的含義。

認(rèn)識面積單位（平方米、平方分米、平方厘米，公頃、平方千米）。

初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面積觀念。

掌握長方形和正方形的面積計(jì)算公式。

四年級

認(rèn)識射線和角（直角、銳角、鈍角）。

知道角的大小。

初步認(rèn)識垂線和平行線。

掌