課堂講義系列高中數(shù)學(xué)人教A版必修五文檔22（一）等差數(shù)列（一）

§等差數(shù)列(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)，，深化熟悉并能運(yùn)用(重、難點(diǎn)).預(yù)習(xí)教材P36－38完成以下問題：學(xué)問點(diǎn)一等差數(shù)列的概念條件從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)結(jié)論這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列有關(guān)概念這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)常數(shù)列是等差數(shù)列.()(2)假設(shè)一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.()(3)數(shù)列{an}滿意an＋1－an＝1(n＞1)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列.()提示(2)差都是同一個(gè)常數(shù).(3){an}不是等差數(shù)列，忽視了第1項(xiàng).答案(1)√(2)×(3)×學(xué)問點(diǎn)二等差中項(xiàng)假如三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).留意依據(jù)等差中項(xiàng)的定義，a，A，b成等差數(shù)列，那么A＝eq\f(a＋b,2)；反之，假設(shè)A＝eq\f(a＋b,2)，也可得到a，A，b成等差數(shù)列，所以A是a，b的等差中項(xiàng)?A＝eq\f(a＋b,2).【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1.實(shí)數(shù)m是1和5的等差中項(xiàng)，那么m＝()A.eq\r(5) B.±eq\r(5)C.3 D.±3解析由題知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案C2.等差數(shù)列{an}中，a2＝－4，a1＝－7，那么a3為________.解析由于{an}為等差數(shù)列，a2＝－4，a1＝－7，那么2a2＝a1＋a3，解得：a3＝－1.答案－1學(xué)問點(diǎn)三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式假如等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d.上述公式中有4個(gè)變量，a1，d，n，an，在4個(gè)變量中其中的三個(gè)便可求出其余的一個(gè)，即“知三求一〞.其作用為：(1)可以由首項(xiàng)和公差求出等差數(shù)列中的任一項(xiàng)；(2)等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，就可以求出首項(xiàng)和公差，從而可求等差數(shù)列中的任一項(xiàng)；(3)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列中的任意一項(xiàng)，也可推斷某數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)及是第幾項(xiàng).【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1.等差數(shù)列{1－3n}，公差d等于()A.1 B.3C.－3 D.n解析∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.答案C2.等差數(shù)列－3，－1，1，…的通項(xiàng)公式為an＝________.解析由題知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.答案2n－5題型一等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用【例1】(1)假設(shè){an}是等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.(2)遞減等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為18，項(xiàng)公式，并推斷－34是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？解(1)設(shè){an}的公差為d.由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a15＝a1＋14d＝8，,a60＝a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))所以a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.(2)依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝18，,a1·a2·a3＝66，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝18，,a1·〔a1＋d〕·〔a1＋2d〕＝66，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝5.))∵數(shù)列{an}是遞減等差數(shù)列，∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是數(shù)列{an}的第10項(xiàng).規(guī)律方法2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式中的四個(gè)參數(shù)及其關(guān)系等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d四個(gè)參數(shù)a1，d，n，an“知三求一〞知a1，d，n求an知a1，d，an求n知a1，n，an求d知d，n，an求a1【訓(xùn)練1】{an}為等差數(shù)列，依據(jù)以下條件分別寫出它的通項(xiàng)公式.(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三項(xiàng)為：a，2a－1，3－a.解(1)法一設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝5，,a7＝a1＋6d＝13，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.法二∵d＝eq\f(a7－a3,7－3)＝eq\f(13－5,4)＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝5＋(n－3)×2＝2n－1.(2)∵a，2a－1，3－a是等差數(shù)列的前三項(xiàng)，∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1).解得a＝eq\f(5,4)，∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝eq\f(1,4).∴an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(5,4)＋(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)n＋1.題型二等差中項(xiàng)及其應(yīng)用【例2】(1)eq\r(2)－1與eq\f(1,\r(2)－1)的等差中項(xiàng)為________.(2)eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列.求證：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差數(shù)列.(1)解析由題知，等差中項(xiàng)為eq\f(\r(2)－1＋\f(1,\r(2)－1),2)＝eq\f(\r(2)－1＋\r(2)＋1,2)＝eq\r(2).答案eq\r(2)(2)證明由于eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c).由于eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(c〔b＋c〕＋a〔a＋b〕,ac)＝eq\f(c2＋a2＋b〔a＋c〕,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2〔a＋c〕2,b〔a＋c〕)＝eq\f(2〔a＋c〕,b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列.規(guī)律方法(1)條件：假設(shè)A是a與b的等差中項(xiàng).(2)計(jì)算公式：A＝eq\f(a＋b,2).2.等差中項(xiàng)法判定等差數(shù)列(1)條件：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*).(2)結(jié)論：{an}是等差數(shù)列.【訓(xùn)練2】a，b，c成等差數(shù)列，證明a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也成等差數(shù)列.證明由于a，b，c成等差數(shù)列，所以a＋c＝2b.又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a).故a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差數(shù)列.【探究1】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)bn＝2an＋3，求證：數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.證明由于數(shù)列{an}是等差數(shù)列，可設(shè)其公差為d，那么an＋1－an＝d.從而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d.它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【探究2】假設(shè)an＝7n＋2，bn＝lgan，證明{bn}為等差數(shù)列.證明bn＋1－bn＝lgan＋1－lgan＝(n＋3)lg7－(n＋2)lg7＝lg7.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【探究3】a1＝2，假設(shè)an＋1＝2an＋2n＋1，證明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式.證明由于an＋1＝2an＋2n＋1，所以eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(2an＋2n＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.∴eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)×1＝n.∴an＝n·2n.規(guī)律方法(1)條件：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)或an－an－1＝d(常數(shù))(n＞1，n∈N*).(2)結(jié)論：{an}是等差數(shù)列.(3)應(yīng)用范圍：通常用于解答題.2.通項(xiàng)公式法判定等差數(shù)列(1)條件：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式滿意一次函數(shù)關(guān)系式an＝kn＋b(k，b是常數(shù)).(2)結(jié)論：{an}是等差數(shù)列.(3)應(yīng)用范圍：通常用于選擇、填空題.課堂達(dá)標(biāo)1.等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，那么它的公差d為()A.2 B.3C.－2 D.－3解析由等差數(shù)列的定義，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.答案C2.在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，那么角B等于()A.30° B.60°C.90° D.120°解析由于A，B，C成等差數(shù)列，所以B是A，C的等差中項(xiàng)，那么有A＋C＝2B，又由于A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，從而B＝60°.答案B3.以下命題中正確的選項(xiàng)是()A.假設(shè)a，b，c成等差數(shù)列，那么a2，b2，c2成等差數(shù)列B.假設(shè)a，b，c成等差數(shù)列，那么log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列C.假設(shè)a，b，c成等差數(shù)列，那么a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D.假設(shè)a，b，c成等差數(shù)列，那么2a，2b，2c成等差數(shù)列解析∵a，b，c為等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，∴a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列.答案C4.eq\r(3)＋1與eq\r(3)－1的等差中項(xiàng)為a，等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝3n＋1，公差為d，那么a＋d＝________.解析a＝eq\f(\r(3)＋1＋\r(3)－1,2)＝eq\r(3)，d＝3，所以a＋d＝3＋eq\r(3).答案3＋eq\r(3)5.在等差數(shù)列{an}中，a6＝12，a18＝36，求通項(xiàng)公式an.解由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝12，,a1＋17d＝36.))解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.課堂小結(jié)1.推斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列的常用方法：(1)an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；(3)an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.但假設(shè)要說明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，那么只需舉出一個(gè)反例即可.2.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首項(xiàng)a1和公差d，就可以求出通項(xiàng)公式，反過來，在a1，d，n，an四個(gè)量中，只要知道其中任意三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量.根底過關(guān)1.假設(shè)a≠b，那么等差數(shù)列a，x1，x2，b的公差是()A.b－a B.eq\f(b－a,2)C.eq\f(b－a,3) D.eq\f(b－a,4)解析由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝eq\f(b－a,3).答案C2.等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，那么a5等于()A.15 B.22C.7 D.29解析設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，依據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.答案A3.在等差數(shù)列{an}中，a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，那么公差d為()A.－14 B.－7C.7 D.14解析∵a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，那么4d＝28，解得dC.答案C4.在△ABC中，B是A和C的等差中項(xiàng)，那么cosB＝________.解析∵B是A和C的等差中項(xiàng)，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，cosB＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)5.等差數(shù)列x，6，y，12，那么xy的值為________.解析∵x，6，y，12成等差數(shù)列，∴公差d＝eq\f(12－6,2)＝3，那么x＝3，y＝9，xy＝27.答案276.等差數(shù)列{an}.(1)假設(shè)a12＝31，a32＝151，求a42的值；(2)假設(shè)a1＝5，d＝3，an＝2009，求n.解(1)設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，那么a12＝a1＋11d＝31，a32＝a1＋31d＝151，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－35，,d＝6，))∴a42＝a1＋41d＝－35＋41×6＝211.(2)an＝5＋(n－1)×3＝2009，∴n＝669.7.假設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a2是關(guān)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1〔a1＋d〕＝a1＋3d.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.力量提升8.在數(shù)列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，那么a101的值為()A.49 B.50C.51 D.52解析∵an＋1－an＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，∴an＝a1＋(n－1)·eq\f(1,2)＝2＋eq\f(n－1,2)，∴a101＝2＋eq\f(101－1,2)＝52.答案D9.數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝1，假設(shè){eq\f(1,1＋an)}是等差數(shù)列，那么a11等于()A.0 B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析∵eq\f(1,1＋a3)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,1＋a5)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),5－3)＝eq\f(1,12)，eq\f(1,a1＋1)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,12)×2＝eq\f(1,6)，∴eq\f(1,1＋an)＝eq\f(1,6)＋(n－1)·eq\f(1,12)，∴eq\f(1,1＋a11)＝eq\f(1,6)＋eq\f(11－1,12)＝1，∴a11＝0.答案A10.數(shù)列{an}滿意aeq\o\al(2,n＋1)＝aeq\o\al(2,n)＋4，且a1＝1，an>0，那么an＝________.解析∵aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝4，∴{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)aeq\o\al(2,1)＝1，公差d＝4，∴aeq\o\al(2,n)＝1＋(n－1)·4＝4n－3.又an>0，∴an＝eq\r(4n－3).答案eq\r(4n－3)11.假設(shè)關(guān)于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四個(gè)根組成首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，那么m＋n的值為________.解析設(shè)x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分別為x