第3章不等式單元綜合測試卷（解析版）

第3章不等式單元綜合測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若不等式對一切實數都成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．或【答案】C【解析】對一切實數都成立，①時，恒成立，②時，，解得，綜上可得，，故選：C.2．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若不相等的兩個正實數a，b滿足，且恒成立，則實數t的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，當且僅當時等號成立，，，當且僅當時等號成立，；故選：B.3．若不等式?的解集為?，則?=（）A．? B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】因為不等式?的解集為?所以，-2和1是方程?的兩實數根所以，解得所以.故A，B，C錯誤.故選：D.4．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】則故選：C5．設，其中、是正實數，且，，則與的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為、是正實數，且，則，，因此，.故選：B.6．某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據市場分析每輛客車營運的總利潤（單位：10萬元）與營運年數為二次函數關系（如圖所示），則每輛客車營運（）年時，其營運的年平均利潤最大.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據題意得到：拋物線的頂點為，過點，開口向下，設二次函數的解析式為，所以，解得，即，因為，所以，當且僅當，即時取等號.故選：C7．在上定義運算：，若不等式對任意實數x恒成立，則a最大為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】原不等式等價于，即對任意x恒成立.，所以，解得，故選：D8．已知，且，則的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】因為，，所以，所以，當且僅當，即，時等號成立.所以的最小值為2.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（多選）對于實數a，b，c，下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】AB【解析】對于A：因為，所以，，所以，故A為真命題；對于B：因為，，所以，同理可得，即，故B為真命題；對于C：因為，，所以，故C為假命題；對于D：因為，，所以，，，所以，故D為假命題．故選：AB．10．（多選）已知，都為正數，且，則（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，因為，都為正數，且，所以，當且僅當即，時取等號，所以的最大值為，所以A正確，對于B，因為，所以，由選項A可知，所以，當且僅當，時取等號，所以的最小值為，所以B正確，對于C，因為，所以，當且僅當，即，時取等號，但，都為正數，故等號取不到，所以C錯誤，對于D，因為，都為正數，且，所以，當且僅當即即，時取等號，所以的最小值為，所以D正確，故選：ABD11．已知函數，則下列結論正確的是（）A．關于x的不等式的解集可以是B．關于x的不等式的解集可以是C．函數在上可以有兩個零點D．“關于x的方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】若不等式的解集是，則且，得，而當，時，不等式，即，得，與矛盾，故A錯誤；取，，此時不等式的解集為，故B正確；取，，則由，得或3，故C正確；若關于x的方程有一個正根和一個負根，則得，若，則，故關于x的方程有兩個不等的實根，且，即關于x的方程有一個正根和一個負根．因此“關于x的方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”，故D正確．故選：BCD．12．已知方程及分別各有兩個整數根，及，，且，則下列結論一定正確的是（）A．，，，B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A：由知，與同號．若，則，這時，所以，此時與矛盾，所以，．同理可證，故A正確；對于B：根據題意可知，，，，解得．同理，，即，故B不正確，D正確；對于C：由A知，，，，是整數，所以，．由韋達定理有，所以，故C正確；故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關于x的一元二次不等式的解集為，則的解集是___________.【答案】或【解析】因為關于x的一元二次不等式的解集為，所以，且方程得解為，則，所以，則不等式，即為，即，解得或，所以的解集是或.故答案為：或.14．已知集合,,若，則實數a的取值范圍為______．【答案】【解析】依題意，，當，即時，，當，即時，，當，即時，，又，，于是得，解得，或，解得，而，則，綜上得：，所以實數a的取值范圍為．故答案為：15．若關于x的不等式在內有解，則實數a的取值范圍是___________.【答案】【解析】由，即，設，當時，最小值，而，，∴，∴要使不等式在內有解，則，即a的范圍是.故答案為：.16．若，，，則當______時，取得最小值．【答案】【解析】因為，，所以，即．當時，，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值；當時，，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值．綜上所述，當時，取得最小值．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）實數，滿足，.(1)求實數的取值范圍；(2)求的取值范圍．【解析】（1）由，兩式相加得，，∴，即實數a的取值范圍為．（2）設，則，解得，∴，∵，．∴，，∴，即的取值范圍為．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．(1)求的最小值；(2)若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．【解析】（1）由x+y＝2，得1，又x＞0，y＞0，所以（）（）＝55+28，當且僅當，即x，y時等號成立，所以的最小值為8；（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立，得m恒成立，又x+y＝2，所以（），由（1）可知8，所以（）≥4，當且僅當，即x，y時等號成立，即4，故m的最大值是4．19．（12分）某光伏企業(yè)投資萬元用于太陽能發(fā)電項目，年內的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來萬元的收入．假設到第年年底，該項目的純利潤為萬元．（純利潤累計收入總維修保養(yǎng)費用投資成本）(1)寫出純利潤的表達式，并求該項目從第幾年起開始盈利．(2)若干年后，該公司為了投資新項目，決定轉讓該項目，現(xiàn)有以下兩種處理方案：①年平均利潤最大時，以萬元轉讓該項目；②純利潤最大時，以萬元轉讓該項目．你認為以上哪種方案最有利于該公司的發(fā)展？請說明理由．【解析】（1）由題意可知，令，得，解得，所以從第年起開始盈利；（2）若選擇方案①，設年平均利潤為萬元，則，當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最大值，此時該項目共獲利（萬元）．若選擇方案②，純利潤，所以當時，取得最大值，此時該項目共獲利（萬元）．以上兩種方案獲利均為萬元，但方案①只需年，而方案②需年，所以僅考慮該項目的獲利情況時，選擇方案①更有利于該公司的發(fā)展．20．（12分）已知關于x的方程．(1)當a為何值時，方程的一個根大于1，另一個根小于1？(2)當a為何值時，方程的一個根大于且小于1，另一個根大于2且小于3？(3)當a為何值時，方程的兩個根都大于0？【解析】（1）二次函數的圖象是開口向上的拋物線，故方程的一個根大于1，另一個根小于1，則，解得，所以a的取值范圍是．（2）方程的一個根大于且小于1，另一個根大于2且小于3，作滿足題意的二次函數的大致圖象，由圖知，，解得．所以a的取值范圍是．（3）方程的兩個根都大于0，則，解得，所以a的取值范圍是．21．（12分）已知關于x的不等式的解集為．(1)求實數a，b的值；(2)當，，且滿足時，有恒成立，求實數k的取值范圍．【解析】（1）因為不等式的解集為，所以和b是關于x的方程的兩個實數根，且．因為是的一個實數根，所以，解得．將代入，得，解得，所以．（2）由（1）得，故，當且僅當，即，時，等號成立，由題意得，即，解得，所以實數k的取值范圍為．22．（12分）已知函數，(1)恒成立，求實數的取值范圍；(2)當時，求不等式的解集；(3)若使關于的方程有四個不同的實根，求實數的取值.【解析】(1)由得：恒成立，恒成立，當時，恒成立，符合題意；當時，則，解得：；綜上所述：實數的取值范圍為.(2)當時，；令，解得：，；當