8.6.1直線與直線垂直 課件（共20張PPT）

數(shù)學人教A版必修二8.6.1直線與直線垂直

1.空間兩條直線的三種位置關(guān)系知識回顧異面直線αab相交直線abO平行直線ababO

平面內(nèi)兩條相交直線形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角），它刻畫了一條直線相對于另一條直線的傾斜程度．

2.如何刻畫兩條相交直線的位置關(guān)系？找兩條相交直線的夾角，除了作延長線，還有別的方法嗎？ab新知講解如何作出空間中直線a和b的夾角？αabOOa’b’abOb’a’αα異面直線所成的角：

已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任意一點O分別作a’//a，b’//b,我們把a’與b’所成銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）。如果兩條異面直線夾角為直角，那我們就說這兩條異面直線互相垂直。記作a⊥b。問題2：經(jīng)過空間任意一點如何引已知直線的平行線？由推論1知，經(jīng)過直線a，及空間不在直線a上的點O，可確定一個平面，不妨記為平面α。在平面α內(nèi)，經(jīng)過點O作a’//a，這樣的直線a’就是過直線a外一點O且平行于直線a的直線。aOa’α問題3：直線a與b所成角的大小與點O的位置有關(guān)嗎？因為a’//a，b’//b，所以由等角定理可知，兩角相等或互補。由于異面直線所成的角是不超過90°的角，因此兩角相等。

所以，直線a與b所成角的大小與點O的位置無關(guān)。此方法作出的角有多少個？無數(shù)個1.異面直線所成角的大小只和兩條異面直線的位置有關(guān)，而和點O位置的選擇無關(guān)。2.異面直線所成角的范圍：0°<α≤90°。3.當兩條直線平行時規(guī)定所成角為0°，所以空間兩條直線所成角范圍0°≤α≤90°。注意：練習一

判斷對錯1.異面直線所成的角的大小與O點的位置有關(guān)，即O點位置不同時，這一角的大小也不同.(

)2.異面直線a與b所成角可以是0°.()3.如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直.()4.兩條直線垂直，它們一定相交.(

)5.垂直于同一條直線的兩條直線一定平行.(

)X√XXX例一：如圖，已知正方體ABCD-A’B’C’D’（1）哪些棱所在直線與直線AA’垂直？（2）哪些棱所在直線與直線AA’異面且垂直？（3）求直線BA’與CC’所成角的大小.（4）求直線BA’與AC所成角的大小.（5）求直線AC與BD’所成角的大小.解:（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直線分別與AA’垂直.（2）棱BC,CD，B’C’，C’D’與直線AA’異面且垂直.（1）哪些棱所在直線與直線AA’垂直？（2）哪些棱所在直線與直線AA’異面且垂直？解:（3）因為ABCD-A’B’C’D’是正方體，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’為直線BA’與CC’所成的角。又因為∠A’BB’=45°，所以直線BA’與CC’所成角等于45°。（3）求直線BA’與CC’所成角的大小.直接平移法（4）連接A’C’,因為ABCD-A’B’C’D’是正方體，所以AA’//CC’且AA’=CC’,從而四邊形AA’CC’是平行四邊形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’為異面直線BA’與AC所成的角。連接BC’,易知△A’BC’是等邊三角形，所以∠BA’C’=60°。從而異面直線BA’與AC所成角等于60°。（4）求直線BA’與AC所成角的大小.直接平移法（5）求直線AC與BD’所成角的大小.方法1：連接BD交AC于點O，取的DD’中點M，連接OM、AM、CM，即∠MOA為所成的角.OM90°中位線平移法（5）求直線AC與BD’所成角的大小.方法2：補一個與正方體全等的并與原正方體有公共面B’C的正方體BG，連接AC’、C’E、A’E，即∠A’C’E為所成的角.90°補形平移法GEFH例二：如圖在正方體ABCD-A’B’C’D’中，O’為底面A’B’C’D’的中心，求證：AO’⊥BD

證明：如圖，連接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方體∴BB’//DD’,BB’=DD’∴四邊形BB’DD’是平行四邊形∴B’D’//BD∴直線AO’與B’D’所成角即為直線AO’與BD所成角連接AB’,AD’易證AB’=AD’又O’為底面A’B’C’D’的中心∴O’為B’D’的中點∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD，O’求兩條異面直線所成的角的大小的一般步驟一作根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線所成的角.