多元函數(shù)微分法

多元函數(shù)微分法第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五基本要求

1、理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的極限、連續(xù)性等概念及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

2、理解偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、全微分存在的充分和必要條件和高階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的條件；

3、掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求隱函數(shù)（包含由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五基本要求（續(xù)）

4、理解多元函數(shù)的極值和條件極值的概念，會求多元函數(shù)極值、最值，熟悉條件極值與拉格朗日乘數(shù)法；

5、熟悉空間曲線的切線方程、法平面方程的求法，熟悉曲面的切平面方程和法線方程的求法；第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五（1）鄰域一、區(qū)域第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五（2）區(qū)域例如，即為開集．第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，例如，第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五（3）聚點(diǎn)（補(bǔ)充）1.內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：2.邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五3.點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五（4）n維空間1.n維空間的記號為說明：2.n維空間中兩點(diǎn)間距離公式第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五3.n維空間中鄰域、區(qū)域等概念特殊地當(dāng)時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五（1）二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．二、多元函數(shù)概念第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例1求的定義域．解所求定義域?yàn)榈谑捻?，共三十四頁，編輯?023年，星期五（2）二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五三、多元函數(shù)的極限第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例2求證證當(dāng)時，原結(jié)論成立．第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例3求極限解其中第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五不存在.觀察第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五確定極限不存在的方法：第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五利用點(diǎn)函數(shù)的形式有第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)時第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五（3）一致連續(xù)性定理*在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù)．多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．第三十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例７解第三十二頁，共三十四頁，編輯于