多項式插值唯一性

多項式插值唯一性第一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五

若插值結點

x0,x1,…,xn

是(n+1)個互異點,則滿足插值條件P(xk)=yk(k=0,1,···,n)的n次插值多項式

P(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且惟一。多項式插值的存在唯一性定理Laglarge插值公式插值基(k=0,1,2,······,n)2/18第二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五插值誤差余項其中,線性插值誤差:二次插值誤差:思考:構造線性插值函數(shù)計算115的平方根近似值，估計近似值的誤差并指出有效數(shù)位數(shù)。

3/18第三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五已知

x0,x1,···,xn

處的值

f(x0),f(x1),···,f(xn).(j=0,1,…,n-1)

(j=0,1,…,n-2

)

均差的定義牛頓插值公式(k=1,2,···,n)思考:證明一階差商的對稱性：f[x0，x1]=f[x1，x0]，進一步證明二階差商的對稱性。

4/18第四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五牛頓插值余項(j=0,1)三次Hermite插值5/18第五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五給定[a,b]的分劃:a=x0<x1<…<xn=b.已知f(xj)=yj(j=0,1,···,n),如果滿足:(1)S(x)在[xj，xj+1]上為三次多項式;(2)S”(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù);(3)S(xj)=yj

(j=0,1,···,n).則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù).三次樣條的定義6/18第六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五(j=1,2,······,n-1)自然邊界條件三次樣條一階導數(shù)值:S’(xj)=mj

(j=0,1,···,n)三次樣條二階導數(shù)值:S”(xj)=Mj

(j=0,1,···,n)

j=1,···,n–1

自然邊界條件:M0=0,Mn=07/18第七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五擬合函數(shù):

(x)=a00(x)

+a11(x)

+······+an

n(x)數(shù)據(jù)擬合的線性模型離散數(shù)據(jù)

x

x1

x2··········xmf(x)

y1

y2··········ym超定方程組超定方程組最小二乘解:8/18第八頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五對連續(xù)函數(shù)

f(x)的正交多項式平方逼近其中Ex1.設x0，x1，……，xn

是互異的插值結點，l0(x)為對應于x0的拉格朗日插值基函數(shù)，試證明9/18第九頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五Ex2.設x0,x1,x2,…,xn為互異的結點,求證

Lagrange插值基函數(shù)滿足下列恒等式(1)(2)(k=1,···,n)證:(1)令

在插值結點處

Pn(xj)=0(j=0,1,2,···,n)n次多項式

Pn(x)有n+1個相異零點Pn(x)=010/18第十頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五所以將

f(x)=xk(k≤n)代入,得(k=0,1,2,······,n)思考題:f(x)是(n+1)次多項式且最高次項系數(shù)為1，取互異的插值結點x0，x1，……，xn，構造插值多項式Pn(x)，證明：f(x)=Pn(x)+(x–x0)(x–x1)……(x–xn)(2)取

f(x)=xk

f(n+1)(x)=0Rn(x)=011/18第十一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五Ex4.設

x0<x1<x2，從函數(shù)表

xx0

x1

x2f(x)y0

y1

y2出發(fā),利用

f(x)的二次拉格朗日插值多項式

L2(x)推導出求f(x)的極值點

x*

的近似值計算公式.Ex3.設

P(x)是不超過

n次的多項式,而n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)證明存在常數(shù)Ak(k=0，1，…，n)使得

12/18第十二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五Ex5.設有數(shù)列:x1,x2,···,xn,······

(1).證明平方和數(shù)列

為3階等差數(shù)列

證明:(1)

Sn=n2,2Sn=n2－(n-1)2=2n-13Sn=(2n-1)-(2n-3)=2故平方和數(shù)列為3階等差數(shù)列.(2).證明則(2)令

g(n)=n(n+1)(2n+1)/613/18第十三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五同理(k=1,2,···,n)顯然14/18第十四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五證明:F[x0,x1,······,xn]=Ex6.記n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)(j=1,2,···,n)對比Lagrange插值和Newton插值中

xn

的系數(shù),得

F[x0,x1,······,xn]=15/18第十五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五Ex7.

2次埃爾米特插值的適定性問題,給定插值條件：f(x0)=y0，f’(x1)=m1，f(x2)=y2，插值結點應滿足什么條件能使插值問題有唯一解。

思考:構造帶導數(shù)條件的二次插值多項式公式

f(0)=y0，f(1)=y1，f’(0)=m0；16/18解:設H(x)=a0+a1x+a2x2,H’(x)=a1+2a2x第十六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五Ex8.如果

x∈[a,b],t∈[-1,1],(1)證明聯(lián)系兩個區(qū)間的映射為(2)對于t∈[-1,1]上的二次正交多項式將其轉換為x∈[a,b]上的二次正交多項式17/18第十七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五Ex9.一個量

x被測量了n次,其結果是a1,a2,···,an.用最小