高中數(shù)學必修4第一章《1.1.2 弧度制》獲獎教學設計及高中數(shù)學綜合測試(含答案)高二數(shù)學理科

PAGE高二理數(shù)學第1頁共1頁題目：“弧度制”教學設計學校北京十中姓名聯(lián)系方式 課題：1.1.2弧度制一、教材分析：

1、教材地位與作用：本節(jié)課是普通高中實驗教科書人教A版必修4第一章第一節(jié)第二課時。本節(jié)課起著承上啟下的作用：在前面學生在初中已經(jīng)學過角的度量單位“度”

，并且上節(jié)課學了任意角的概念，將角的概念推廣到了任意角；本節(jié)課作為三角函數(shù)的第二課時，該課的知識還是后繼學習任意角的三角函數(shù)等知識的理論準備，因此本節(jié)課還起著啟下的作用。通過本節(jié)弧度制的學習，我們很容易找出與角對應的實數(shù)而且在弧度制下的弧長公式與扇形面積公式有了更為簡單形式。另外弧度制為今后學習三角函數(shù)帶來很大方便。

2、教材內(nèi)容分析：

新的教育理念認為：數(shù)學教學過程就是學生對有關的數(shù)學內(nèi)容進行探索，實踐與思考的過程，所以學生應當成為學習活動的主體，教師應成為學習活動的組織者、引導者與合作者。在教學中教師首先應考慮的是要充分調(diào)動學生的主動性與積極性，引導學生開展觀察、比較、概括、推理、交流等多種形式的活動，使學生通過這些活動，掌握基本的數(shù)學知識與技能。教師在發(fā)揮組織、引導作用的同時，又是學生的合作者。教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則．從學生熟悉的基本單位轉(zhuǎn)換入手，體會不同的單位制能給解決問題帶來方便，引導學習去思考尋找另一種的單位制度量角，接下來用四點來分析教材的內(nèi)容：

（1）要弄清1弧度的意義。弧度制與角度制一樣，只是度量角的一種方法，但由于學生有先入為主的想法，所以學起來有一定的困難，首先必須清楚1弧度的概念，它與所在圓的半徑大小無關。其次弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點，一是在進位上角度制在度、分、秒上是60進制，而弧度制卻是十進制，其二在弧長和扇形的面積的表示上弧度制也比角度制簡單：

（2）通過實例和幾何畫板演示，來講述1弧度的含義，這樣便于學生概念的理解，通過弧度制與角度制對比來分析、說明應用弧度制的度量比應用角度制的度量方法是否具有優(yōu)越性；

（3）關于弧度與角度二者的換算，教學時應抓?。?/p>

弧度；弧度由問題3應讓學生知道，無論是利用角度制還是弧度制，都能在已知弧長和半徑的情況下推出扇形面積公式，但利用弧度制來推導要簡單中些．

二、學情分析

在本節(jié)課中，學生已具備了以下學習條件：

1、知識基礎：學生在初中已經(jīng)學過角的度量單位“度”

并且上節(jié)課學了任意角的概念，學生已掌握了角的概念的推廣，也具備角度制下的一些結(jié)論，如1度的角、弧長公式和扇形面積公式，這是學習本節(jié)課的知識基礎。

2、心理準備：目前只知道角可以用度為單位進行度量，在尋找另一種的單位制度量角的時候思維受挫是學生學習本節(jié)課的內(nèi)在動機。

3、材料基礎：教材內(nèi)容的組織由淺入深、循序漸進。

三、教學目標：1．理解1弧度的角的意義，了解弧度制的概念，領會定義的合理性；了解角的集合與實數(shù)集合之間可以建立一一對應關系；2．在親歷知識的建構(gòu)過程中，滲透數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等思想方法；3．體驗角度制與弧度制的區(qū)別、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，能進行角度與弧度的換算，牢記特殊角的弧度數(shù)。四、教學重點與難點：1、教學重點：弧度制的概念；弧度與角度的換算2、教學難點：弧度制的概念五、教學策略與手段：采用探究式教學，以問題串的形式引導學生得到弧度制的概念、深入理解概念并應用概念。利用PPT和幾何畫板課件靜態(tài)動態(tài)相結(jié)合，展示1弧度的角，幫助學生深入理解概念。六、教學基本流程：創(chuàng)設創(chuàng)設情境探究新知得到概念深入探究理解概念鞏固新知應用概念總結(jié)歸納提高升華七、教學過程：（一）復習引入1、上節(jié)課我們把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負角和零角。這些角都是用“度”來度量的，這種用“度”作單位來度量角的制度稱為角度制?；貞浺幌?，在角度制中，1度的角是如何定義的？弧長公式與扇形面積公式是什么？2、在我們度量長度時，有時用“米”作單位，有時用“尺”作單位，有不同的單位制，度量重量時，可以使用“千克”、“磅”等不同的單位制，角的度量除了角度制外，是否也能用不同的單位制呢？（二）新課講授問題一：圓心角，當半徑為1，2，3，4時，計算圓心角所對弧長與半徑的比值。用幾何畫板演示:（1）當圓心角不變，半徑變化時，是定值；（比值是一個實數(shù)，因此是10進制，比角度的60進制用起來更習慣）（2）若半徑不變，圓心角變化時，隨圓心角的變化而變化。因此，弧長與半徑的比只與圓心角的大小有關，與半徑大小無關，我們可以用這個比值來度量角，這就是度量角的另一種單位制——弧度制。與角度制中先定義1度角的大小一樣，我們也要先定義1弧度的角：定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度。幾何畫板演示：（1）1弧度的角=1，此時（是一個比的角略小的角）。（2）觀察2弧度、3弧度的角，根據(jù)定義思考它們所對的弧長與半徑是什么關系？（思考：若弧度，則弧長與半徑的數(shù)量關系是？）xAyBxAyBO問題二：根據(jù)定義，如何度量一個角的弧度數(shù)？請?zhí)顚懴旅娴谋砀癫⑺伎迹喝鐖D，半徑為的圓，圓心與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，交圓于點A，終邊與圓交于點B，填寫下表：弧的長OB旋轉(zhuǎn)的方向的弧度數(shù)的角度數(shù)逆時針方向逆時針方向1-20思考問題：1．OB旋轉(zhuǎn)的方向決定了角的_______，也決定了的弧度數(shù)的_______。2．若一個半徑為的圓的圓心角所對的弧長是，則的弧度數(shù)是多少？3．角度與弧度都用來度量角，它們之間一定可以換算。那么它們的關系是什么？如何換算？學生討論，填表，回答問題，老師引導得出下列結(jié)論：結(jié)論：1．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是零。這樣就在角的集合與實數(shù)集之間建立了一一對應關系。2．如果半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么角的弧度數(shù)的絕對值是。即的值就是弧長中有多少個半徑。這里，的正負由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定。3．弧度，弧度。練習：填寫特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應表度弧度問：的角等于多少弧度？1弧度的角等于多少度？（弧度弧度；弧度）你能完成下面的換算嗎？例1（1）把下列角度化為弧度；。（2）把下列弧度化為角度2弧度；弧度。（學生板演）解：（1）弧度=弧度（弧度=弧度）弧度=弧度（2）2弧度=弧度注：用弧度制表示角時，“弧度”可略去不寫。如表示2弧度的角，就表示弧度的角；角度表示角時，單位“度”不能省略。問題三：在弧度制下，弧長公式和扇形面積公式可以寫成什么形式？你能推導嗎？（用表示半徑，表示弧長，表示扇形面積，表示圓心角的弧度數(shù)，（（學生思考，展示推導過程）弧長公式：由公式及可得：。扇形面積公式：解：因為，，其中表示圓心角的度數(shù)，所以。（用圓心角的弧度數(shù)表示扇形面積）又因為，所以有（用弧長表示扇形面積）。注：弧度制下，弧長公式和扇形面積公式簡單了，這也是引入弧度制的好處。例2（1）寫出與角終邊相同的角的集合；（2）終邊在y軸上的角的集合。解：（1）與角終邊相同的角的集合：（2）終邊在y軸上的角的集合：。注：在同一個式子中，角度與弧度不能混用。（三）課堂小結(jié)：今天我們學習了一種新的度量角的單位制—弧度制：（1）我們定義了1弧度的角，在這個定義下，角的弧度數(shù)的絕對值：（2）弧度制下，角的集合與實數(shù)集之間建立了一一對應關系；（3）角度制與弧度制是度量角的兩種單位制，它們之間可以進行換算；（6世紀，印度人孕育著最早的弧度制概念，1748年，數(shù)學家歐拉明確提出了弧度制思想，簡化了三角公式及計算，從弧長公式與扇形面積公式可見一斑。今后的學習中，我們將盡量采用弧度制。）（四）課后作業(yè)：（五）板書設計：弧度制一、1弧度的角定義二、公式三、弧度例題八、教學反思：弧度制是一節(jié)概念課，學生理解起來是比較困難的，這也給上課帶來了一定的難度。如何突破難點，讓學生接受弧度這一新的單位制，比較順暢的理解概念并能應用是我備課中重點考慮的問題?；谏鲜隹紤]，我在備課中設計了幾個環(huán)節(jié)：（1）引入：通過讓學生親自計算，再用幾何畫板展示，讓學生體會用度量角的合理性，從而比較順利的引出1弧度角的概念。（2）概念理解：通過用幾何畫板演示1弧度角的大小，觀察2弧度角，3弧度角，讓學生直觀理解1弧度角的概念。（3）探究活動：讓學生填寫表格，并提出思考問題，在填表過程中讓學生總結(jié)歸納出角的弧度絕對值公式以及角度與弧度的換算關系。（4）知識應用，在應用過程中讓學生體會引入弧度制的必要性。（5）弧度制是一種新的度量角的單位制，其中蘊含著豐富的數(shù)學文化，教材的旁白中也有體現(xiàn)。在教學設計中充分利用了教材中的旁白，滲透數(shù)學文化教育。高二下學期數(shù)學期末考試試卷(理)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率為，則在內(nèi)取值的概率為A．B．C．D．2.曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積為A．B．C．D．3.若復數(shù)z滿足，則z的虛部為A．B．C．D．4.用反證法證明數(shù)學命題時首先應該做出與命題結(jié)論相矛盾的假設.否定“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設為A．自然數(shù)都是奇數(shù)B．自然數(shù)都是偶數(shù)C．自然數(shù)中至少有兩個偶數(shù)D．自然數(shù)中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)5.已知在一次試驗中，，那么在次獨是A．B．C．D．6.某單位為了制定節(jié)能減排的目標，先調(diào)查了用電量（單位：度）與氣溫（單位：）之間的關系，隨機統(tǒng)計了某天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：(單位：)(單位：度)由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程：.當氣溫為時，預測用電量約為A.B.C.D.7.從這六個數(shù)字中,任取三個組成無重復數(shù)字的三位數(shù),但當三個數(shù)字中有和時,必須排在前面(不一定相鄰),這樣的三位數(shù)有A.個B.個C.個D.個8.在吸煙與患肺病這兩個事件的統(tǒng)計計算中，下列說法正確的是A.若的觀測值為6.635,我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺?。籅.從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺??；C.若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯誤；D.以上三種說法都不正確.9.有個座位連成一排，安排個人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有A.種B.種C.種D.種10.一個袋子里裝有編號為的個相同大小的小球，其中到號球是紅色球，其余為黑色球．若從中任意摸出一個球，記錄它的顏色和號碼后再放回到袋子里，然后再摸出一個球，記錄它的顏色和號碼，則兩次摸出的球都是紅球，且至少有一個球的號碼是偶數(shù)的概率是A．B．C．D．11.若函數(shù)有極值點，則實數(shù)的范圍為A．B．C．D．12.下列給出的命題中：①如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序數(shù)組使.②已知.則與向量和都垂直的單位向量只有.③已知向量可以構(gòu)成空間向量的一個基底，則向量可以與向量和向量構(gòu)成不共面的三個向量.④是真命題的序號為A．①②④B．②③④C．①②③D．①④二、13.函數(shù)在上的最小值為_____________________.14.等差數(shù)列的前項和為，已知，則_____時此數(shù)列的前項和取得最小值．15.已知長方體中，為側(cè)面的中心，為的中點，則．16.在數(shù)列中，且,則．三、解答題：本大題共6小題，共70分.把解答寫在答題卡中.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）（Ⅰ）求展開式中含項的系數(shù)；（Ⅱ）求展開式中系數(shù)最大的項.18.（本小題滿分12分）為培養(yǎng)高中生綜合實踐能力和團隊合作意識，某市教育部門主辦了全市高中生綜合實踐知識與技能競賽.該競賽分為預賽和決賽兩個階段，參加決賽的團隊按照抽簽方式?jīng)Q定出場順序.通過預賽，共選拔出甲、乙等六個優(yōu)秀團隊參加決賽.（Ⅰ）求決賽出場的順序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；（Ⅱ）若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的團隊數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望.19.（本小題滿分12分）觀察下列等式第一個式子第二個式子第三個式子第四個式子照此規(guī)律下去（Ⅰ）寫出第個等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？請用數(shù)學歸納法證明猜想.20.已知點B（2，0），，O為坐標原點，動點P滿足．（Ⅰ）求點P的軌跡的方程；（Ⅱ）當為何值時，直線：與軌跡相交于不同的兩點M、N，且滿足？（Ⅲ）是否存在直線：與軌跡相交于不同的兩點M、N，且滿足？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．21．（本小題滿分12分）ABCC1ED1A1DFB1如圖，直四棱柱的底面是平行四邊形，，，，點是的中點，點在ABCC1ED1A1DFB1（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求銳二面角平面角的余弦值．22.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中是常數(shù).(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）若關于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.高二下學期數(shù)學期末考試試卷(理)參考答案一.選擇題：每小題5分共60分二.填空題：13.14.15.16.三：17解：（Ⅰ）解由題意知，整理得，解得…2分∴通項公式為4分令，解得.∴展開式中含項的系數(shù)為.……………6分（Ⅱ）設第項的系數(shù)最大，則有……………8分，.……………10分∴展開式中系數(shù)最大的項為.……………12分18（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）設“甲不在第一位、乙不在第六位”為事件，1分則…………3分所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率為.…………4分（Ⅱ）隨機變量的可能取值為…5分，,，(每個式子1分)…………10分隨機變量的分布列為：因為，所以隨機變量的數(shù)學期望為.……12分19.解：（Ⅰ）第個等式…………2分（Ⅱ）猜測第個等式為…………4分證明：（1）當時顯然成立；（2）假設時也成立，即有…………6分那么當時左邊而右邊這就是說時等式也成立.…………10分根據(jù)（1）（2）知，等式對任何都成立.…………12分20解：（Ⅰ）設點，則，．由題設得．………（3分）即點P到兩定點（0，）、（0，－）的距離之和為定值，故軌跡是以（0，）為焦點，長軸長為的橢圓，其方程為．……（6分）（Ⅱ