人教A版必修第二冊102事件的相互獨立性學案

10．2大事的相互性新課程標準新學法解讀1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機大事相互的含義．2．結(jié)合古典概型，利用性計算積大事的概率.1.通過閱讀教材實例，弄清隨機大事相互的含義，留意相互大事與互斥大事的區(qū)分．2．能夠運用相互大事的概率計算公式進行概率計算.課前篇·自主梳理穩(wěn)固根底[筆記教材]學問點大事的相互性(1)對任意兩個大事A與B，假如P(AB)＝P(A)P(B)成立，那么稱大事A與大事B相互，簡稱為．(2)假如大事A與B相互，那么eq\x\to(A)與B，A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互．(3)由于“A與B相互〞是“P(AB)＝P(A)P(B)〞的充要條件，所以假如兩個大事是相互的，那么由它們各自發(fā)生的概率可以快速得到它們同時發(fā)生的概率．留意：假如三個大事A，B，C兩兩互斥，那么概率加法公式P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)成立．但當三個大事A，B，C兩兩時，等式P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)一般不成立．[重點理解]1．大事的相互性(1)定義：對任意兩個大事A與B，假如P(AB)＝P(A)P(B)成立，那么稱大事A與大事B相互．(2)性質(zhì)：假如大事A與B相互，那么eq\x\to(A)與B，A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互．(3)公式的推廣假如大事A1，A2，…，An相互，那么這n個大事同時發(fā)生的概率等于每個大事發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(4)兩個大事與互斥的區(qū)分兩個大事互斥是指兩個大事不行能同時發(fā)生；兩個大事相互是指一個大事的發(fā)生與否對另一個大事發(fā)生的概率沒有影響．一般地，兩個大事不行能既互斥又相互，由于互斥大事不行能同時發(fā)生，而相互大事是以它們能夠同時發(fā)生為前提．2．相互大事與互斥大事的概率計算概率A，B互斥A，B相互P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)P(A)＋P(B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)說明：①(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)，表示的是Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B的和，實際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個發(fā)生．②同數(shù)的加、減、乘、除混合運算一樣，大事的混合運算也有優(yōu)先級，我們規(guī)定：求積運算的優(yōu)先級高于求和運算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可簡寫為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.[自我排查]1．把標有1,2的兩張卡片隨機地分給甲、乙；把標有3,4的兩張卡片隨機地分給丙、丁，每人一張，大事“甲得1號紙片〞與“丙得4號紙片〞是()A．互斥但非對立大事 B．對立大事C．相互大事 D．以上答案都不對答案：C解析：相互的兩個大事彼此沒有影響，可以同時發(fā)生．因此它們不行能互斥．應選C.2．打靶時甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．假設兩人同時射擊一個目標，那么它們都中靶的概率是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(12,25)D.eq\f(14,25)答案：D解析：由題意知甲中靶的概率為eq\f(4,5)，乙中靶的概率為eq\f(7,10)，兩人打靶相互，同時中靶的概率P＝eq\f(4,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(14,25).應選D.3．甲、乙兩人參與“〞學問競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互，那么這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,7)D.eq\f(5,12)答案：D解析：依據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎即甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，那么所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12)，應選D.4．甲、乙兩水文站同時作水文預報，假如甲站、乙站各自預報的精確?????率為0.8和0.7.那么，在一次預報中，甲、乙兩站預報都精確?????的概率為________．答案：解析：×0.7＝0.56.5．一件產(chǎn)品要經(jīng)過兩道的工序，第一道工序的次品率為a，其次道工序的次品率為b，那么該產(chǎn)品的正品率為________．答案：(1－a)(1－b)解析：由題意可知，該產(chǎn)品為正品是第一道工序和其次道工序都為正品，故該產(chǎn)品為正品的概率為P＝(1－a)(1－b)．課堂篇·重點難點研習突破研習1大事性的推斷[典例1]推斷以下各對大事是不是相互大事：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參與演講競賽，“從甲組中選出1名男生〞與“從乙組中選出1名女生〞；(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球〞與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球〞；(3)擲一枚骰子一次，“消失偶數(shù)點〞與“消失3點或6點〞．[解](1)“從甲組中選出1名男生〞這一大事是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生〞這一大事發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互大事．(2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球〞的概率為eq\f(5,8)，假設這一大事發(fā)生了，那么“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球〞的概率為eq\f(4,7)，假設前一大事沒有發(fā)生，那么后一大事發(fā)生的概率為eq\f(5,7).可見，前一大事是否發(fā)生，對后一大事發(fā)生的概率有影響，所以兩者不是相互大事．(3)記A＝“消失偶數(shù)點〞，B＝“消失3點或6點〞，那么A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以大事A與B相互．[巧歸納]兩個大事是否相互的推斷(1)直接法：由大事本身的性質(zhì)直接判定兩個大事發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：假如大事A，B同時發(fā)生的概率等于大事A發(fā)生的概率與大事B發(fā)生的概率的積，那么大事A，B為相互大事．[練習1]從52張撲克牌(不含大小王)中任抽一張，記大事A為“抽得K〞，記大事B為“抽得紅牌〞，記大事C為“抽到J〞．推斷以下每對大事是否相互？為什么？(1)A與B；(2)C與A.解：(1)P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(B)＝eq\f(26,52)＝eq\f(1,2)，大事AB即為“既抽得K又抽得紅牌〞，亦即“抽得紅桃K或方塊K〞，故P(AB)＝eq\f(2,52)＝eq\f(1,26)，從而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此大事A與B相互．(2)大事A與大事C是互斥的，因此大事A與C不是相互大事．研習2求相互大事的概率[典例2]甲、乙、丙3位高校生同時應聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各自能否被選中互不影響．(1)求3人同時被選中的概率；(2)求3人中至少有1人被選中的概率．[解]設甲、乙、丙能被選中的大事分別為A，B，C，那么P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)3人同時被選中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)3人中有2人被選中的概率P2＝P(ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C∪eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).3人中只有1人被選中的概率P3＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C)∪eq\x\to(A)Beq\x\to(C)∪eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).故3人中至少有1人被選中的概率為P1＋P2＋P3＝eq\f(1,10)＋eq\f(23,60)＋eq\f(5,12)＝eq\f(9,10).[巧歸納](1)求相互大事同時發(fā)生的概率的步驟：①首先確定各大事之間是相互的；②確定這些大事可以同時發(fā)生；③求出每個大事的概率，再求積．(2)使用相互大事同時發(fā)生的概率計算公式時，要把握公式的適用條件，即各個大事是相互的，而且它們同時發(fā)生．[練習2]1.[變設問]在本例條件不變下，求三人均未被選中的概率．解：解法一：三人均未被選中的概率P＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,10).解法二：由典例2(2)知，三人至少有1人被選中的概率為eq\f(9,10)，∴P＝1－eq\f(9,10)＝eq\f(1,10).2．[變條件，變設問]假設本例條件“3人能被選中的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)〞變?yōu)椤凹住⒁覂扇酥挥幸蝗吮贿x中的概率為eq\f(11,20)，兩人都被選中的概率為eq\f(3,10)，丙被選中的概率為eq\f(1,3)〞，求恰好有2人被選中的概率．解：設甲被選中的概率為P(A)，乙被選中的概率為P(B)，那么P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝eq\f(11,20)，①P(A)P(B)＝eq\f(3,10)，②由①②知P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PA＝\f(3,4)，PB＝\f(2,5)))故恰有2人被選中的概率P＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(23,60).研習3相互大事概率的實際應用[典例3]三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，將它們中的某兩個元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，如下圖，求電路不發(fā)生故障的概率．[解]記“三個元件T1，T2，T3正常工作〞分別為大事A1，A2，A3，那么P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4).不發(fā)生故障的大事為(A2∪A3)A1，那么不發(fā)生故障的概率為P＝P((A2∪A3)A1)＝P(A2∪A3)·P(A1)＝(1－P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3))·P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32).[巧歸納]求較為簡單大事的概率的方法(1)列出題中涉及的各大事，并且用適當?shù)姆柋硎荆?2)理清大事之間的關(guān)系(兩大事是互斥還是對立，或者是相互)，列出關(guān)系式；(3)依據(jù)大事之間的關(guān)系精確?????選取概率公式進行計算；(4)當直接計算符合條件的大事的概率較簡單時，可先間接地計算對立大事的概率，再求出符合條件的大事的概率．[練習3]某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確答復以下問題者進入下一輪考核，否那么即被淘汰．某選手能正確答復第一、二、三輪問題的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(2,5)，且各輪問題能否正確答復互不影響．求該選手被淘汰的概率．解：記大事“該選手能正確答復第i輪的問題〞為Ai(i＝1,2,3)，那么P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(A3)＝eq\f(2,5).解法一：該選手被淘汰的概率為P(eq\x\to(A)1)＋P(A1eq\x\to(A)2)＋P(A1A2eq\x\to(A)3)＝P(eq\x\to(A)1)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(101,125).解法二：該選手被淘汰的概率為1－P(A1A2A3)＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(101,125).課后篇·根底達標延長閱讀1．壇子中放有3個白球、2個黑球，從中進行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示其次次取得白球，那么A1和A2是()A．互斥大事 B．相互大事C．對立大事 D．不相互