人教A紅對勾配套專題數(shù)列求和的常用方法

專題數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和的常用方法1．公式求和法：直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式或正整數(shù)平方和、立方和公式等求和的方法．熟記一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(注意應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)應(yīng)分q＝1和q≠1兩種情況討論)；2．倒序相加法：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，即將Sn倒寫后再與Sn相加，從而達(dá)到(化多為少)求和的目的．常用于組合數(shù)列求和．3．錯位相減法：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，即將數(shù)列中的各項(xiàng)乘以一個適當(dāng)?shù)臄?shù)(式)．然后錯開一位相減，使數(shù)列中的一些項(xiàng)相互抵消或形成規(guī)律，從而得出數(shù)列的前n項(xiàng)和．此種方法常用于數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列．4．裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)分裂為兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法分裂成兩項(xiàng)之差，求和時(shí)，除首尾若干少數(shù)項(xiàng)之外，其余各項(xiàng)相互抵消，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法．5．分解求和法與并項(xiàng)求和法分解求和法把原數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩(多)項(xiàng)之和或差，從而將原數(shù)列分解成兩(多)個數(shù)列的和或差，而這兩(多)個數(shù)列或者是等差、等比數(shù)列，或者是已知其和．求出這兩(多)個數(shù)列的和，再相加(減)，得到原數(shù)列和的方法便是分解求和法．為了便于拆項(xiàng)，常常從分解數(shù)列的通項(xiàng)入手．并項(xiàng)求和法將原數(shù)列的項(xiàng)重新組合(例如兩兩結(jié)合，奇偶項(xiàng)分別結(jié)合等)，使它們成為一個或幾個等差(比)數(shù)列后再求和的方法．總之，在求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)先考查其通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，再來確定選用何種求和方法．?dāng)?shù)列求和的實(shí)質(zhì)就是一個代數(shù)式(或超越式)的化簡問題．題型一、公式法：直接利用或者轉(zhuǎn)化后利用等差或等比數(shù)列求和公式[例1]設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－7(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.[評析]

要求幾個含有絕對值的式子的和，關(guān)鍵是要去掉絕對值符號．去絕對值符號的方法一般是用分類討論的思想方法，所以此題的關(guān)鍵就是要看an的符號，又因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以只需確定an≥0或an≤0時(shí)n的值，然后再分開求和．[分析]

本題是求函數(shù)值的和，通過對其解析式的研究，尋找它們的規(guī)律然后進(jìn)行解決．

[例3]

求在區(qū)間[a，b](b>a，a、b∈N*)上分母是3的不可約分分?jǐn)?shù)之和．[分析]

本題主要考查如何確定區(qū)間[a，b]上的數(shù)哪些是符合條件的，然后尋找各數(shù)之間的關(guān)系，利用數(shù)列問題求解．即3(b－a)＋1－(b－a＋1)＝2(b－a)．所以2S＝2(b－a)(a＋b)，所以S＝b2－a2.[評析]

當(dāng)數(shù)列{an}滿足ak＋an－k＝常數(shù)時(shí)，可用倒序相加法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．題型三、錯位相減法若在數(shù)列{an·bn}中，{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，則可采用錯位相減法求和．[例4]

求和Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n.[分析]

本題是由等差數(shù)列an＝3n－2及等比數(shù)列bn＝2n對應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的，故可以使用乘公比錯位相減法求和．[解]

因?yàn)镾n＝1×2＋4×22＋7×22＋…＋[3(n－1)－2]×2n－1＋(3n－2)×2n，①2Sn＝1×22＋4×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n＋(3n－2)×2n＋1，②所以①－②得－Sn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－2)×2n＋1＝3(2＋22＋…＋2n)－(3n－2)×2n＋1－4＝3(2n＋1－2)－(3n－2)×2n＋1－4＝3×2n＋1－6－3n×2n＋1＋2n＋2－4＝2n＋2＋3(1－n)×2n＋1－10.所以Sn＝3(n－1)×2n＋1－2n＋2＋10.[分析]