【人教數(shù)學A版-】《回歸分析》

3.1回歸分析的基本思想及其初步應用（一）高二數(shù)學選修2-3數(shù)學３——統(tǒng)計內(nèi)容畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程

y＝bx＋a用回歸直線方程解決應用問題問題1：正方形的面積y與正方形的邊長x之間的函數(shù)關系是y=x2確定性關系問題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否有一個確定性的關系？例如：在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上進行施肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗，得到如下所示的一組數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455復習變量之間的兩種關系1020304050500450400350300·······施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455xy施化肥量水稻產(chǎn)量

自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。1、定義：1）：相關關系是一種不確定性關系；注對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析。2）：

現(xiàn)實生活中存在著大量的相關關系。

如：人的身高與年齡；產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量；商品的銷售額與廣告費；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？1020304050500450400350300·······發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關系呢？施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455xy散點圖施化肥量水稻產(chǎn)量1020304050500450400350300·······xy施化肥量水稻產(chǎn)量探究對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計公式分別為：稱為樣本點的中心。你能推導出這個公式嗎？假設我們已經(jīng)得到兩個具有相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)且回歸方程是：y=bx+a,^其中，a,b是待定參數(shù)。當變量x取時它與實際收集到的之間的偏差是oxy易知，截距和斜率分別是使取最小值時的值。由于這正是我們所要推導的公式。在上式中，后兩項和無關，而前兩項為非負數(shù)，因此要使Q取得最小值，當且僅當前兩項的值均為0，即有1、所求直線方程叫做回歸直線方程；相應的直線叫做回歸直線。2、對兩個變量進行的線性分析叫做線性回歸分析。1、回歸直線方程最小二乘法：稱為樣本點的中心。2、求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為y=bx+a,即為所求的回歸直線方程。^例1、觀察兩相關量得如下數(shù)據(jù):x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求兩變量間的回歸方程.解：列表：i12345678910xi-1-2-3-4-553421yi-9-7-5-3-115379xiyi9141512551512149所求回歸直線方程為例2：已知10只狗的血球體積及血球的測量值如下：x45424648423558403950y6.536.309.527.506.995.909.499.206.558.72x(血球體積,mm),y(血球數(shù)，百萬)（1）畫出上表的散點圖；（2）求出回歸直線并且畫出圖形；（3）回歸直線必經(jīng)過的一點是哪一點？3、利用回歸直線方程對總體進行線性相關性的檢驗

例3、煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關系。如果已測得爐料熔化完畢時，鋼水的含碳量x與冶煉時間y（從爐料熔化完畢到出剛的時間）的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：x（0.01%）104180190177147134150191204121y（min）100200210185155135170205235125（1）y與x是否具有線性相關關系；（2）如果具有線性相關關系，求回歸直線方程；（3）預測當鋼水含碳量為160個0.01%時，應冶煉多少分鐘？(1)列出下表,并計算i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125所以回歸直線的方程為=1.267x-30.51(3)當x=160時,1.267.160-30.51=172(2)設所求的回歸方程為例4

從某大學中隨機選出8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表：編號12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172ｃｍ的女大學生的體重。分析：由于問題中要求根據(jù)身高預報體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．2.回歸方程：1.散點圖；相關系數(shù)ｒ＞０正相關；ｒ＜０負相關．通常，r>0.75，認為兩個變量有很強的相關性．本例中,由上面公式r=0.798>0.75．探究？身高為172ｃｍ的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是,其原因是什么?如何描述兩個變量之間線性相關關系的強弱？

在《數(shù)學3》中，我們學習了用相關系數(shù)r來衡量兩個變量之間線性相關關系的方法。相關系數(shù)r相關關系的測度

（相關系數(shù)取值及其意義）-1.0+1.00-0.5+0.5完全負相關無線性相關完全正相關負相關程度增加r正相關程度增加-1-例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。案例1：女大學生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系。-1-分析：由于問題中要求根據(jù)身高預報體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．2.回歸方程：1.散點圖；本例中,r=0.798>0.75．這表明體重與身高有很強的線性相關關系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的。-1-探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重接近于60.316kg。即，用這個回歸方程不能給出每個身高為172cm的女大學生的體重的預測值，只能給出她們平均體重的值。-1-例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。案例1：女大學生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系。3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關系。-1-我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，

(3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=