第01講集合（解析版）

第一講集合的概念與表示【知識(shí)梳理】1．元素與集合(1)集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合．通常用大寫(xiě)拉丁字母來(lái)表示集合．(2)元素：集合中的每一個(gè)對(duì)象稱(chēng)為該集合的元素，簡(jiǎn)稱(chēng)元．通常用小寫(xiě)的拉丁字母來(lái)表示．(3)元素與集合間的關(guān)系：①若a是集合A的元素，就記作a∈A，讀作“a屬于A”．②若a不是集合A的元素，就記作a?A或a∈A，讀作“a不屬于A”．(4)集合中元素的特征：確定性、無(wú)序性、互異性．(5)常見(jiàn)數(shù)集集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR(6)集合相等的概念如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱(chēng)這兩個(gè)集合相等．2．集合的表示法(1)列舉法：將集合的元素一一列舉出來(lái)，并置于花括號(hào)“{}”內(nèi)，元素之間用逗號(hào)分隔，這樣表示集合的方法稱(chēng)為列舉法．(2)描述法：將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿(mǎn)足的條件)表示出來(lái)，寫(xiě)成{x|p(x)}的形式，這樣表示集合的方法稱(chēng)為描述法．[教師點(diǎn)撥](1)使用列舉法表示集合應(yīng)注意以下問(wèn)題：①元素之間用“，”隔開(kāi)；②元素不能重復(fù)；③元素沒(méi)有順序．(2)使用描述法表示集合應(yīng)注意以下問(wèn)題：①寫(xiě)清楚該集合中元素的代號(hào)(用字母表示的元素符號(hào))；②說(shuō)明該集合中元素的性質(zhì)；3．集合的分類(lèi)按照集合中元素的多少，集合可以分為有限集和無(wú)限集．(1)含有有限個(gè)元素的集合叫作有限集；(2)含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫作無(wú)限集．(3)不含任何元素的集合叫作空集，記作?.[教師點(diǎn)撥]{0}和?不是同一個(gè)集合，{0}中含有一個(gè)元素0，而?中沒(méi)有任何元素．【典型例題】考點(diǎn)一：集合的概念下列給出的對(duì)象中，能構(gòu)成集合的是(????)A.一切很大的數(shù) B.無(wú)限接近0的數(shù)

C.聰明的人 D.所有的直角三角形【答案】D【解析】【分析】本題考查了集合的含義的相關(guān)知識(shí)，試題難度容易．

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：一切很大的數(shù)；B：無(wú)限接近零的數(shù)；C：聰明的人，但是描述不夠準(zhǔn)確具體，元素不能確定，所以都不正確；

選項(xiàng)D：所有的直角三角形，元素是確定的，具體的，是正確的．

故選D．

下列對(duì)象能組成集合的是(????)A.中央電視臺(tái)著名節(jié)目主持人 B.我市跑得快的汽車(chē)

C.上海市所有的中學(xué)生 D.香港的高樓【答案】C【解析】【分析】本題考查了集合的含義的相關(guān)知識(shí)，試題難度容易．

【解答】解：對(duì)于A，“著名”無(wú)明確標(biāo)準(zhǔn)；

對(duì)于B，“快”的標(biāo)準(zhǔn)不確定；

對(duì)于D，“高”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，因而A，B，D均不能組成集合．

而對(duì)于C，上海市的中學(xué)生是確定的，能組成集合．

故選C．

考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系用“∈”或“?”填空：-12

Z，π__

Q，

【答案】??∈【解析】【分析】本題考查了元素與集合的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)．

結(jié)合-12不是整數(shù)，π不是有理數(shù)，|-2|=2【解答】解：因?yàn)?12不是整數(shù)，π不是有理數(shù)，|-2|=2是自然數(shù)，

∴-12?Z，π?Q，|-2|∈N．

故答案為?，

已知集合A由x<1的數(shù)構(gòu)成，則有(????)A.3∈A B.1∈A C.0∈【答案】C【解析】【分析】本題考查了元素與集合的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，試題難度容易

【解答】解：很明顯3，1不滿(mǎn)足不等式，而0，-1滿(mǎn)足不等式，只有C正確．

故選C．若x2∈{0,1,x}，則x【答案】-【解析】【分析】由x2分別等于集合中的元素列方程求解，注意用互異性檢驗(yàn)就是了．

【解答】解：由x2=0，得x=0，違背互異性；

由x2=1，得x=±1，其中x=1違背互異性；

由x2=x，得x=0，或x=1，兩者都違背互異性．

綜上可知

若a∈{1,a2-A.1 B.2 C.0 D.1或2【答案】B【解析】【分析】本題主要考查集合中元素的性質(zhì)．

根據(jù)條件得到a=1或a【解答】解：當(dāng)a=1時(shí)，有a2-2a+2=1違背集合中元素的互異性，故a≠1；

必有a2-2a+2=a，解得：a=1或a=2(a

設(shè)x∈R，集合A中含有三個(gè)元素3，x，(1)求元素x應(yīng)滿(mǎn)足的條件；(2)若-2∈A，求實(shí)數(shù)【答案】解：(1)根據(jù)集合元素的互異性可知，x≠3,x≠x2-2(2)∵x2-2x=(【解析】本題考查了集合中元素的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，試題難度較易

考點(diǎn)三：集合的表示用列舉法表示集合{x|x2-2A.{1,1} B.{1}

C.{x=1}【答案】B【解析】【分析】本題考查了集合的表示法的相關(guān)知識(shí)，試題難度容易．

【解答】解：{x|x2-2x+1=0}={x|(x集合{(x,y)|x+y=6，【答案】{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}【解析】【分析】本題考查了集合的表示法的相關(guān)知識(shí)，試題難度容易．

【解答】解：集合{(x,y)|x+y=6，x，y∈N}={(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}，

故答案為{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(????)A.不等式2x-5<3的解集表示為{x<4}

B.所有偶數(shù)的集合表示為{x|x=2k}【答案】ABD【解析】【分析】本題考查了集合的表示法的相關(guān)知識(shí)，試題難度較易．

【解答】解：不等式2x-5<3的解集表示為{x|x<4}，故A錯(cuò)誤；

所有偶數(shù)的集合表示為{x|x=2k,k∈Z}，故B錯(cuò)誤；

顯然C正確；

方程x2-4=0已知集合A={1,0,-1,3}，B={y|y=|【答案】{0,1,3}【解析】【分析】本題考查了集合的含義和集合的表示方法的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．

將x=1，0，-1，3代入y=x求y的值，從而可得集合【解答】解：因?yàn)锽={y|y=|x|,x∈A}，

當(dāng)x=1時(shí)，y=1，

當(dāng)x=0時(shí)，y=0，

當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，

當(dāng)x=3時(shí)，

已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x,y)|x∈A，A.3 B.6 C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】本題考查了集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)，試題難度較易．

【解答】解：當(dāng)x=5時(shí)，y=1，2，3，當(dāng)x=4時(shí)，y=1，2，當(dāng)x=3時(shí)，y=1，當(dāng)x=2時(shí)，y綜上，B中含有10個(gè)元素．

故選D．

考點(diǎn)四：集合相等已知a∈R,b∈R，若集合aA.-2 B.-1 C.1【答案】B【解析】【分析】本題考查列舉法表示集合，集合相等的定義，集合元素的互異性.屬于中檔題．

根據(jù){a,ba,1}={a2,a+【解答】解：∵{a,ba,1}={a∴{a,0,1}={a2,a,0}，a2=1?a=±1，

∴a2019+b2020

含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示為{b,ba,0}，也可表示為{a,【答案】0【解析】【分析】

本題考查集合的元素的三個(gè)特性和集合相等，注意集合中元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)所給的一個(gè)集合的兩種表示形式，看出第二種表示形式中，只有a+b一定等于0，重新寫(xiě)出集合的兩種表示形式，把兩種形式進(jìn)行比較，得到a，b的值，得到結(jié)果．

【解答】

解：∵集合既可以表示成{b,ba,0}，

又可表示成{a,a+b,1}，

由于ba中a≠0，所以a+b一定等于0，即a+b=0，a=-b；∴ba=-1，

在后一種表示的集合中有一個(gè)元素是1，只能是(1)已知1∈a+2,a(2)已知2,a,b【答案】(1)解：1∈a+2,a+12,a2+3a+3．

若a+2=1，則a=-1，集合{a+2,(a+1)2,a2+3a+3}={1,0,1}，不滿(mǎn)足集合的互異性；

若(a+1)2=1，則a=0或-2，，集合{a+2,(a+1)2,a2+3a+3}={2,1,3}或{0,1,1}，

∴當(dāng)a=0時(shí)，符合題意；．【解析】(1)已知集合{a+2,(a+1)2,a2+3a+3}，三個(gè)元素都有可能等于1，所以分三種情況，

已知集合A={x|ax2-【答案】a≥9【解答】解：①若集合A中沒(méi)有元素，即A=?，那么方程ax2-3x+2=0無(wú)解，

即a≠0且Δ=(-3)2-8a<0，所以a>98．

②若集合A中只有一個(gè)元素，那么方程ax2-3x+2=0只有一個(gè)解．

(ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，x=23，此時(shí)A={23}，滿(mǎn)足題意，

(ⅱ)當(dāng)a≠0時(shí)，(1)已知A={a-1,2a(2)已知集合A=x∈R|【答案】解：(1)因?yàn)?2∈A，所以有a-1=-2,或當(dāng)a-1=-2時(shí)，a=-1當(dāng)2a2+5a+1=-2時(shí)，解得a=-32，a=-1，

故a=-(2)由于A中有兩個(gè)元素，

∴關(guān)于x的方程ax∴