專題06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值及最值的應(yīng)用-《臨考沖刺》2023屆高考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)與題型終極滿分攻略含解析

專題06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值及最值的應(yīng)用-《臨考沖刺》2023屆高考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)與題型終極滿分攻略專題06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值及最值的應(yīng)用目錄類型一：求函數(shù)的極值或極值點(diǎn) 1類型二：利用極值或極值點(diǎn)求參數(shù)的值 3類型三：利用導(dǎo)數(shù)求最值的應(yīng)用 4類型一：求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)典型例題（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)f(x)=ln【答案】x=1試題分析：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值為零可得答案.詳細(xì)解答：因?yàn)閒(x)=lnx+1當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f'當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'(x)<0所以x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn).故答案為：x=1.題型專練：1．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎瘮?shù)fx=-xexA． B． C． D．2．（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)校考階段練習(xí)）已知fx=x-3exA．在-∞,+∞上單調(diào)遞增 C．有極大值-e2，無極小值 D．有極小值3．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，其導(dǎo)函數(shù)為f'x，fx=lnA．無極值 B．有極大值，也有極小值C．有極大值，無極小值 D．有極小值，無極大值4．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=alnx-bx的極值點(diǎn)為1，且A．-1 B．-a C．b D．45．（2023春·貴州銅仁·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fxx∈-3,5的導(dǎo)函數(shù)為f'xA．fx在-2,1上單調(diào)遞增 B．fx在C．fx在x=-2處取得極小值 D．fx在6．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=axex，A．fx有極小值 B．gC．若fx≥gx，則a=1 7．（2023春·四川成都·高二成都七中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=x+sinx，x∈R，有以下四個(gè)命題：①曲線y=fx在π,π處的切線方程為y=π；②x=π是函數(shù)f其中正確的命題有______.（將正確的序號(hào)都寫上，多寫漏寫均不得分）8．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=ln類型二：利用極值或極值點(diǎn)求參數(shù)的值典型例題：（2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=19x3+【答案】7試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求解即可.詳細(xì)解答：因?yàn)閒x=1f'x=所以函數(shù)f'x=則函數(shù)f'x=因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,2)上有極值，所以f'x=0根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知f'1<0解得76故答案為：76題型專練：9．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=xex和gA．0 B．2 C．-1 D．-310．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+b+1x取得極小值4，則A．7 B．8 C．9 D．1011．（2022·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=asinax，a>0，fx向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖像與原函數(shù)圖像重合，A．6 B．12 C．7 D．1412．（2023·山西·統(tǒng)考二模）已知f(x)=ax3+3bx+b2A．a(chǎn)b=-1 B．a(chǎn)b=-9 C．f(1)=-3 D．f(0)=113．（2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=19x3+14．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=3sinx+4cosx，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有15．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）若函數(shù)fx=xx-c2在16．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=sinωx+π17．（2022·云南玉溪·玉溪市民族中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=(x+2)2(x-a)18．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考二模）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)令gx=fx+lnx2-ln19．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)fx(2)若fx在-∞,0上只有一個(gè)極值，且該極值小于-20．（2021·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ax(1)求a，b的值；(2)求曲線y=fx在點(diǎn)-1,f類型三：利用導(dǎo)數(shù)求最值的應(yīng)用典型例題：（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┠硤A錐的母線長(zhǎng)為10cm，當(dāng)其體積最大時(shí)，圓錐的高為________cm．【答案】10試題分析：設(shè)圓錐的高為h，則底面圓的半徑r=100-h2詳細(xì)解答：設(shè)圓錐的高為h，則底面圓的半徑r=100-所以圓錐的體積為Vh=π當(dāng)0<h<1033時(shí)V'h>0，Vh所以當(dāng)h=1033cm時(shí)故答案為：10題型專練：21．（2023·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知圓錐的底面半徑為3cm，高為33cm，當(dāng)其內(nèi)接正四棱柱的體積最大時(shí)，該正四棱柱的外接球的表面積（單位：cmA．19π B．21π C．35π22．（2023·河南周口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)O1O2的母線長(zhǎng)為23，O1，O2分別為上、下底面的圓心，上、下底面的半徑分別為r1A．180π B．208π C．220π23．（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD=2π3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且EF//AC，將△DEF沿EF折到△D'A．4π B．409π C．1424．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖1，將一塊邊長(zhǎng)為20的正方形紙片ABCD剪去四個(gè)全等的等腰三角形△PEE1，△PFF1,△PGG1,△PHH1，再將剩下的部分沿虛線折成一個(gè)正四棱錐P-EFGH，使E與E1重合，F(xiàn)與F1重合，G與G1A．32103 B．64103 C．25．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┠硤A錐的母線長(zhǎng)為10cm，當(dāng)其體積最大時(shí)，圓錐的高為________cm．26．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段.如圖，某水庫有一個(gè)半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為C且直徑MN平行壩面.壩面上點(diǎn)A滿足AC⊥MN，且AC長(zhǎng)度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點(diǎn)A到小島建三段棧道AB、BD與BE，水面上的點(diǎn)B在線段AC上，且BD、BE均與圓C相切，切點(diǎn)分別為D、E，其中棧道AB、BD、BE和小島在同一個(gè)平面上.此外在半圓小島上再修建棧道ME、DN以及MN，則需要修建的棧道總長(zhǎng)度的最小值為__________百米.27．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）某圓錐的底面半徑為1，高為3，在該圓錐內(nèi)部放置一個(gè)正三棱柱，則該正三棱柱體積的最大值為__________．28．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是邊AC的中點(diǎn)，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作AC的平行線交BC于點(diǎn)F，將△BEF沿EF折起，點(diǎn)B折起后的位置記為點(diǎn)P，得到四棱錐如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①AC//平面PEF；②△PEC③存在點(diǎn)E，P，使得PD⊥AE；④當(dāng)四棱錐P-ACFE的體積最大時(shí)，AE=2其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．29．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學(xué)研究的一個(gè)重要方面在如圖（1）所示的體心立方晶胞中，原子A與B（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點(diǎn)和體心，且原子B與8個(gè)原子A均相切已知該晶胞的邊長(zhǎng)（圖（2）中正方體的棱長(zhǎng)）為23，則當(dāng)圖（1）中所有原子（8個(gè)A原子與1個(gè)B原子）的體積之和最小時(shí)，原子A30．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）2022年12月7日為該年第21個(gè)節(jié)氣“大雪”．“大雪”標(biāo)志著仲冬時(shí)節(jié)正式開始，該節(jié)氣的特點(diǎn)是氣溫顯著下降，降水量增多，天氣變得更加寒冷．“大雪”節(jié)氣的民俗活動(dòng)有打雪仗、賞雪景等．東北某學(xué)生小張滾了一個(gè)半徑為2分米的雪球，準(zhǔn)備對(duì)它進(jìn)行切割，制作一個(gè)正六棱柱模型ABCDEF-A1B31．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓C:y2432．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？级＃┮阎獔A錐的母線長(zhǎng)為2，則當(dāng)圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為______時(shí)，圓錐的體積最大，最大值為______．33．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）某醫(yī)療用品生產(chǎn)商用新舊兩臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)防護(hù)口罩，產(chǎn)品成箱包裝，每箱500個(gè)．(1)若從新舊兩臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100箱作為樣本，其中新設(shè)備生產(chǎn)的100箱樣本中有10箱存在不合格品，舊設(shè)備生產(chǎn)的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數(shù)據(jù)，填寫完成2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“有不合格品”與“設(shè)備"有關(guān)聯(lián)？單位：箱是否有不合格品設(shè)備無不合格品有不合格品合計(jì)新舊合計(jì)(2)若每箱口罩在出廠前都要做檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱口罩中任取20個(gè)做檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有口罩做檢驗(yàn)．設(shè)每個(gè)口罩為不合格品的概率都為p0<p<1，且各口罩是否為不合格品相互獨(dú)立．記20個(gè)口罩中恰有3件不合格品的概率為fp，求fp最大時(shí)p(3)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20個(gè)，結(jié)果恰有3個(gè)不合格品，以（2）中確定的p0作為p附表：α0.1000.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2=n專題06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值及最值的應(yīng)用目錄類型一：求函數(shù)的極值或極值點(diǎn) 1類型二：利用極值或極值點(diǎn)求參數(shù)的值 3類型三：利用導(dǎo)數(shù)求最值的應(yīng)用 4類型一：求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)典型例題（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)f(x)=ln【答案】x=1試題分析：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值為零可得答案.詳細(xì)解答：因?yàn)閒(x)=lnx+1當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f'當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'(x)<0所以x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn).故答案為：x=1.題型專練：1．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知函數(shù)fx=-xexA． B． C． D．【答案】B【分析】令y=0，可排除AC，求導(dǎo)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)可排除D，即可得解.【詳解】y=x-2f-x=xx-2ex故函數(shù)y=xx-2又因?yàn)閥'當(dāng)x<-2或x>2時(shí)，y'=x所以函數(shù)y=xx-2ex在-∞,-2和2,+∞上單調(diào)遞增，在故選：B．2．（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知fx=x-3exA．在-∞,+∞上單調(diào)遞增 C．有極大值-e2，無極小值 D．有極小值【答案】D【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值.【詳解】∵fx=x令f'x>0，解得x>2；令則fx在-∞,2上單調(diào)遞減，在2,+∞故A、B錯(cuò)誤；由單調(diào)性可得：fx有極小值f故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.3．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，其導(dǎo)函數(shù)為f'x，fx=lnA．無極值 B．有極大值，也有極小值C．有極大值，無極小值 D．有極小值，無極大值【答案】D【分析】根據(jù)題意賦值可求得f1=f'1=0，根據(jù)fx【詳解】由已知fx=lnx又f1=2f令gx=e又f'令hx所以h'所以hx在0,+∞上單調(diào)遞增，又h所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，hx<0，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，hx>0，所以fx的極小值為f故選：D.4．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=alnx-bx的極值點(diǎn)為1，且A．-1 B．-a C．b D．4【答案】D【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件，列方程組求解a,【詳解】f'x=ax所以a+b=02af所以f'x=4x-4x2，得x=1所以x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，f故選：D5．（2023春·貴州銅仁·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fxx∈-3,5的導(dǎo)函數(shù)為f'xA．fx在-2,1上單調(diào)遞增 B．fx在C．fx在x=-2處取得極小值 D．fx在【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系求解.【詳解】當(dāng)f'x>0由圖可知x∈-2,1時(shí)，f'當(dāng)x∈-12,1當(dāng)x∈1,83時(shí)，當(dāng)x∈-3,-2時(shí)，f'當(dāng)x∈-2,1時(shí)，f'所以fx在x當(dāng)x∈-2,1時(shí)，f'當(dāng)x∈1,133時(shí)，所以fx在x故選：ACD.6．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=axex，A．fx有極小值 B．gC．若fx≥gx，則a=1 【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)有無變號(hào)零點(diǎn)可得AB的正誤，通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合切線可得C的正誤，通過對(duì)a的討論分析可得D的正誤.【詳解】對(duì)于A，∵當(dāng)a=0時(shí)，fx=0對(duì)于B，g'x=2-a-2lnx當(dāng)x∈e2-a2,+∞時(shí)，g對(duì)于C，由fx≥gx，得設(shè)t=x2e設(shè)G(t)=at當(dāng)a≤0時(shí)，G'(t)<0，G(t當(dāng)a>0時(shí)，G'(t)=at-1t∈1a,+∞時(shí)，∴G(設(shè)φa=lna當(dāng)a>1時(shí)，φ'a<0，φa為減函數(shù)；當(dāng)0<∴φa≤φ1=0，∴只有當(dāng)a=1對(duì)于D，由C知，t=x2ex，x>0，當(dāng)a>1時(shí)，φa=G1a<0，當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，G∵t=x2exx>0為增函數(shù)，同理可得，當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，φa=G1a=0當(dāng)a≤0時(shí)，G(t)為減函數(shù)，G(1)=0，此時(shí)G故選:BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有三個(gè)：一是極值問題通過導(dǎo)數(shù)有無變號(hào)零點(diǎn)來判斷；二是對(duì)fx7．（2023春·四川成都·高二成都七中校考期中）已知函數(shù)fx=x+sinx，x∈R，有以下四個(gè)命題：①曲線y=fx在π,π處的切線方程為y=π；②x=其中正確的命題有______.（將正確的序號(hào)都寫上，多寫漏寫均不得分）【答案】①③④【分析】求得曲線y=fx在π,π處的切線方程判斷①；利用極值點(diǎn)定義判斷②；構(gòu)造函數(shù)h(x【詳解】函數(shù)fx=x①由f'π=1+cosπ=0，可得曲線y=②由f'x=1+cosx≥0③令h(x則h(x)=fx則h(x)=則對(duì)?x>0，不等式④由f'x=1+cos則f6π7則sinπ故答案為：①③④8．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)f(x)=ln【答案】x=1【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值為零可得答案.【詳解】因?yàn)閒(x)=ln當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f'當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'所以x=1故答案為：x=1類型二：利用極值或極值點(diǎn)求參數(shù)的值典型例題：（2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=19x3+【答案】7試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求解即可.詳細(xì)解答：因?yàn)閒x=1f'x=所以函數(shù)f'x=則函數(shù)f'x=因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,2)上有極值，所以f'x=0根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知f'1<0解得76故答案為：76題型專練：9．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=xex和gA．0 B．2 C．-1 D．-3【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)，先求得fx的極大值，然后根據(jù)fx與gx【詳解】求導(dǎo)f'x=1-xex，令f∴fx在-∞,1上單調(diào)遞增，在1,+∞∴fx在x=1處取得極大值g'x=1-lnxx2，令g∴gx在0,e上單調(diào)遞增，在∴gx在x=e依據(jù)題意，fx和gx有相同的極大值，故f1故選：A10．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+b+1x取得極小值4，則A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】求導(dǎo)得到f'(x)=a【詳解】f(x)=根據(jù)題意有f'(1)=a-b+1=0，且f此時(shí)f'(x當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'(x函數(shù)在x=1故選：A11．（2022·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=asinax，a>0，fx向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖像與原函數(shù)圖像重合，A．6 B．12 C．7 D．14【答案】B【分析】利用正弦函數(shù)平移要想重合，則平移的單位為其周期的正整數(shù)倍，結(jié)合極值相差大于15，則得到關(guān)于限制條件，最終得到a的最值.【詳解】∵函數(shù)f(f(x)y=故π3正好是周期的正整數(shù)倍,∴n×2πaf(x)的極大值與極小值的差為2則當(dāng)n=2時(shí)，a故選：B.12．（2023·山西·統(tǒng)考二模）已知f(x)=ax3+3bx+b2A．a(chǎn)b=-1 B．a(chǎn)b=-9 C．f(1)=-3 D．f(0)=1【答案】AD【分析】根據(jù)原函數(shù)極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可得f'(-1)=0，即可知a=-b，再根據(jù)極大值為3可解得b=-1或b=3；易知當(dāng)b=3時(shí)，f(x)在x=-1【詳解】由題意可得f'且x=-1是函數(shù)f(x又極大值為3，所以f(-1)=-a-3b+當(dāng)b=3時(shí)，a=-3，此時(shí)x∈-1,1時(shí)，f'(所以函數(shù)f(x)在-∞,-1此時(shí)函數(shù)f(x)在x當(dāng)b=-1時(shí)，a=1，此時(shí)x∈-1,1時(shí)，f'(x所以函數(shù)f(x)在-∞,-1此時(shí)函數(shù)f(x)所以a=1，b=-1，即此時(shí)f(x)=x3故選：AD13．（2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=19x3+【答案】7【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)閒x=1f'x=所以函數(shù)f'x=則函數(shù)f'x=因?yàn)楹瘮?shù)f(x)所以f'x=0根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知f'1<0解得76故答案為：7614．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=3sinx+4cosx，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有【答案】2425【分析】由f(x)=f(2α-x)(【詳解】因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)=f(2而f(x)=3sinx+4cos因此當(dāng)x=α?xí)r，函數(shù)f(x)取得最值，即α于是f'(α)=0，即所以sin2α故答案為：2415．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）若函數(shù)fx=xx-c2在【答案】3【分析】利用導(dǎo)數(shù)在x=x0處取到極值的必要不充分條件f'(【詳解】因?yàn)閒x=x又因?yàn)楹瘮?shù)fx=xx-c2在x當(dāng)c=3時(shí)，f'x=x-33x-3，所以x>3時(shí)，當(dāng)c=9時(shí)，f'x=x-93x-9，所以3<x<9故答案為：3.16．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=sinωx+π【答案】π【分析】由題知函數(shù)y=sint在π3【詳解】解：當(dāng)x∈0,1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)fx=sinωx所以函數(shù)y=sint在所以，ω+π3故答案為：π617．（2022·云南玉溪·玉溪市民族中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=(x+2)2(x-a)【答案】(-2,+∞)【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的大小關(guān)系、極小值的定義分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】由f(當(dāng)2a-23=-2時(shí)，即所以函數(shù)f(當(dāng)2a-23當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí)，f當(dāng)x∈(-2,2a當(dāng)x∈(2a所以-2是極大值點(diǎn)，2a由題意可知：f(而a>-2，所以a當(dāng)2a-23當(dāng)x∈(-∞,2a當(dāng)x∈(2a當(dāng)x∈(-2,+∞)時(shí)，f所以2-2a3是極大值點(diǎn)，f(-2)=綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-2,+∞)，故答案為：(-2,+∞)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小分類討論是解題的關(guān)鍵.18．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┮阎瘮?shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)令gx=fx+lnx2-ln【答案】(1)答案見解析(2)-1【分析】(1)對(duì)fx求導(dǎo),討論a≤0和a>0(2)由題意可得lnx02+2lnx0-2x0+2=0③,令tx【詳解】（1）函數(shù)fx的定義域?yàn)?0,+∞)f'①當(dāng)a≤0時(shí),f'x②當(dāng)a>0時(shí),令f'x>0,可得x>此時(shí)函數(shù)fx的增區(qū)間為(a,+∞)（2）由題意可得g'則g'x0由gx0=-2聯(lián)立①②,消去a,可得lnx令tx=lnh(x)=lnx+1-x(0,1)1(1,+∞)h＋0－h(huán)(x)遞增極大值遞減∴h(x∴tx在區(qū)間(0,+∞)注意到t1=0,所以方程③有唯一解可得a=-1,∴19．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)fx(2)若fx在-∞,0上只有一個(gè)極值，且該極值小于-【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞；單調(diào)遞減區(qū)間為-∞,0(2)-∞,-【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性討論.【詳解】（1）a=0時(shí)，fx=令f'x>0，得x>0；令∴函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞；單調(diào)遞減區(qū)間為-∞,0（2）fxf'當(dāng)a=0時(shí)，fx在當(dāng)a<0時(shí)，fx在a,0∴fx在x=a處取得極小值，∴fa當(dāng)a>0時(shí)，令f'x=0，得當(dāng)0<afx在-∞,lna上單調(diào)遞增，在∴fx在x設(shè)nan'∵0<a<1，∴l(xiāng)na∴na在0,1上單調(diào)遞減，∴na>n當(dāng)a≥1時(shí)，lna≥0，fx在-∞,0上單調(diào)遞增，此時(shí)綜上，a的取值范圍為-∞,-3【點(diǎn)睛】考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是難度題目.20．（2021·陜西榆林·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ax(1)求a，b的值；(2)求曲線y=fx在點(diǎn)-1,f【答案】(1)a(2)36【分析】（1）解方程組f(1)=（2）只需求出f'-1，【詳解】（1）f'由題意可得f(1)=a+檢驗(yàn)：f'x=-18x2+18x當(dāng)x∈-∞,0∪1,+∞時(shí)，當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'（2）由（1）得fx=-6x所以f-1=15，所以所求切線方程為y-15=-36x+1類型三：利用導(dǎo)數(shù)求最值的應(yīng)用典型例題：（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┠硤A錐的母線長(zhǎng)為10cm，當(dāng)其體積最大時(shí)，圓錐的高為________cm．【答案】10試題分析：設(shè)圓錐的高為h，則底面圓的半徑r=100-h2詳細(xì)解答：設(shè)圓錐的高為h，則底面圓的半徑r=100-所以圓錐的體積為Vh=π當(dāng)0<h<1033時(shí)V'h>0，Vh所以當(dāng)h=1033cm時(shí)故答案為：10題型專練：21．（2023·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知圓錐的底面半徑為3cm，高為33cm，當(dāng)其內(nèi)接正四棱柱的體積最大時(shí)，該正四棱柱的外接球的表面積（單位：cmA．19π B．21π C．35π【答案】A【分析】設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a，高為h，運(yùn)用相似三角形可得a與h的關(guān)系，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究正四棱柱體積的最大值，計(jì)算此時(shí)正四棱柱的外接球半徑，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，O1為正四棱柱上底面的正中心，O2為圓錐底面的圓心，正四棱柱外接球的球心O，半徑為R，則設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則O1C=O2B=∵△M∴MO1M∴h=3又∵a>0∴正四棱柱的體積為V=sh=∴V'V'(a∴V(a)在(0,2∴當(dāng)a=22時(shí)，V(∴O2B=∴R2∴正四棱柱的外接球的表面積為S=4故選：A.22．（2023·河南周口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)O1O2的母線長(zhǎng)為23，O1，O2分別為上、下底面的圓心，上、下底面的半徑分別為r1A．180π B．208π C．220π【答案】D【分析】設(shè)r2=2r【詳解】如圖1，設(shè)r2=2r1=2a，A1A2是圓臺(tái)的母線，連結(jié)O1O2,A1因?yàn)镺1所以圓臺(tái)O1O2設(shè)f(a)=f'當(dāng)0<a<22時(shí)，f當(dāng)22<a<23所以當(dāng)a=22時(shí)，f(此時(shí)O1O2設(shè)圓臺(tái)O1O2的外接球半徑為R，球心為O如圖1所示，當(dāng)圓臺(tái)兩底面在球心異側(cè)時(shí)，即球心O在線段O1設(shè)OO2=顯然OA1=OA解得x=-5<0如圖2，當(dāng)圓臺(tái)兩底面在球心同側(cè)時(shí)，即球心O在線段O1設(shè)OO2=顯然OA1=OA解得x=5，所有R2=32+25=57故選：D.23．（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD=2π3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且EF//AC，將△DEF沿EF折到△D'A．4π B．409π C．14【答案】B【分析】設(shè)DE=x，求得五棱錐D'【詳解】如圖，設(shè)DE=x，則當(dāng)五棱錐D'-ABCFE設(shè)H是EF的中點(diǎn)，則D'H⊥EF．因?yàn)槠矫嫠訢'H⊥平面ABCD．因?yàn)镈'H所以VD設(shè)Vx則V'x=18令V'x<0所以Vx在0,26所以當(dāng)x=26設(shè)△D'EF外接圓的圓心為O1，如圖，過點(diǎn)O1，O2分別作平面則點(diǎn)O即為三棱錐D'因?yàn)镺1D'所以O(shè)D所以球O的表面積為S=4故選：B【點(diǎn)睛】求解幾何體外接球有關(guān)的問題，首先要找到球心的位置，可利用幾何體各面的外心來確定球心的位置，然后利用勾股定理等知識(shí)求得球的半徑.24．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖1，將一塊邊長(zhǎng)為20的正方形紙片ABCD剪去四個(gè)全等的等腰三角形△PEE1，△PFF1,△PGG1,△PHH1，再將剩下的部分沿虛線折成一個(gè)正四棱錐P-EFGH，使E與E1重合，F(xiàn)與F1重合，G與G1A．32103 B．64103 C．【答案】D【分析】先確定原圖中哪一條線段是側(cè)棱，哪條線段是底邊，再設(shè)立變量，求出體積關(guān)于變量的函數(shù)解析式，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】根據(jù)題意，PG是側(cè)棱，底面EFGH的對(duì)角線的一半是GC，設(shè)GC=x，則有PG四棱錐的高h(yuǎn)2底正方形EFGH的面積S=4×∴四棱錐P-EFGH的體積V=令t=200-20x，則x則V=當(dāng)t2>40時(shí)，V'∴當(dāng)t2∴Vmax=故選：D.25．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┠硤A錐的母線長(zhǎng)為10cm，當(dāng)其體積最大時(shí)，圓錐的高為________cm．【答案】10【分析】設(shè)圓錐的高為h，則底面圓的半徑r=100-h【詳解】設(shè)圓錐的高為h，則底面圓的半徑r=所以圓錐的體積為Vh=π當(dāng)0<h<1033時(shí)V'h>0，所以當(dāng)h=1033cm故答案為：1026．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段.如圖，某水庫有一個(gè)半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為C且直徑MN平行壩面.壩面上點(diǎn)A滿足AC⊥MN，且AC長(zhǎng)度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點(diǎn)A到小島建三段棧道AB、BD與BE，水面上的點(diǎn)B在線段AC上，且BD、BE均與圓C相切，切點(diǎn)分別為D、E，其中棧道AB、BD、BE和小島在同一個(gè)平面上.此外在半圓小島上再修建棧道ME、DN以及MN，則需要修建的棧道總長(zhǎng)度的最小值為__________百米.【答案】2【分析】連接CD，CE，設(shè)∠CBE【詳解】連接CD，CE，由半圓半徑為1得：CD=由對(duì)稱性，設(shè)∠CBE=∠CBD=θ所以BE=BD=易知∠MCE=∠NCD=θ又AC=3，故AB=AC令sinθ0=13且θ所以f'θθππf-0+f單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以棧道總長(zhǎng)度最小值fθ故答案為：2π27．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）某圓錐的底面半徑為1，高為3，在該圓錐內(nèi)部放置一個(gè)正三棱柱，則該正三棱柱體積的最大值為__________．【答案】33/【分析】作出對(duì)應(yīng)的圖形，設(shè)正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，利用題意得出三棱柱的高h(yuǎn)=3-3r，【詳解】如圖，設(shè)正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，三棱柱的高為h,根據(jù)題意作出圓錐的軸截面，由△SAB～△SDE可得r1=則該三棱柱的體積V=34當(dāng)0<r<23時(shí)，V'所以r=23故答案為：3328．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是邊AC的中點(diǎn)，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作AC的平行線交BC于點(diǎn)F，將△BEF沿EF折起，點(diǎn)B折起后的位置記為點(diǎn)P，得到四棱錐如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①AC//平面PEF；②△PEC③存在點(diǎn)E，P，使得PD⊥AE；④當(dāng)四棱錐P-ACFE的體積最大時(shí)，AE=2其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．【答案】①③【分析】根據(jù)線面平行的判斷定理，判斷①；證明△PFC【詳解】①因?yàn)锳C//EF，EF?平面PEF，AC所以AC//平面PEF②因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以△PEF也是等腰直角三角形，則因?yàn)锳C⊥BC，EF//AC當(dāng)∠PFC=90°時(shí)，此時(shí)△PEC③因?yàn)镋F⊥BC，且EF⊥且BC?平面PCF，PF?平面PCF，所以EF⊥平面PCF，EF所以平面ABC⊥平面PCF，且平面ABC∩平面如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC，連結(jié)則PM⊥平面ABC，AE?平面ABC，所以若PD⊥AE，PD∩PM=P，PD?所以AE⊥平面PDM,DM?平面所以AE⊥如圖，AC=2，延長(zhǎng)MD，交AB于點(diǎn)N則△DCM和△則CM=1，點(diǎn)N到直線AC的距離等于1這樣在翻折過程中，若能構(gòu)成四棱錐，則BF>設(shè)FC=x，則2-x則存在點(diǎn)E，P，使得PD⊥④當(dāng)?shù)酌鍭CFE的面積一定時(shí)，平面平面ABC⊥平面PEF時(shí)，即PF⊥平面ABC時(shí)，四棱錐設(shè)FC=x，EFV=V得x=2+23當(dāng)x∈0,2-2當(dāng)x∈2-2所以當(dāng)x=2-23故答案為：①③【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查幾何體的線線，線面位置關(guān)系，以及動(dòng)點(diǎn)問題，和導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系的最值問題，本題的關(guān)鍵是第三問，需在變化過程中找到位置關(guān)系，建立不等式，即可判斷.29．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學(xué)研究的一個(gè)重要方面在如圖（1）所示的體心立方晶胞中，原子A與B（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點(diǎn)和體心，且原子B與8個(gè)原子A均相切已知該晶胞的邊長(zhǎng)（圖（2）中正方體的棱長(zhǎng)）為23，則當(dāng)圖（1）中所有原子（8個(gè)A原子與1個(gè)B原子）的體積之和最小時(shí)，原子A【答案】6【分析】根據(jù)給定的幾何體，用原子A的半徑r表示8個(gè)A原子與1個(gè)B原子的體積之和，再借助導(dǎo)數(shù)求解作答.【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為23，則該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2設(shè)A原子的半徑為r，B原子的半徑為R，依題意，2r+2R于是8個(gè)A原子與1個(gè)B原子的體積之和V=8?令f(r)=7由f'(r)=0得r=62-37因此函數(shù)f(r)在(0,62-37所以8個(gè)A原子與1個(gè)B原子的體積之和最小時(shí)，原子A的半徑為62故答案為：6【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及幾何體的體積最值問題，可以引入一個(gè)變量，把體積建立為該變量的函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探討求解.30．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）2022年12月7日為該年第21個(gè)節(jié)氣“大雪”．“大雪”標(biāo)志著仲冬時(shí)節(jié)正式開始，該節(jié)氣的特點(diǎn)是氣溫顯著下降，降水量增多，天氣變得更加寒冷．“大雪”節(jié)氣的民俗活動(dòng)有打雪仗、賞雪景等．東北某學(xué)生小張滾了一個(gè)半徑為2分米的雪球，準(zhǔn)備對(duì)它進(jìn)行切割，制作一個(gè)正六棱柱模型ABCDEF-A1B【答案】4【分析】設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，計(jì)算得到V=33816-h2h，設(shè)新函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到【詳解】設(shè)正六棱柱ABCDEF-若要使該正六棱柱的體積最大，正六棱柱應(yīng)為球的內(nèi)接正六棱柱中體積最大者，所以h24+a2=2正六棱柱的體積為V=設(shè)fh=16-h2h，0<h當(dāng)h∈0,4當(dāng)h∈43故fhmax=f4過E1作PQ∥A1C設(shè)PQ交C1D1PQ∥A1C1，確定平面ACPQ則五邊形ACHE1G根據(jù)相似可得F1GGF=1所以AG=GF同理可得CH=21029，故當(dāng)削去的雪最少時(shí)，平面ACE1截該正六棱柱所得的截面周長(zhǎng)為故答案為：4【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求體積的最值，截面問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力，其中將體積的最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，并確定截面是解題的關(guān)鍵.31．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓C:y24【答案】86π【分析】設(shè)橢圓與長(zhǎng)