第04講一元二次不等式及其解法（原卷版）

第4講一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)當a>0時，解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(b,a)))))．(2)當a<0時，解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(b,a)))))．2．三個“二次”間的關系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個相異實根x1，x2(x1<x2)有兩個相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??常用結論1．分式不等式的解法(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)．(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.))2．兩個恒成立的充要條件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0.))考點1一元二次不等式的解法[名師點睛](1)解一元二次不等式的方法和步驟(2)解含參數的一元二次不等式的步驟①二次項若含有參數應討論參數是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數為正的一元二次不等式；②判斷一元二次不等式所對應的方程實根的個數，即討論判別式Δ與0的關系；③確定方程無實根或有兩個相同實根時，可直接寫出解集；確定方程有兩個相異實根時，要討論兩實根的大小關系，從而確定解集．[典例]1．（2021·湖南·衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習）不等式解集為（

）A．{x|1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x>2或x<1} D．2．（2021·四川省敘永第一中學校高三階段練習）解下列關于x的不等式：(1)；(2)（）.[舉一反三]1．（2022·浙江寧波·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·模擬預測）設集合，，則（

）A． B．C．或 D．或3．（2021·福建省長汀縣第一中學高三階段練習）解關于的不等式：.4．（2021·廣東·普寧市大長隴中學高三階段練習）已知二次函數y＝ax2+bx﹣a+2．(1)若關于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求實數a，b的值；(2)若b＝2，a＞0，解關于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．考點2一元二次不等式恒成立問題[名師點睛]1.一元二次不等式在R上恒成立的條件(1)不等式ax2＋bx＋c≥0對任意實數x恒成立的條件是：①當a＝0時，b＝0，c≥0；②當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0.))(2)不等式ax2＋bx＋c≤0對任意實數x恒成立的條件是：①當a＝0時，b＝0，c≤0；②當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2.一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立的求解方法設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)當a<0時，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)<α，,fα<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)>β，,fβ<0))或Δ<0.f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fβ>0，,fα>0.))(2)當a>0時，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fβ<0，,fα<0.))f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)<α，,fα>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)>β，,fβ>0))或Δ<0.3.轉換主元法解給定參數范圍問題解給定參數范圍的不等式恒成立問題，若在分離參數時會遇到討論的情況，或者即使能容易分離出參數與變量，但函數的最值難以求出，可考慮變換思維角度，即把變量與參數交換位置，構造以參數為變量的函數，再根據原參數的范圍列式求解．[典例]1．（2022·全國·高三專題練習）不等式對一切實數恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學高三開學考試）若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．[舉一反三]1．（2022·江蘇南通·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）已知，“對恒成立”的一個充要條件是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）若不等式的解集為R，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）不等式對一切恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2021·江蘇常州·高三階段練習）已知函數，當時，恒成立，則實數的取值范圍為__________.7．（2022·浙江·高三專題練習）若關于的不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍為____________．8．（2021·重慶市涪陵高級中學校高三階段練習）設函數．(1)若對于一切實數，恒成立，求實數的取值范圍；(2)若對于，恒成立，求實數的取值范圍.考點3一元二次方程根的分布問題[名師點睛]1.設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩實根為x1，x2，且x1≤x2，k為常數，則一元二次方程根和k的分布(即x1，x2相對于k的位置)有以下若干定理．定理1：x1<k<x2(即一個根小于k，一個根大于k)?af(k)<0.定理2：k<x1≤x2(即兩根都大于k)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≥0，,afk>0，,－\f(b,2a)>k.))定理3：x1≤x2<k(即兩根都小于k)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≥0，,afk>0，,－\f(b,2a)<k.))2.一元二次不等式在實數范圍內有解的求解方法(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在實數范圍內有解?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b，c∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝b2－4ac>0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在實數范圍內有解?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2—4ac>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b，c∈R.))3.在區(qū)間內有解，可以參變分離為a>f(x)或a<f(x)的形式，轉化為a>f(x)min或a<f(x)max；也可以通過對立命題轉化為在區(qū)間內無解，從而轉化為恒成立問題.[典例]1．（2022·重慶一中高三階段練習）若方程的兩實根中一個小于，另一個大于2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）若不等式在上有解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2022·上海·高三專題練習）已知關于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數，則所有符合條件的a的值之和是（

）A．13 B．18 C．21 D．26[舉一反三]1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高三開學考試（理））關于的方程的兩根都大于2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）已知關于x的不等式在上有解，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·高三專題練習）已知關于的不等式在區(qū)間上有解，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）若關于的不等式在區(qū)間(1，4)內有解，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習）已知關于的不等式在區(qū)間上有解，則實數的取值范圍為_______