中考數(shù)學(xué)壓軸09二次函數(shù)與矩形正方形存在型問題（教師版）

突破中考翻學(xué)壓軸方軍霸秘黃大揭秘QO19版)

々題09:次函數(shù)。矩形IE方形存在型問題

【典例分析】

例1|如圖，拋物線頂點P(1,4),與y軸交于點C(0,3),與x軸交于點A,B.

(1)求拋物線的解析式.

(2)Q是拋物線上除點P外一點，ABCQ與ABCP的面積相等，求點Q的坐標.

(3)若M,N為拋物線上兩個動點，分別過點M,N作直線BC的垂線段，垂足分別為D,E.是否存在

點M,N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請說明理由.

思路點撥

(1)設(shè)出拋物線頂點坐標，把C坐標代入求出即可；

(2)由ABCQ與ABC尸的面積相等，得到P。與BC平行，①過尸作作尸Q〃8C,交拋物線于點。，如圖1

所示；②設(shè)G(l,2),可得PG=GH=2,過，作直線。20〃BC,交x軸于點H,分別求出。的坐標即可；

(3)存在點M,N使四邊形為正方形，如圖2所示，過用作M尸〃y軸，過N作NF〃x軸，過N

作NH〃y軸，則有與△%￡：，都為等腰直角三角形，設(shè)y/),N(X2,yz),設(shè)直線MN解析式為

y=-x+〃，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系表示出N產(chǎn)，由AMNF

為等腰直角三角形，得到MM=2N產(chǎn)，若四邊形MNE。為正方形，得到求出。的值，進而確定

出MN的長，即為正方形邊長.

滿分解答

(1)設(shè)y=a(x-I)2+4(a#0),

把C(0,3)代入拋物線解析式得：a+4=3,即a=-1,

則拋物線解析式為y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3；

(2)由B(3,0),C(0,3),得到直線BC解析式為y=-x+3,

VSAOBC=SAQBC,

，PQ〃BC,

①過P作PQ〃BC,交拋物線于點Q,如圖1所示。,

VP(1,4),..?直線PQ解析式為產(chǎn)-x-5,

y=-x+5

聯(lián)立得:

,y=-x2+2x+3

俱或信

解得:即Q(2,3以

②設(shè)G(1,2),；.PG=GH=2,

過H作直線Q;Q；"BC,交x軸于點H,則直線QiQ；解析式為y-x-1,

y=-x+l

聯(lián)立得：｛2，

_y=-x+2x+3

'_3+近7[

X=~n-X=~~Z-

解得:一”或小行，

2~|尸^^~

,c/Wn-1+V17.c，3+J17-1-717.

??Q二、>>Qi(?,)；

(3)存在點M,N使四邊形MNED為正方形,

如圖2所示，過M作MF〃y軸，過N作NF〃x軸，過N作NH〃y軸，則有AMNF與ANEH都為等腰直

角三角形,

設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2),設(shè)直線MN解析式為y=-x+b,

尸一x+b

聯(lián)立得:

y=-x2+2x+3

消去y得：x：-3x-b-3=0>

.'.NF:=Xi-x：2=(xi-x：)：-4x}X：=21-4b,

VAMNF為等腰直角三角形，

.\MN-2NFM2-8b,

\NH;?(b-3)?'-NF:=y(b-3)

若四邊形MNED為正方形，則有NE：=ZN=,

.'.42-8b=-^-(b--6b-9),

整理得：1^-101)-75=0,

解得：b=T5或b=5,

;正方形邊長為\N=j42-8b,

.*.MN=9V2^V2.

例2如圖，已知拋物線y=o%2+加與%軸分別交于原點。和點F(10,0),與對稱軸］交于點E(5,5).矩形4BCD的

邊4B在%軸正半軸上，且4B=1,邊4D,BC與拋物線分別交于點M,N.當矩形4BC朋久軸正方向平移，點M,

N位于對稱軸1的同側(cè)時，連接MN,此時，四邊形4BNM的面積記為S；點M,N位于對稱軸/的兩側(cè)時，連接

EM,EN,此時五邊形4BNEM的面積記為S.將點4與點。重合的位置作為矩形4BCD平移的起點，設(shè)矩形4BCD

平移的長度為t(0WtW5).

(1)求出這條拋物線的表達式；

(2)當t=0時，求SAOBN的值;

(3)當矩形4BCD沿著久軸的正方向平移時，求S關(guān)于t(0wtw5)的函數(shù)表達式，并求出t為何值時，S有最大

值，最大值是多少？

思路點撥

（1）根據(jù)點E、F的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式;

（2）找出當t=0時，點B、N的坐標，進而可得出OB、BN的長度，再根據(jù)三角形的面積公式可求出SAOBN

的值；

（3）分0<￡4和4〈區(qū)5兩種情況考慮：①當0<t"時（圖1）,找出點A、B、M、N的坐標，進而可得

出AM、BN的長度，利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

出S的最大值；②當4<￡5時，找出點A、B、M、N的坐標，進而可得出AM、BN的長度，將五邊形分

成兩個梯形，利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最

大值.將①②中的S的最大值進行比較，即可得出結(jié)論.

滿分解答

(1)將E(5,5)、F(10,0)代入y=ax?+bx,

[100a+lorfo）解得:a~~^,

.?.拋物線的表達式為y=±x2+2x.

5

,9

（2）當仁0時，點B的坐標為（1,0）,點N的坐標為（1,-）,

CLT八9

**?SAOBN=/N?OB=mj.

(3)①當OVt"時(圖1),點A的坐標為(30),點B的坐標為(t+1,0),

...點M的坐標為(t,-#+2t),點N的坐標為(t+1,(t+1)2+2(t+D),

11

AAM=--^2+2t,BN=--(t+1)2+2(t+1),

55

AS=|(AM+BN)?AB=；xlx[-%2+2t_；(t+1)2+2(t+1)],

1,99

=--t2+-t+—,

1

V--<0,

5

49

.?.當t=4時，S取最大值，最大值為正；

②當4<￡5時（圖2）,點A的坐標為（t,0）,點B的坐標為（t+1,0）,

圖2

.?點M的坐標為(t,-*2t)，點N的坐標為(I,q(1尸+2(t-D),

.，.AM=*2t,BN=-;(t-1)--2(t-1),

.,.S=1(；t)(-22t+5)-1(t-4)[5尚(t-1)二2(t-1)],

=4(h3-3t-5t-25)上

45Aa555

-0，

當t=4時，s取最大值，最大值為常.

Z4U

49196199

、:—=--V--，

104040

9199

??.當tf時，S有最大值，最大值是大.

240

例3如圖，拋物線W:y=+法一7的頂點為（3,2）.

（1）求拋物線W的函數(shù)表達式.

（2）若拋物線形W'與W關(guān)于x軸對稱，求拋物線W'的函數(shù)表達式.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)W上的點M、N始終與W'上的點M'、N'分別關(guān)于x軸對稱，是否存在點

M、N（M、N分別位于拋物線對稱軸兩側(cè)，且M在N的左側(cè)），使四邊形MMNN為正方形？

若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

思路點撥

（1）根據(jù)頂點坐標，求出的值，求拋物線卬的函數(shù)表達式.

（2）拋物線W'與W關(guān)于x軸對稱，求出拋物線W'的頂點坐標和二次項系數(shù)，即可求得函數(shù)表達式.

（3）根據(jù)正方形的邊長相等，MN=MM'=2\yM\.列出方程，求解即可.

滿分解答

（1）拋物線卬：＞=公2+&一7的頂點為（3,2）.

--=3

（2a,

4ax「2

4a

。=-1

解得：｛U

b7=6,

y——（x—3）―2——J+6x_7.

（2）若拋物線W的頂點坐標為（3,2）.a=-\.

若拋物線W'與卬關(guān)于x軸對稱，

拋物線W'的頂點坐標為：（3,-2）.a=L

拋物線W'的函數(shù)表達式為：

y=（x+3）—2=x~一6x+7.

(3)存在.

如圖，要使四邊形MNN'M'是正方形,

MM'//MV'//y軸，則要MN//X軸，

旦MN=M"=2M|.

設(shè)A/+6a-7),(/〃<3),

?.?拋物線的對稱軸為：直線x=3，

:.由拋物線的對稱性可知MN=2(3-m),

:.2(3—zn)=2卜加2+6m-7|.

當3-??=-w*+6w-7，

解得：叼=2,(%=5舍去)，此時河(2」)，

當1＜切＜3時,3-w=-(-w:+6w-7),

解得：叱=1,(住=4舍去)，此時財(1「2),

綜上，存在這樣的點M(21)或(L—2).

例4如圖，正方形ABCD的頂點A、B分別在y軸和x軸上，且A點的坐標為(0,1),正方形的邊長為力.

(1)直接寫出D、C兩點的坐標；

(2)求經(jīng)過A、D、C三點的拋物線的關(guān)系式；

(3)若正方形以每秒在個單位長度的速度勻速沿射線下滑，直至頂點。落在X軸上時停止.設(shè)正方

形落在x軸下方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時間，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量『的取值范圍；

(4)在(3)的條件下，拋物線與正方形一起平移，到頂點。落在x軸上時，求拋物線上兩點間的拋

物線弧所掃過的面積.

思路點撥

(1)可先根據(jù)AB所在直線的解析式求出A,B兩點的坐標，即可得出OA、OB的長.過D作DM_Ly軸

于M,則AADM絲△BAO,由此可得出MD、MA的長，也就能求出D的坐標，同理可求出C的坐標；

(2)可根據(jù)A、C、D三點的坐標，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

(3)要分三種情況進行討論：

①當F點在A，B，之間時，即當OVtWl時，此時S為三角形FBG的面積，可用正方形的速度求出AB，的長，

即可求出B，F(xiàn)的長，然后根'據(jù)/GFB，的正切值求出B，G的長，即可得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式.

②當A，在x軸下方，但C在x軸上方或x軸上時，即當1＜乜2時，S為梯形A，GBH的面積，可參照①的

方法求出A，G和BH的長，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高為A，B，即正方形的邊長，可根據(jù)梯形的

面積計算公式得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式.

③當D，逐漸移動到x軸的過程中，即當2<￡3時，此時S為五邊形ABCHG的面積，S=正方形AB'CTT

的面積-三角形GHD，的面積.可據(jù)此來列關(guān)于S,t的函數(shù)關(guān)系式；

(4)CE掃過的圖形是個平行四邊形，經(jīng)過關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)這個平行四邊形的面積實際上就是矩形BCDA，的

面積.可通過求矩形的面積來求出CE掃過的面積.

滿分解答

(1)C(3,2),D(1,3)；

(c=1,

|a+b+c=3,

19a+3b+c=2.

(2)設(shè)拋物線為產(chǎn)/+bx+c,拋物線過(0,1)(3,2)(1,3),依題意得：

5

a=~6,

廨得?

b=~6

C=1.

y=+拋物線的關(guān)系式是...........................5分

OD

(3)①當點A運動到點x軸時，￡=1,

當OVtWl時，如圖1,

OA1

Z.OFA=Z.GFB',tan^OFA=——=-

OF2

GBlGff1

tanZ-GFB'=

k底二V"B'=

②當點C運動到x軸上時，t=2,

當1<Y2時,如圖2,

A'B'=AB=y/5f

.*.A'B'=AB=y/5f：.A'G=如:汽

J5t

?.?B,H=—,

2

1

??S梯形ABT/G=2（4°+B'H）x4B'

」（,恒-g+亞

222

55

=2~4；

③當點。運動到X軸上時，2=3，

當2V￡43時，如圖3,

1

VSAA0F=-xlx2=lt0A=lfAAOFsAGDd

S^GD'HGD'?

'■E二（77T），

LOF°”

?_/3\5-\52

c、

,,dAGDW-V2）f

,S五功形G4B'CH=（而）2—（J2"）

521525

—t4---1-----

(4)'：t=3,BB'=AA'=3^5,

S陰影=S矩形8B，c，c=S矩形

=,4Z)xAA

=7?x3、田=15.

例5如圖，已知拋物線y=ax2+bx-3過點A(-1,0),B(3,0),點M、N為拋物線上的動點，過點M

作MD〃y軸，交直線BC于點D,交x軸于點E.過點N作NFJ_x軸，垂足為點F

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx-3的表達式；

(2)若M點是拋物線上對稱軸右側(cè)的點，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積；

(3)若M點是拋物線上對稱軸左側(cè)的點，且/DMN=90。，MD=MN,請直接寫出點M的橫坐標.

(1)把A(-1,0),B(3,0)兩點的坐標代入y=ax?+bx-3,利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)y=ax?+bx

-3的表達式；(2)設(shè)點M的坐標為(m,m2-2m-3),則m>1,分別表示出ME=|-m2+2m-3|、MN=2m

-2,由四邊形MNFE為正方形知ME=MN,據(jù)此列出方程，分類討論求解可得m的值，進而求出正方形

的面積；(3)先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)點M的坐標為(t,t2-2l-3),則tVl,則點N

(2-t,t2-2t-3),點D(t,t-3),由MD=MN列出方程，根據(jù)點M的位置分類討論求解可得.

滿分解答

(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3,

,日(ci-b—3=0

得：(9(7+36-3=0，

解得份：黑

故該拋物線解析式為：y=x2-2x-3；

(2)由⑴知,拋物線解析式為：y=y?-2x-3=<x-1);-4,

該拋物線的對稱軸是x=l,頂點坐標為(1,-4).

如圖，設(shè)點M坐標為(m,nP-2m-3),其中mA,

.'.ME=-m:-2m-3,

?.?M、N關(guān)于x=l對稱，目點M在對稱軸右側(cè)，

??點N的橫坐標為2-m,

.\MN=2m-2,

?..四邊形MNFE為正方形，

.\ME=MN,

-m;-2m-3!=2m-2>

分兩種情況：

①當-m;-2m-3=2m-2時，解得：mi=v15、m尸-\5(不符合題意，舍去),

當m=v弓時，正方形的面積為(2\15~2):=24-8\15;

②當-1峭+201+3=2-2m時，解得：1113=2+^/5,ni4=2-&(不符合題意，舍去),

當m=2+小時，證方形的面積為[2(2+/)-2]2=24+8/；

綜上所述，正方形的面積為24+8/或24-8依.

(3)設(shè)BC所在直線解析式為y=px+q,

把點B(3,0)、C(0,-3)代入表達式，

■,{V牙,解得：(二,

...直線BC的函數(shù)表達式為y=x-3,

設(shè)點M的坐標為(t,t2-2t-3),其中t<l,

則點N(2-t,t2-2t-3),點D(t,t-3),

/.MN=2-t-t=2-2t,MD=|t2-2t-3-t+3|=|t2-3t|.

VMD=MN,

A|t2-3t|=2-2t,

分兩種情況：

①當t?-3t=2-2t時，解得ti=-【，t2=2（不符合題意，舍去）.

②當3.[2=2-2時，解得t3=三出，12=葉亞（不符合題意，舍去）.

22

綜上所述，點M的橫坐標為-1或匕”.

2

【變式訓(xùn)練】

I.如圖，。為坐標原點，邊長為艱的正方形OABC的頂點4在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞頂點。順時

針旋轉(zhuǎn)75°，使點B落在某拋物線的圖象上，則該拋物線的解析式為（）

211_

A.y=-x2B.y=---x2zC.y=--x2D.y=-3x2

【答案】B

【解析】

【分析】

過點B向x軸引垂線，連接0B,可得OB的長度，進而得到點B的坐標，代入二次函數(shù)解析式即可求解.

【詳解】

如圖，作BEJ_x軸于點E,連接0B,

?.,正方形OABC繞頂點0順時針旋轉(zhuǎn)75。,

.,.ZAOE=756,

,/ZAOB=45S,

.".ZBOE=30=,

'-*0A=yf2

/.0B=2,

/.BE=^OB=b

.,.OE=yOB：-BE:=^>

???點B坐標為(V'I,-1),

代入Jv=ax'(a<0)得3a=-f,

?2i

..『三，

故選B.

【點睛】

本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)及相應(yīng)的三角函

數(shù)得到點B的坐標.

2.如圖，邊長為1的正方形ABCD頂點A(0,I),B(1,1)；一拋物線y=ax?+bx+c過點M(-1,0)

且頂點在正方形ABCD內(nèi)部(包括在正方形的邊上)，則a的取值范圍是()

11

A.-2<a<-1B.-2<a<--C.-l<a<--D.-l<a<--

424

【答案】C

【解析】

【分析】

當頂點與A點重合，可以知道頂點坐標為（0,1）且拋物線過（-1,0）,由此可求出a；當頂點與C點重合,

頂點坐標為（1,2）且拋物線過（-1,0）,由此也可求a,然后由此可判斷a的取值范圍.

【詳解】

解：...頂點是矩形ABCD上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，

二.當頂點與A點重合，頂點坐標為（0,1）,則拋物線解析式廣ax「l,

?..拋物線過M（-1,0）,

/.0=a-l,解得a=-l,

當頂點與C點重合，頂點坐標為3,2）,則拋物線解析式產(chǎn)a（x-1）^-2,

...拋物線過M（-1,0）,

.\0=4a-2,解得a=-12

:頂點可以在矩形內(nèi)部，

故選C.

【點睛】

本題主要考查了拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c中a、b、c對拋物線的影響，在對于拋物線的頂點在所給圖形

內(nèi)進行運動的判定，充分利用了利用形數(shù)結(jié)合的方法，展開討論，加以解決.

3.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=2*2+。（a,0）的圖象過面積為g的正方形ABOC的三個頂點

A、B、C,則a的值為.

【答案】-2.

【解析】

15

試題分析:作BDJ_x軸于點D,，NBDO=90。，??,四邊形ABOC是面積為一正方形，JAB=BO=CO=AC=?,

22

ZAOB=45°,/.ZBOD=ZDBO=45°,.'.BD=DO,在RtAABO和RtABDO中由勾股定理得AO=1,

11?=-2

BD=DO=-,/.A(0,1),B(-萬，-).?+c>>,=]..?.故答案為2

4.如圖，正方形4BCD的頂點4B與正方形EFGH的頂點G,“同在一段拋物線上，且拋物線的頂點同時落在

CD和y軸上，正方形邊4B與EF同時落在x軸上，若正方形4BCD的邊長為4,則正方形EFGH的邊長為

【答案】2^5-2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得出拋物線解析式，進而表示出G點坐標，再利用2OF=FG,進而求出.

【詳解】

?.?正方形ABCD邊長為4,

二頂點坐標為:（0,4）,B（2,0）,

設(shè)拋物線解析式為：y=ax?+4,

將B點代入得，（）=4a+4,

解得a=-l,

???拋物線解析式為：y=-x2+4,

設(shè)G點坐標為：（ni,-m2+4）,

則2m=-m2+4,

整理的：m2+2m-4^0,

解得：mi—1+%/5,m2—1-^/5（不合題意舍去），

/.正方形EFGH的邊長FG=2m=2g2.

故答案是：262.

【點睛】

考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵是運用正方形的性質(zhì)以及拋物線上點的坐

標性質(zhì)得出等式.

5.如圖4,已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過點A(2,0),B(6,0),交y軸于點C,且SAABC=16.

(1)求點C的坐標;

(2)求拋物線的解析式及其對稱軸;

(3)若正方形DEFG內(nèi)接于拋物線和x軸(邊FG在x軸上，點D,E分別在拋物線上),求S正方形DEFG?

16

—x+8,其對稱軸為直線x=4：(3)4

3

【解析】

【分析】

(1)由S"sc=；xABxOC求出OC的長度,

進而確定C點坐標；(2)因為拋物線經(jīng)過點A(2,0),B(6,

0),故可以設(shè)二次函數(shù)的交點式，即y=a(x-2)(x-6),再將C點坐標代入即可求得解析式，進一步得到

對稱軸；(3)設(shè)正方形。EFG的邊長為也再根據(jù)題中的條件列出正確的。、E坐標，再將E點坐標代入

二次函數(shù)求出邊長機，進一步求得正方形。EFG的面積.

【詳解】

(1)(2,0),B(6,0),

.".AB=6-2=4.

=

5AABC16,

，0C=8,

...點C的坐標為(0,8)；

(2):拋物線y="x2+fer+c(a>0)經(jīng)過點4(2,0),B(6,0),

二可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)(x-6),

將C(0,8)代入，得8=12“，

解得°=爭2

/.y=|(x-2)(x-6)=家--yx+8,

故拋物線的解析式為丫=爭2-y.t+8,其對稱軸為直線x=4；

⑶設(shè)正方形DEFG的邊長為淚,則“>。，

?.?正方形DEFG內(nèi)接于拋物線和.V軸(邊尸G在,v軸上，點D,E分別在拋物線上),

.".D-m),E(4+!??,-7?).

將E(4+昴-W)代入尸*-竽v+8,

得-7"=；x+:一竽乂(4+；?〃)+8〉

整理得，〃戶+6m-16—0,

解得期=2,叫=-8(不合題意舍去)，

二.正方形DEFG的邊長為2,

.".SDEFG=22=4.

【點睛】

本題考查了三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)，注意靈活運

用知識點，另外利用面積求出點C坐標、根據(jù)二次函數(shù)與正方形的性質(zhì)正確表示。、￡的坐標是解答此題

的關(guān)鍵.

6.如圖1：矩形OABC的頂點A、B在拋物線+6X-3上，OC在X軸上，且04=3,0。=2.

(1)求拋物線的解析式及拋物線的對稱軸.

(2)如圖2,邊長為a的正方形ABCD的邊CD在x軸上，A、B兩點在拋物線上，請用含a的代數(shù)式表示

點B的坐標，并求出正方形邊長a的值.

【答案】(1)y=x*—2x—3,對稱軸：x=—；=1,(2)F(^a+1,-a),a=2亞-2.

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得出點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線y=x2+bx-3可得出b的值,

繼而得出拋物線的解析式及拋物線的對稱軸；

（2）由（1）中求得的解析式，可得出對稱軸，從而可得OM=1,CM=；a,BC=a,得出點B的坐標后代入

拋物線解析式，可得a的值.

試題解析：3）.?,四邊形OABC是矩形，0A=3,0C=2,B在第四象限,

??點B的坐標為（2,-3）,

把B點代入產(chǎn)x「bx-3,得2:-2b-3=-3,

解得：b=-2,

.'yxJ2x-3,

對稱軸：X=-jl,即直線：X=1.

（2）由（1）得OM=1,

1

由拋物線的對稱性，可得：CM=-a,

又〈BC=a,

1

???點B的坐標為（-a+1,-a）,

把B點代入函數(shù)得：（ga+1）2-2（；a+l）-3=-a,

解得：ai=-2聲2Vo（舍去），32=2^5-2,

故邊長a=2依-2.

1_

綜上可得點B的坐標為（漫+1,-a）,正方形邊長a=2/-2.

考點：二次函數(shù)綜合題.

7.如圖，正方形OABC的邊長為4,對角線相交于點P,頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，拋物線

L經(jīng)過0、P、A三點，點E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點.

(1)點P的坐標為

(2)求拋物線L的解析式.

(3)求AOAE與AOCE的面積之和的最大值.

1,

【答案】(1)(2,2);(2)y=--x2+2x；(3)9.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)正方形的邊長結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得出點。、P、A三點的坐標；

(2)設(shè)拋物線L的解析式為>=以2+區(qū)+心結(jié)合點。、P、A的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解

析式；

(3)由點E為正方形內(nèi)的拋物線上的動點，設(shè)出點￡的坐標，結(jié)合三角形的面積公式找出SQAE+SOCE關(guān)

于加的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

試題解析：為正方形，且邊長為4,對角線相交于點P,

二點。的坐標為(0,0)：點B的坐標為(4,4),點尸為。&的中點，

..點P的坐標為(2,2).

故答案為：(2.2).

(2)設(shè)拋物線L的解析式為y=a?+陵+心

?拋物線L經(jīng)過。、P、4三點，

C1

0=ca=—

2

；?{0=16Q+4Z?+C解得：..c

{b-2

2=4。+2。+c,八

c=0,

1

??.拋物線L的解析式為y=9+2工

(3)???點E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點，

...設(shè)點E的坐標為卜”，-g+2/72j(0<m<4),

JJ2

S+SOCE———OA,丁￡+—OC?，E———+4m+2/n———(/"—3)+9,

，當,〃=3時，△OAE與△OCE面積之和最大，最大值為9.

8.如圖1,在直角坐標系中，已知點A(0,2)、點B(-2,0),過點B和線

段OA的中點C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.

(1)填空：點D的坐標為(),點E的坐標為().

(2)若拋物線丫=2*2+6*+82#())經(jīng)過人、D、E三點，求該拋物線的解析式

(3)若正方形和拋物線均以每秒正個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移，直至正方形的頂點E

落在y軸上時，正方形和拋物線均停止運動.

①在運動過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s,求s關(guān)于平移時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍.

②運動停止時，求拋物線的頂點坐標

圖1用2(備用圖)圖3(備用圖)

【答案】解：(1)D(-1,3),E(-3,2)。

(2)拋物線經(jīng)過(0,2)、(-1,3)、(-3,2),則

1

a=—

c=22

-a-b+c=3,解得-b=-1o

9a-3b+c=2.

c=2

13

.??拋物線的解析式為y=-]x20-1x+2

(3)①求出端點的時間：

當點D運動到y(tǒng)軸上時，如圖1,DDI=|DC=1BC=^,

當點B運動到y(tǒng)軸上時，如圖2,BBi=BC=V5.

3

當點E運動到y(tǒng)軸上時,如圖2,EEi=ED+DEk塢+t=-O

2

當0<twg時，如圖4,正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為ACCF的面積，設(shè)交y軸于點F。

圖4

,/tanZBCO=—=2,ZBCO=ZFCC\

oc

FC'

.,.tanZFCC'=2,即——=2。

CC'

?：CC'=y/5t,.*.FC,=2>/5t.

2

ASACCT=-CC-TC^-75tx2>/5t=5to

22

當』VtWl時，如圖5,正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為直角梯形CCD，G的面積，設(shè)D，E，交y軸于點G,

過G作GH_LB，C于H。

VGH=BC=后，ACH=-GH=—。

22

VCCr=V5t-—o

2

7

.s,i

??。梯形CCD，G-3+石t-V5=5t-—

4

3

當IVtS,時，如圖6,正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為五邊形B，C'D，MN的面積，設(shè)D，E\E，B，分別交y

軸于點M、No

圖6

?.8=后，BC=5

75o.,.B'N-2CB,-2-x/5t-2在。

；BE，=后,.?.ErN=BE—BN=3#-2#t。

.".EM=；EN=；{3有-2#t)o

???SAWXE=-24t)；|34-2召t|=5t?-15t-^。

45、=，25

S三邊形BfD,MN=S正方形BCDE—SqiXE\5t*-15t~—=-5t~15t--o

綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為:

u5(1八

s—<5t——<t41

412

u225<3]

-5f+15t------1<t<-

4I2J

②當點E運動到點E時，運動停止，如圖7所示。

VZCB,E,=ZBOC=90°,NBCO二NB'CE',

OBBC

???△BOCs/\EBC。:、

BT7-EC

?二OB=2,BrE,=BC=5/5，??~~r=————o

A/5ErC

：.CE'=-

2O

577

???OE'=OC+CE'=l+—=—。：.Ef（0,一）。

222

73

山點E（—3,2）運動到點日（0,小），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移/士個單位。

22

1Q1ancQoc

?.?y=-±x2-2x+2=-!（X+2）2+3,.?.原拋物線頂點坐標為（-三，三）

2222828

???運動停止時，拋物線的頂點坐標為（二3，二37）。

28

【解析】二次函數(shù)綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系。

【分析】（1）構(gòu)造全等三角形，由全等三角形對應(yīng)線段之間的相等關(guān)系，求出點D、點E的坐標:

由題意可知：0B=2,OC=1o

如圖8所示，過D點作DH_Ly軸于H,過E點作EG_Lx軸于G。

圖8

易證ACDH嶺由?。，；.DH=OC=1,CH=OB=2,AD(-1,3)。

同理AEBG絲△BCO,；.BG=OC=I,EG=OB=2,；.E(-3,2)。

AD(-1,3)、E(-3,2)。

(2)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

(3)①為求s的表達式，需要識別正方形(與拋物線)的運動過程.正方形的平移，從開始到結(jié)束，總共

歷時]秒，期間可以劃分成三個階段：0<乜上，-<t<l,l<t<-,對照圖形，對每個階段的表達式求

2222

解即可。

7

②當運動停止時，點E到達y軸，點E(—3,2)運動到點E(0,-),可知整條拋物線向右平移了3個

單位，向上平移了巳3個單位.由此由平移前的拋物線頂點坐標推出平移后的拋物線頂點坐標。

2

1

9.如圖，拋物線y=-]x2+bx+c，與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,點B坐標為(6,0),點C坐標

為(0,6),點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E,連接BD.

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標;

(2)點F是拋物線上的動點，當/FBA=/BDE時，求點F的坐標;

(3)若點P是x軸上方拋物線上的動點，以PB為邊作正方形PBFG,隨著點P的運動，正方形的大小、

位置也隨著改變，當頂點F或G恰好落在y軸上時，請直接寫出點P的橫坐標.

【答案】(I)D(2,8)；(2)(-1,，或(-3,-1)；(3)點P的橫坐標為1+g或4或0.

【解析】

【分析】

(1)由B、C的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，再求其頂點D即可；

(2)過F作FGJ_x軸于點G,可設(shè)出F點坐標，利用△FBGs/xBDE,由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F

點坐標的方程，可求得F點的坐標；

(3)設(shè)P(m,?%i2+2m+6),有四種情況：

①如圖2,當G在y軸上時，過P作PQd_y軸于Q,作PMLx軸于M,

證明APQG絲△PMB,則PQ=PM,列方程可得m的值；

②當F在y軸上時，如圖3,過P作PMLx軸于M,同理得結(jié)論；

③當F在y軸上時，如圖4,此時P與C重合；

④當G在y軸上時，如圖5,過P作PMLx軸于M,作PN_Ly軸于N,列方程可得m的值.

【詳解】

解：3〉把點B坐標為(6,0),點C坐標為(0,6)代入拋物線產(chǎn)得：

-；x36+6b+c=0

(c=6

廠?產(chǎn)-2x-6=-：(x-2)1一8,

/.D⑵8)5

(2)如圖1,過F作FGJ_x軸于點G,

11

設(shè)F(x,--x2+2x+6),貝I[FG=|--x2+2x+6|,

VZFBA=ZBDE,ZFGB=ZBED=90°,

/.△FBG^ABDE,

FGBE

—=—,

BGDE

VB(6,0),D(2,8),

：.E(2,0),BEM,DE=8,OB=6,

BG=6-x,

/2+2x+61_4_1

-Z------------8-2，

6-x

當點F在x軸上方時，有6-x=2（-$2x+6）,

解得x=-I或x=6（舍去），

此時F點的坐標為（-1,晟）；

當點F在x軸下方時，有6-x=2（g-2x-6）,

解得x=-3或x=6（舍去），

9

此時F點的坐標為（-3,--）；

79

綜上可知F點的坐標為（-1,y）或（-3,--）；

（3）設(shè)P（m,—m?+296）,

有三種情況：

①如圖2,當G在y軸上時,過P作PQly軸于Q,作PMlx軸于M,

.?泗邊形PBFG是正方形，

.\PG=PB,

?.'ZPQG=ZPMB=90°,ZQPG=ZNIPB,

.?.△PQG絲△PMB，

.\PQ=PM,

即m=-f》

2

解得：mi=l-VU>m：=l-v,Tl（舍），

???p的橫坐標為i-vn,

②當F在y軸上時，如圖3,過P作PM，x軸于M,

同理得：ZkPMB0△BOF,

/.0B=PM=6,

1

即-^m2+2m+6=6,

rm=O（舍），m2=4,

???P的橫坐標為4,

③當F在y軸上時，如圖4,此時P與C重合，

此時P的橫坐標為0,

綜上所述，點P的橫坐標為l+g或4或0.

【點睛】

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、

方程思想及分類討論思想等知識.在(1)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在(2)中構(gòu)造三角形相似是解題的

關(guān)鍵，注意有兩種情況，在(3)中確定出P的位置是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，難

度適中.

。如圖,已知直線"一夫+1交坐標軸于43兩點，以線段功為邊向上作正方形海。，過點

A,D,C的拋物線與直線另一個交點為E.

(1)請直接寫出點的坐標；

(2)求拋物線的解析式；

(3)若正方形以每秒有個單位長度的速度沿射線,15下滑，直至頂點。落在x軸上時停止.設(shè)正方形落

在x軸下方部分的面積為s，求S關(guān)于滑行時間『的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量r的取值范圍；

(4)在(3)的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上兩點間的拋物線弧所掃過

的面積.

《、17

【答案】(1)C(3,2).D(L3)(2)x+1.

(3)當Oc41時，S^G=鼻FBYGB二x底x冬="產(chǎn)

當1</K2時，S==二"一

24

5,L24LL

當2<rS3時，s=—廠H—t——(4)^5x3-\/5=15

424

【解析】

(1)C(3,2):D(L3),.................................2分

(2)設(shè)拋物線為j=a/+5x+c,拋物線過(0」)\3,"￡3),

口+…解得博.................................I分

*9a4-364-c=2.(c=L

1分

66

（3）①當點A運動到點F時，t=L

當0<f?l時，如圖1.

11「丙V,

S^=-FB'xGB'=-X、氏X*=二戶;2分

xB"62224

②當點C運動到X軸上時，r=2.

當1C42時,如圖2,

A

oX

Af

圖2S'

VB，H=縣

2

1

??S梯形4BHG=2("G+B'H)xA'B'

1便t-M

=5(+

2

55

—t——（2分）

24

③當點D運動到x軸上時，r=3.

當2<rS3時，如圖3,

3在-6

GD'=#—2

SMOF=(xlx2=LOA=1,

AAOFSAGD'H

S、GDH，GD'2

S五地形G4FCH=（而）2

5215

一t+—t-