北京市中考數(shù)學(xué)試卷及答案2(完整版)

北京市中考數(shù)學(xué)試卷及答案2（完整版）(文檔可以直接使用，也可根據(jù)實(shí)際需要修改使用,可編輯歡迎下載）

北京市中考數(shù)學(xué)試卷及答案2（完整版）(文檔可以直接使用，也可根據(jù)實(shí)際需要修改使用,可編輯歡迎下載）2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共32分，每小題4分。下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的。1．（4分）（2021?北京）在《關(guān)于促進(jìn)城市南部地區(qū)加快發(fā)展第二階段行動(dòng)計(jì)劃（2021﹣2021）》中，北京市提出了共計(jì)約3960億元的投資計(jì)劃，將3960用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．39.6×102B．3.96×103C．3.96×104D．0.396×1042．（4分）（2021?北京）﹣的倒數(shù)是（）A．B．C．﹣D．﹣3．（4分）（2021?北京）在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，其標(biāo)號(hào)大于2的概率為（）A．B．C．D．4．（4分）（2021?北京）如圖，直線(xiàn)a，b被直線(xiàn)c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，則∠4等于（）A．40°B．50°C．70°D．80°5．（4分）（2021?北京）如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線(xiàn)上．若測(cè)得BE=20m，CE=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于（）A．60mB．40mC．30mD．20m6．（4分）（2021?北京）下列圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C．D．7．（4分）（2021?北京）某中學(xué)隨機(jī)地調(diào)查了50名學(xué)生，了解他們一周在校的體育鍛煉時(shí)間，結(jié)果如下表所示：時(shí)間（小時(shí)）5678人數(shù)1015205則這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時(shí)間是（）A．6.2小時(shí)B．6.4小時(shí)C．6.5小時(shí)D．7小時(shí)8．（4分）（2021?北京）如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2．設(shè)弦AP的長(zhǎng)為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A．B．C．D．二、填空題（本題共16分，每小題4分）9．（4分）（2021?北京）分解因式：ab2﹣4ab+4a=_________．10．（4分）（2021?北京）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0，1）的拋物線(xiàn)的解析式，y=_________．11．（4分）（2021?北京）如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長(zhǎng)為_(kāi)________．12．（4分）（2021?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l：y=﹣x﹣1，雙曲線(xiàn)y=，在l上取一點(diǎn)A1，過(guò)A1作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)B1，過(guò)B1作y軸的垂線(xiàn)交l于點(diǎn)A2，請(qǐng)繼續(xù)操作并探究：過(guò)A2作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)B2，過(guò)B2作y軸的垂線(xiàn)交l于點(diǎn)A3，…，這樣依次得到l上的點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，…記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an，若a1=2，則a2=_________，a2021=_________；若要將上述操作無(wú)限次地進(jìn)行下去，則a1不可能取的值是_________．三、解答題（本題共30分，每小題5分）13．（5分）（2021?北京）已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求證：BC=AE．14．（5分）（2021?北京）計(jì)算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．15．（5分）（2021?北京）解不等式組：．16．（5分）（2021?北京）已知x2﹣4x﹣1=0，求代數(shù)式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．17．（5分）（2021?北京）列方程或方程組解應(yīng)用題：某園林隊(duì)計(jì)劃由6名工人對(duì)180平方米的區(qū)域進(jìn)行綠化，由于施工時(shí)增加了2名工人，結(jié)果比計(jì)劃提前3小時(shí)完成任務(wù)，若每人每小時(shí)綠化面積相同，求每人每小時(shí)的綠化面積．18．（5分）（2021?北京）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值．四、解答題（本題共20分，每小題5分）19．（5分）（2021?北京）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=BC，連接DE，CF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長(zhǎng)．20．（5分）（2021?北京）如圖AB是⊙O的直徑，PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長(zhǎng)．21．（5分）（2021?北京）第九屆中國(guó)國(guó)際園林博覽會(huì)（園博會(huì)）已于2013年5月18日在北京開(kāi)幕，以下是根據(jù)近幾屆園博會(huì)的相關(guān)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖的一部分．（1）第九屆園博會(huì)的植物花園區(qū)由五個(gè)花園組成，其中月季園面積為0.04平方千米，牡丹園面積為_(kāi)________平方千米；（2）第九屆園博會(huì)會(huì)園區(qū)陸地面積是植物花園區(qū)總面積的18倍，水面面積是第七、八界園博會(huì)的水面面積之和，請(qǐng)根據(jù)上述信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)；（3）小娜收集了幾屆園博會(huì)的相關(guān)信息（如下表），發(fā)現(xiàn)園博會(huì)園區(qū)周邊設(shè)置的停車(chē)位數(shù)量與日均接待游客量和單日最多接待游客量中的某個(gè)量近似成正比例關(guān)系．根據(jù)小娜的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)估計(jì)，將于2021年舉辦的第十屆園博會(huì)大約需要設(shè)置的停車(chē)位數(shù)量（直接寫(xiě)出結(jié)果，精確到百位）．第七屆至第十屆園博會(huì)游客量和停車(chē)位數(shù)量統(tǒng)計(jì)表：日接待游客量（萬(wàn)人次）單日最多接待游客量（萬(wàn)人次）停車(chē)位數(shù)量（個(gè)）第七屆0.86約3000第八屆2.38.2約4000第九屆8（預(yù)計(jì)）20（預(yù)計(jì)）約10500第十屆1.9（預(yù)計(jì)）7.4（預(yù)計(jì)）約_________22．（5分）（2021?北京）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在邊長(zhǎng)為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積．小明發(fā)現(xiàn)，分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）請(qǐng)回答：（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無(wú)縫隙不重疊），則這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)________；（2）求正方形MNPQ的面積．（3）參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線(xiàn)，得到等邊△RPQ．若S△RPQ=，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)________．五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）23．（7分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB關(guān)于該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l的解析式；（3）若該拋物線(xiàn)在﹣2＜x＜﹣1這一段位于直線(xiàn)l的上方，并且在2＜x＜3這一段位于直線(xiàn)AB的下方，求該拋物線(xiàn)的解析式．24．（7分）（2021?北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），將線(xiàn)段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BD．（1）如圖1，直接寫(xiě)出∠ABD的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆唬?）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC=45°，求α的值．25．（8分）（2021?北京）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°，則稱(chēng)P為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)D（，），E（0，﹣2），F(xiàn)（2，0）．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_________．②過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線(xiàn)l上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；（2）若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍．

2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共32分，每小題4分。下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的。1．B2．D3．C4．C5．B6．A7．B8．A解答：解：作OC⊥AP，如圖，則AC=AP=x，在Rt△AOC中，OA=1，OC===，所以y=OC?AP=x?（0≤x≤2），所以y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象為A．故選A．二、填空題（本題共16分，每小題4分）9．10．y=x2+1（答案不唯一）．11．20．解答：解：∵O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，∴OM=CD=AB=2.5，∵AB=5，AD=12，∴AC==13，∵O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，∴BO=AC=6.5，∴四邊形ABOM的周長(zhǎng)為AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故答案為20．12．.（解答：解：當(dāng)a1=2時(shí)，B1的縱坐標(biāo)為，B1的縱坐標(biāo)和A2的縱坐標(biāo)相同，則A2的橫坐標(biāo)為a2=﹣，A2的橫坐標(biāo)和B2的橫坐標(biāo)相同，則B2的縱坐標(biāo)為b2=﹣，B2的縱坐標(biāo)和A3的縱坐標(biāo)相同，則A3的橫坐標(biāo)為a3=﹣，A3的橫坐標(biāo)和B3的橫坐標(biāo)相同，則B3的縱坐標(biāo)為b3=﹣3，B3的縱坐標(biāo)和A4的縱坐標(biāo)相同，則A4的橫坐標(biāo)為a4=2，A4的橫坐標(biāo)和B4的橫坐標(biāo)相同，則B4的縱坐標(biāo)為b4=，即當(dāng)a1=2時(shí)，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣，∵=671，∴a2021=a3=﹣；點(diǎn)A1不能在y軸上（此時(shí)找不到B1），即x≠0，點(diǎn)A1不能在x軸上（此時(shí)A2，在y軸上，找不到B2），即y=﹣x﹣1≠0，解得：x≠﹣1；綜上可得a1不可取0、﹣1．故答案為：﹣、﹣；0、﹣1．三、解答題（本題共30分，每小題5分）13．解答：證明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠ADE，∵在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴BC=AE．14．5.15．﹣1＜x＜16．1217．解答：解：設(shè)每人每小時(shí)的綠化面積x平方米，由題意，得，解得：x=2.5．經(jīng)檢驗(yàn)，x=2.5是原方程的解，且符合題意．答：每人每小時(shí)的綠化面積2.5平方米．18．解答：解：（1）根據(jù)題意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k為正整數(shù)，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解為x=﹣1±，∵方程的解為整數(shù)，∴5﹣2k為完全平方數(shù)，則k的值為2．四、解答題（本題共20分，每小題5分）19．解答：（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．∵F是AD的中點(diǎn)，∴DF=．又∵CE=BC，∴DF=CE，且DF∥CE，∴四邊形CEDF是平行四邊形；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H．在?ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，∴CH=2，DH=2．在?CEDF中，CE=DF=AD=3，則EH=1．∴在Rt△DHE中，根據(jù)勾股定理知DE==．20．解答：（1）證明：PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90°，∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；（2）解：連接OC，∴PA=PC=6，∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4，∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE，∴△OED∽△DEP，∴，在Rt△OED中，OE2+DE2=52，∴OE=．21．解答：解：（1）∵月季園面積為0.04平方千米，月季園所占比例為20%，則牡丹園的面積為：15%×=0.03（平方千米）；（2）植物花園的總面積為：0.04÷20%=0.2（平方千米），則第九屆園博會(huì)會(huì)園區(qū)陸地面積為：0.2×18=3.6（平方千米），第七、八界園博會(huì)的水面面積之和=1+0.5=1.5（平方千米），則水面面積為1.5平方千米，如圖：；（3）由圖標(biāo)可得，停車(chē)位數(shù)量與單日最多接待游客量成正比例關(guān)系，比值約為500，則第十屆園博會(huì)大約需要設(shè)置的停車(chē)位數(shù)量約為：500×7.4≈3.7×103．．故答案為：0.03；3.7×103．22．解答：解：（1）四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a，則斜邊上的高為a，每個(gè)等腰直角三角形的面積為：a?a=a2，則拼成的新正方形面積為：4×a2=a2，即與原正方形ABCD面積相等∴這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)為a．故填空答案為：a．（2）∵四個(gè)等腰直角三角形的面積和為a2，正方形ABCD的面積為a2，∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2．（3）如答圖1所示，分別延長(zhǎng)RD，QF，PE交FA，EC，DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)S，T，W．由題意易得：△RSF，△QEF，△PDW均為底角是30°的等腰三角形，其底邊長(zhǎng)均等于△ABC的邊長(zhǎng)．不妨設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為a，則SF=AC=a．如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)R作RM⊥SF于點(diǎn)M，則MF=SF=a，在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°=a×=a，∴S△RSF=a?a=a2．過(guò)點(diǎn)A作AN⊥SD于點(diǎn)N，設(shè)AD=AS=x，則AN=AD?sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，∴S△ADS=SD?AN=?x?x=x2．∵三個(gè)等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面積和=3S△RSF=3×a2=a2，正△ABC的面積為a2，∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，∴=3×x2，得x2=，解得x=或x=（不合題意，舍去）∴x=，即AD的長(zhǎng)為．故填空答案為：．五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）23．解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，∴A（0，﹣2），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=1，∴B（1，0）；（2）易得A點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（2，﹣2），則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)A′、B，設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，所以，直線(xiàn)l的解析式為y=﹣2x+2；（3）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，∴拋物線(xiàn)在2＜x＜3這一段與在﹣1＜x＜0這一段關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，結(jié)合圖象可以觀(guān)察到拋物線(xiàn)在﹣2＜x＜﹣1這一段位于直線(xiàn)l的上方，在﹣1＜x＜0這一段位于直線(xiàn)l的下方，∴拋物線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣2×（﹣1）+2=4，所以，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（﹣1，4），當(dāng)x=﹣1時(shí)，m+2m﹣2=4，解得m=2，∴拋物線(xiàn)的解析式為y=2x2﹣4x﹣2．24．解答：解：（1）∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等邊三角形，證明：連接AD，CD，ED，∵線(xiàn)段BC繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BD，則BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD為等邊三角形，在△ABD與△ACD中∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∴△ABE是等邊三角形；（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC為等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．25．解答：解：（1）①如圖1所示，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線(xiàn)設(shè)切點(diǎn)為R，∵⊙O的半徑為1，∴RO=1，∵EO=2，∴∠OER=30°，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得出⊙O的左側(cè)還有一個(gè)切點(diǎn)，使得組成的角等于30°，∴E點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，∵D（，），E（0，﹣2），F(xiàn)（2，0），∴OF＞EO，DO＜EO，∴D點(diǎn)一定是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，而在⊙O上不可能找到兩點(diǎn)與點(diǎn)F的連線(xiàn)的夾角等于60°，故在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是D，E；故答案為：D，E；②由題意可知，若P要?jiǎng)偤檬恰袰的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，需要點(diǎn)P到⊙C的兩條切線(xiàn)PA和PB之間所夾的角為60°，由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°，連接BC，則PC==2BC=2r，∴若P點(diǎn)為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)P到圓心的距離d滿(mǎn)足0≤d≤2r；由上述證明可知，考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn)，如圖3，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離OP=2×1=2，過(guò)點(diǎn)O作l軸的垂線(xiàn)OH，垂足為H，tan∠OGF===，∴∠OGF=60°，∴OH=OGsin60°=；sin∠OPH==，∴∠OPH=60°，可得點(diǎn)P1與點(diǎn)G重合，過(guò)點(diǎn)P2作P2M可得∠P2OM=30°，∴OM=OP2cos30°=，從而若點(diǎn)P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則P點(diǎn)必在線(xiàn)段P1P2上，∴0≤m≤；（2）若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線(xiàn)段EF的中點(diǎn)；考慮臨界情況，如圖4，即恰好E、F點(diǎn)為⊙K的關(guān)聯(lián)時(shí)，則KF=2KN=EF=2，此時(shí)，r=1，故若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r≥1．2021年湖南省衡陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿(mǎn)分36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2021?衡陽(yáng)）﹣3的絕對(duì)值是（）A．B．﹣3C．3D．﹣2．（2021?衡陽(yáng)）2021年我省各級(jí)政府將總投入594億元教育經(jīng)費(fèi)用于“教育強(qiáng)省”戰(zhàn)略，將594億元用于科學(xué)記數(shù)法（保留兩個(gè)有效數(shù)字）表示為（）A．5.94×1010B．5.9×1010C．5.9×1011D．6.0×10103．（2021?衡陽(yáng)）下列運(yùn)算正確的是（）A．3a+2a=5a2B．（2a）3=6a3C．（x+1）2=x2+1D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）4．（2021?衡陽(yáng)）函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是（）A．x＞﹣2B．x≥2C．x≠﹣2D．x≥﹣25．（2021?衡陽(yáng)）一個(gè)圓錐的三視圖如圖所示，則此圓錐的底面積為（）A．30πcm2B．25πcm2C．50πcm2D．100πcm26．（2021?衡陽(yáng)）下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．等邊三角形B．平行四邊形C．正方形D．等腰梯形7．（2021?衡陽(yáng)）為備戰(zhàn)2021年倫敦奧運(yùn)會(huì)，甲乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中的成績(jī)?yōu)椋▎挝唬涵h(huán)）甲：910981098乙：8910710810下列說(shuō)法正確的是（）A．甲的中位數(shù)為8B．乙的平均數(shù)為9C．甲的眾數(shù)為9D．乙的極差為28．（2021?衡陽(yáng)）如圖，直線(xiàn)a⊥直線(xiàn)c，直線(xiàn)b⊥直線(xiàn)c，若∠1=70°，則∠2=（）A．70°B．90°C．110°D．80°9．（2021?衡陽(yáng)）擲兩枚普通正六面體骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為11的概率為（）A．B．C．D．10．（2021?衡陽(yáng)）已知⊙O的直徑等于12cm，圓心O到直線(xiàn)l的距離為5cm，則直線(xiàn)l與⊙O的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．無(wú)法確定11．（2021?衡陽(yáng)）為了豐富同學(xué)們的課余生活，體育委員小強(qiáng)到體育用品商店購(gòu)羽毛球拍和乒乓球拍，若購(gòu)1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小強(qiáng)一共用320元購(gòu)買(mǎi)了6副同樣的羽毛球拍和10副同樣的乒乓球拍，若設(shè)每副羽毛球拍為x元，每副乒乓球拍為y元，列二元一次方程組得（）A．B．C．D．12．（2021?衡陽(yáng)）如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，則下列說(shuō)法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，滿(mǎn)分24分）13．（2021?衡陽(yáng)）計(jì)算﹣×=_________．14．（2021?衡陽(yáng)）分式方程的解為x=_________．15．（2021?衡陽(yáng)）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則k=_________．16．（2021?衡陽(yáng)）某校為了豐富學(xué)生的課外體育活動(dòng)，欲增購(gòu)一批體育器材，為此該校對(duì)一部分學(xué)生進(jìn)行了一次題為“你喜歡的體育活動(dòng)”的問(wèn)卷調(diào)查（每人限選一項(xiàng)）根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制成如圖的統(tǒng)計(jì)圖（不完整）：根據(jù)圖中提供的信息得出“跳繩”部分學(xué)生共有_________人．17．（2021?衡陽(yáng)）如圖，⊙O的半徑為6cm，直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為點(diǎn)B，弦BC∥AO，若∠A=30°，則劣弧的長(zhǎng)為_(kāi)________cm．18．（2021?衡陽(yáng)）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣2），則kb=_________．19．（2021?衡陽(yáng)）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，且tan∠ABD=，則菱形ABCD的面積為_(kāi)________cm2．20．（2021?衡陽(yáng)）觀(guān)察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=…根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算sin2a+sin2（90°﹣a）=_________．三、解答題（本大題共8小題，滿(mǎn)分60分）21．（2021?衡陽(yáng)）計(jì)算：（﹣1）2021﹣（﹣3）++．22．（2021?衡陽(yáng)）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．23．（2021?衡陽(yáng)）如圖，AF=DC，BC∥EF，請(qǐng)只補(bǔ)充一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF，并說(shuō)明理由．24．（2021?衡陽(yáng)）如圖，一段河壩的橫截面為梯形ABCD，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出壩底寬AD．（i=CE：ED，單位：m）25．（2021?衡陽(yáng)）在一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4四個(gè)小球，除數(shù)字不同外，小球沒(méi)有任何區(qū)別，每次實(shí)驗(yàn)先攪拌均勻．（1）若從中任取一球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為多少？（2）若從中任取一球（不放回），再?gòu)闹腥稳∫磺?，?qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表格的方法求出兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．（3）若設(shè)計(jì)一種游戲方案：從中任取兩球，兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為1為甲勝，否則為乙勝，請(qǐng)問(wèn)這種游戲方案設(shè)計(jì)對(duì)甲、乙雙方公平嗎？說(shuō)明理由．26．（2021?衡陽(yáng)）如圖，AB是⊙O的直徑，動(dòng)弦CD垂直AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BF∥CD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若AB=10cm．（1）求證：BF是⊙O的切線(xiàn)．（2）若AD=8cm，求BE的長(zhǎng)．（3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD為何種四邊形？并說(shuō)明理由．27．（2021?衡陽(yáng)）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜）秒．解答如下問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？（2）設(shè)△AQP的面積為S，①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2﹣x1，y2﹣y1）稱(chēng)為“向量PQ”的坐標(biāo)．當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)．28．（2021?衡陽(yáng)）如圖所示，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D在拋物線(xiàn)上，且AD平行x軸，交y軸于點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)E在x軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)P（a，b）在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)．（點(diǎn)P異于點(diǎn)O）（1）求此拋物線(xiàn)的解析式．（2）過(guò)點(diǎn)P作CB所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)R，①求證：PF=PR；②是否存在點(diǎn)P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；③延長(zhǎng)PF交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)Q，過(guò)Q作BC所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為S，試判斷△RSF的形狀．

2021年湖南省衡陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿(mǎn)分36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2021?衡陽(yáng)）﹣3的絕對(duì)值是（）A．B．﹣3C．3D．﹣考點(diǎn)：絕對(duì)值。分析：根據(jù)絕對(duì)值的定義：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．則﹣3的絕對(duì)值就是表示﹣3的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．解答：解：|﹣3|=3，故選：C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了絕對(duì)值，關(guān)鍵是掌握：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．2．（2021?衡陽(yáng)）2021年我省各級(jí)政府將總投入594億元教育經(jīng)費(fèi)用于“教育強(qiáng)省”戰(zhàn)略，將594億元用于科學(xué)記數(shù)法（保留兩個(gè)有效數(shù)字）表示為（）A．5.94×1010B．5.9×1010C．5.9×1011D．6.0×1010考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字。分析：學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．有效數(shù)字是從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起后面所有的數(shù)字都是有效數(shù)字．用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字只與前面的a有關(guān)，與10的多少次方無(wú)關(guān)．解答：解：根據(jù)題意先將594億元寫(xiě)成594×108=5.94×1010元．再用四舍五入法保留兩個(gè)有效數(shù)字即得5.9×1010元．故選B．點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)數(shù)M記成a×10n（1≤|a|＜10，n為整數(shù)）的形式，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法．同時(shí)考查近似數(shù)及有效數(shù)字的概念．【規(guī)律】（1）當(dāng)|M|≥1時(shí)，n的值為M的整數(shù)位數(shù)減1；（2）當(dāng)|M|＜1時(shí)，n的相反數(shù)是第一個(gè)不是0的數(shù)字前0的個(gè)數(shù)，包括整數(shù)位上的0．3．（2021?衡陽(yáng)）下列運(yùn)算正確的是（）A．3a+2a=5a2B．（2a）3=6a3C．（x+1）2=x2+1D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）考點(diǎn)：完全平方公式；合并同類(lèi)項(xiàng)；冪的乘方與積的乘方；平方差公式。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)、冪的乘方及完全平方公式的知識(shí)，分別運(yùn)算各選項(xiàng)，從而可得出答案．解答：解：A、3a+2a=5a，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（2a）3=8a3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（x+1）2=x2+2x+1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故本選項(xiàng)正確；故選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了完全平方公式、合并同類(lèi)項(xiàng)及平方差公式，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，難度一般，注意掌握各個(gè)運(yùn)算的法則是關(guān)鍵．4．（2021?衡陽(yáng)）函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是（）A．x＞﹣2B．x≥2C．x≠﹣2D．x≥﹣2考點(diǎn)：函數(shù)自變量的取值范圍。專(zhuān)題：常規(guī)題型。分析：根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計(jì)算即可得解．解答：解：根據(jù)題意得，x+2＞0，解得x＞﹣2．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．5．（2021?衡陽(yáng)）一個(gè)圓錐的三視圖如圖所示，則此圓錐的底面積為（）A．30πcm2B．25πcm2C．50πcm2D．100πcm2考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算；由三視圖判斷幾何體。分析：根據(jù)主視圖與左視圖可以得到：圓錐的底面直徑是10cm，利用圓的面積公式即可求解．解答：解：根據(jù)主視圖與左視圖可以得到：圓錐的底面直徑是10cm，則此圓錐的底面積為：π（）2=25πcm2．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的三視圖，正確理解三視圖得到：根據(jù)主視圖與左視圖可以得到：圓錐的底面直徑是10cm是關(guān)鍵．6．（2021?衡陽(yáng)）下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．等邊三角形B．平行四邊形C．正方形D．等腰梯形考點(diǎn)：中心對(duì)稱(chēng)圖形；軸對(duì)稱(chēng)圖形。分析：根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對(duì)稱(chēng)圖形，以及軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義即可判斷出．解答：解：A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；D、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)的定義，關(guān)鍵是掌握掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分沿對(duì)稱(chēng)軸折疊后可重合；中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．7．（2021?衡陽(yáng)）為備戰(zhàn)2021年倫敦奧運(yùn)會(huì)，甲乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中的成績(jī)?yōu)椋▎挝唬涵h(huán)）甲：910981098乙：8910710810下列說(shuō)法正確的是（）A．甲的中位數(shù)為8B．乙的平均數(shù)為9C．甲的眾數(shù)為9D．乙的極差為2考點(diǎn)：極差；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)。分析：分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)及極差后，選擇正確的答案即可．解答：解：甲：9，10，9，8，10，9，8A．∵排序后為：8，8，9，9，9，10，10∴中位數(shù)為：9；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.9出現(xiàn)了3次，最多，∴眾數(shù)為9，故此選項(xiàng)正確；乙：8，9，10，7，10，8，10，B．（8+9+10+7+10+8+10）÷7=≠9，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．極差是10﹣7=3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)及極差的知識(shí)，解題時(shí)分別計(jì)算出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及極差后找到正確的選項(xiàng)即可．8．（2021?衡陽(yáng)）如圖，直線(xiàn)a⊥直線(xiàn)c，直線(xiàn)b⊥直線(xiàn)c，若∠1=70°，則∠2=（）A．70°B．90°C．110°D．80°考點(diǎn)：平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；直角三角形的性質(zhì)。分析：首先根據(jù)垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行可得a∥b，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行同位角相等可得∠1=∠3．根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠2=∠3，利用等量代換可得到∠2=∠1=70°．解答：解：∵直線(xiàn)a⊥直線(xiàn)c，直線(xiàn)b⊥直線(xiàn)c，∴a∥b，∴∠1=∠3，∵∠3=∠2，∴∠2=∠1=70°．故選：A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線(xiàn)的判定方法與性質(zhì)定理．9．（2021?衡陽(yáng)）擲兩枚普通正六面體骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為11的概率為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：列表法與樹(shù)狀圖法。分析：首先根據(jù)題意列表，然后根據(jù)表格求得所有等可能的情況與所得點(diǎn)數(shù)之和為11的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：列表得：123456123456723456783456789456789105678910116789101112∴所得點(diǎn)數(shù)之和為11的概率為：=．故選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率的知識(shí)．注意列表法與樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．10．（2021?衡陽(yáng)）已知⊙O的直徑等于12cm，圓心O到直線(xiàn)l的距離為5cm，則直線(xiàn)l與⊙O的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．無(wú)法確定考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系。分析：首先求得該圓的半徑，再根據(jù)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行分析判斷．若d＜r，則直線(xiàn)與圓相交；若d=r，則直線(xiàn)于圓相切；若d＞r，則直線(xiàn)與圓相離，進(jìn)而利用直線(xiàn)與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)，相切有一個(gè)交點(diǎn)，相離沒(méi)有交點(diǎn)，即可得出答案．解答：解：根據(jù)題意，得該圓的半徑是6cm，即大于圓心到直線(xiàn)的距離5cm，則直線(xiàn)和圓相交，故直線(xiàn)l與⊙O的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．故選：C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，這里要特別注意12是圓的直徑；掌握直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．11．（2021?衡陽(yáng)）為了豐富同學(xué)們的課余生活，體育委員小強(qiáng)到體育用品商店購(gòu)羽毛球拍和乒乓球拍，若購(gòu)1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小強(qiáng)一共用320元購(gòu)買(mǎi)了6副同樣的羽毛球拍和10副同樣的乒乓球拍，若設(shè)每副羽毛球拍為x元，每副乒乓球拍為y元，列二元一次方程組得（）A．B．C．D．考點(diǎn)：由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組。專(zhuān)題：應(yīng)用題。分析：分別根據(jù)等量關(guān)系：購(gòu)1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，用320元購(gòu)買(mǎi)了6副同樣的羽毛球拍和10副同樣的乒乓球拍，可得出方程，聯(lián)立可得出方程組．解答：解：由題意得，．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象二元一次方程組的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是仔細(xì)審題得出兩個(gè)等量關(guān)系，建立方程組．12．（2021?衡陽(yáng)）如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，則下列說(shuō)法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系。分析：由拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系，由x=1時(shí)的函數(shù)值判斷a+b+c＞0，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸推出2a+b與0的關(guān)系，根據(jù)圖象判斷﹣1＜x＜3時(shí)，y的符號(hào)．解答：解：①圖象開(kāi)口向下，能得到a＜0；②對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，x==1，則有﹣=1，即2a+b=0；③當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，則a+b+c＞0；④由圖可知，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱(chēng)軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，滿(mǎn)分24分）13．（2021?衡陽(yáng)）計(jì)算﹣×=．考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算。分析：首先化簡(jiǎn)第一個(gè)二次根式，計(jì)算后邊的兩個(gè)二次根式的積，然后合并同類(lèi)二次根式即可求解．解答：解：原式=2﹣=，故答案是：點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確運(yùn)用二次根式的乘法簡(jiǎn)化了運(yùn)算，正確觀(guān)察式子的特點(diǎn)是關(guān)鍵．14．（2021?衡陽(yáng)）分式方程的解為x=2．考點(diǎn)：解分式方程。分析：觀(guān)察可得最簡(jiǎn)公分母是x（x+1），方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解答：解：去分母得：2（x+1）=3x，去括號(hào)得：2x+2=3x，移項(xiàng)得：2x﹣3x=﹣2，合并同類(lèi)項(xiàng)得：﹣x=﹣2，把x的系數(shù)化為1得：x=2，檢驗(yàn)：把x=2代入最簡(jiǎn)公分母x（x+1）=6≠0，故原分式方程的解為：x=2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；解分式方程一定注意要驗(yàn)根．15．（2021?衡陽(yáng)）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則k=﹣6．考點(diǎn)：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式。分析：首先根據(jù)圖象寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法把P點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得到k的值．解答：解：根據(jù)圖象可得P（3，﹣2），把P（3，﹣2）代入反比例函數(shù)y=中得：k=xy=﹣6，故答案為：﹣6．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，凡是圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)都能滿(mǎn)足解析式．16．（2021?衡陽(yáng)）某校為了豐富學(xué)生的課外體育活動(dòng)，欲增購(gòu)一批體育器材，為此該校對(duì)一部分學(xué)生進(jìn)行了一次題為“你喜歡的體育活動(dòng)”的問(wèn)卷調(diào)查（每人限選一項(xiàng)）根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制成如圖的統(tǒng)計(jì)圖（不完整）：根據(jù)圖中提供的信息得出“跳繩”部分學(xué)生共有50人．考點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖。分析：先求得總?cè)藬?shù)，然后用總?cè)藬?shù)減去其他各個(gè)小組的頻數(shù)即可．解答：解：∵從條形統(tǒng)計(jì)圖知喜歡球類(lèi)的有80人，占40%∴總?cè)藬?shù)為80÷40%=200人∴喜歡跳繩的有200﹣80﹣30﹣40=50人，故答案為50．點(diǎn)評(píng)：本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖及扇形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從兩種統(tǒng)計(jì)圖中整理出進(jìn)一步解題的有關(guān)信息．17．（2021?衡陽(yáng)）如圖，⊙O的半徑為6cm，直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為點(diǎn)B，弦BC∥AO，若∠A=30°，則劣弧的長(zhǎng)為2πcm．考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算；等邊三角形的判定與性質(zhì)；切線(xiàn)的性質(zhì)。專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合。分析：根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得出OB⊥AB，繼而求出∠BOA的度數(shù)，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度數(shù)，代入弧長(zhǎng)公式即可得出答案．解答：解：∵直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)，∴OB⊥AB，又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°，∵弦BC∥AO，OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，即可得∠BOC=60°，∴劣弧的長(zhǎng)==2πcm．故答案為：2π．點(diǎn)評(píng)：此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、切線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)及圓的性質(zhì)得出△OBC是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵，另外要熟練記憶弧長(zhǎng)的計(jì)算公式．18．（2021?衡陽(yáng)）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣2），則kb=﹣8．考點(diǎn)：兩條直線(xiàn)相交或平行問(wèn)題。分析：根據(jù)兩條平行直線(xiàn)的解析式的k值相等求出k的值，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求出b值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．解答：解：∵y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行，∴k=2，∵y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣2），∴2+b=﹣2，解得b=﹣4，∴kb=2×（﹣4）=﹣8．故答案為：﹣8．點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩直線(xiàn)平行的問(wèn)題，根據(jù)兩平行直線(xiàn)的解析式的k值相等求出k=2是解題的關(guān)鍵．19．（2021?衡陽(yáng)）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，且tan∠ABD=，則菱形ABCD的面積為24cm2．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；解直角三角形。專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合。分析：連接AC交BD于點(diǎn)O，則可設(shè)BO=3x，AO=4x，繼而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB，結(jié)合菱形的周長(zhǎng)為20cm可得出x的值，再由菱形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半即可得出答案．解答：解：連接AC交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，設(shè)BO=3x，AO=4x，則AB=5x，又∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，∴4×5x=20cm，解得：x=1，故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm，故可得AC×BD=24cm2．故答案為：24．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分的性質(zhì)，及菱形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半是解答本題的關(guān)鍵．20．（2021?衡陽(yáng)）觀(guān)察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=…根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算sin2a+sin2（90°﹣a）=1．考點(diǎn)：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系。專(zhuān)題：規(guī)律型。分析：根據(jù)①②③可得出規(guī)律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，繼而可得出答案．解答：解：由題意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案為：1．點(diǎn)評(píng)：此題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于規(guī)律型題目，注意根據(jù)題意總結(jié)，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是個(gè)恒等式，同學(xué)們可以記住并直接運(yùn)用．三、解答題（本大題共8小題，滿(mǎn)分60分）21．（2021?衡陽(yáng)）計(jì)算：（﹣1）2021﹣（﹣3）++．考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：分別計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的化簡(jiǎn)，然后合并即可得出答案．解答：解：原式=1+3﹣2+3=5．點(diǎn)評(píng)：此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握各部分的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題，注意細(xì)心運(yùn)算．22．（2021?衡陽(yáng)）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．考點(diǎn)：解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集。專(zhuān)題：探究型。分析：分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．解答：解：∵由①得，x＞﹣1；由②得，x≤4，∴此不等式組的解集為：﹣1＜x≤4，在數(shù)軸上表示為：點(diǎn)評(píng)：本題考查的是在數(shù)軸上表示一元一次不等式組的解集，熟知實(shí)心圓點(diǎn)與空心圓點(diǎn)的區(qū)別是解答此題的關(guān)鍵．23．（2021?衡陽(yáng)）如圖，AF=DC，BC∥EF，請(qǐng)只補(bǔ)充一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：全等三角形的判定。專(zhuān)題：開(kāi)放型。分析：首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上條件EF=BC即可利用SAS證明△ABC≌△DEF．解答：解：補(bǔ)充條件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，，∴△EFD≌△BCA（SAS）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．24．（2021?衡陽(yáng)）如圖，一段河壩的橫截面為梯形ABCD，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出壩底寬AD．（i=CE：ED，單位：m）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題。分析：作BF⊥AD于點(diǎn)于F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的長(zhǎng)，在直角△CED中，利用坡比的定義即可求得ED的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求得AD的長(zhǎng)．解答：解：作BF⊥AD于點(diǎn)F．則BF=CE=4m，在直角△ABF中，AF===3m，在直角△CED中，根據(jù)i=，則ED===4m．則AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=（7.5+4）m．答：壩底寬AD為（7.5+4）m．點(diǎn)評(píng)：本題考查了坡度坡角的問(wèn)題，把梯形的計(jì)算通過(guò)作高線(xiàn)轉(zhuǎn)化成直角三角形的計(jì)算是解決本題的基本思路．25．（2021?衡陽(yáng)）在一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4四個(gè)小球，除數(shù)字不同外，小球沒(méi)有任何區(qū)別，每次實(shí)驗(yàn)先攪拌均勻．（1）若從中任取一球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為多少？（2）若從中任取一球（不放回），再?gòu)闹腥稳∫磺?，?qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表格的方法求出兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．（3）若設(shè)計(jì)一種游戲方案：從中任取兩球，兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為1為甲勝，否則為乙勝，請(qǐng)問(wèn)這種游戲方案設(shè)計(jì)對(duì)甲、乙雙方公平嗎？說(shuō)明理由．考點(diǎn)：游戲公平性；概率公式；列表法與樹(shù)狀圖法。分析：（1）由不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4四個(gè)小球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的是2與4，利用概率公式即可求得答案；（2）首先畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況，利用概率公式即可求得答案；（3）分別求得甲勝與乙勝的概率，比較概率，即可得出結(jié)論．解答：解：（1）∵不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4四個(gè)小球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的是2與4，∴從中任取一球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為：=；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4種情況，∴兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為：=；（3）∵兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為1的有（1，2），（2，3），（3，4），（4，3）共4種情況，∴P（甲勝）==，P（乙勝）=，∴P（甲勝）≠P（乙勝），∴這種游戲方案設(shè)計(jì)對(duì)甲、乙雙方不公平．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．26．（2021?衡陽(yáng)）如圖，AB是⊙O的直徑，動(dòng)弦CD垂直AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BF∥CD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若AB=10cm．（1）求證：BF是⊙O的切線(xiàn)．（2）若AD=8cm，求BE的長(zhǎng)．（3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD為何種四邊形？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：幾何綜合題。分析：（1）欲證明BF是⊙O的切線(xiàn)，只需證明AB⊥BF即可；（2）連接BD，在直角三角形ABD中，利用攝影定理可以求得AE的長(zhǎng)度，最后結(jié)合圖形知BE=AB﹣AE；（3）連接BC．四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行、平行線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直徑，然后由全等三角形的判定與性質(zhì)推知AC=BD；根據(jù)正方形的判定定理證得四邊形ACBD是正方形．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，BF∥CD，∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切線(xiàn)；（2）如圖1，連接BD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；又∵DE⊥AB∴AD2=AE?AB；∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm；（3）連接BC．四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形．理由如下：∵四邊形CBFD為平行四邊形，∴BC∥FD，即BC∥AD；∴∠BCD=∠ADC（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所對(duì)的圓周角相等），∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；又∵∠BDA=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°，∴CD是⊙O的直徑，即點(diǎn)E與點(diǎn)O重合（或線(xiàn)段CD過(guò)圓形O），如圖2，在△OBC和△ODA中，∵，∴△OBC≌△ODA（SAS），∴BC=DA（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∴四邊形ACBD是平行四邊形（對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；∵∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），AC=AD，∴四邊形ACBD是正方形．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線(xiàn)的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．27．（2021?衡陽(yáng)）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜）秒．解答如下問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？（2）設(shè)△AQP的面積為S，①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2﹣x1，y2﹣y1）稱(chēng)為“向量PQ”的坐標(biāo)．當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)．考點(diǎn)：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例；二次函數(shù)的最值；勾股定理；三角形中位線(xiàn)定理。專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題；動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）如圖①所示，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，利用平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，列線(xiàn)段比例式，求出t的值；（2）①求S關(guān)系式的要點(diǎn)是求得△AQP的高，如圖②所示，過(guò)點(diǎn)P作過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，構(gòu)造平行線(xiàn)PD∥BO，由線(xiàn)段比例關(guān)系求得PD，從而S可求出．S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值；②本問(wèn)關(guān)鍵是求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．當(dāng)S取最大值時(shí)，可推出此時(shí)PD為△OAB的中位線(xiàn)，從而可求出點(diǎn)P的縱橫坐標(biāo)，又易求Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；求得P、Q的坐標(biāo)之后，代入“向量PQ”坐標(biāo)的定義（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．解答：解：（1）∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8，∴AB===10．如圖①，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，AQ=2t，BP=3t，則AP=10﹣3t．∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，∴當(dāng)t=秒時(shí)，PQ∥BO．（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．①如圖②所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則PD∥BO，∴，即，解得PD=6﹣t．S=AQ?PD=?2t?（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），當(dāng)t=秒時(shí)，S取得最大值，最大值為5（平方單位）．②如圖②所示，當(dāng)S取最大值時(shí)，t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又PD∥BO，∴此時(shí)PD為△OAB的中位線(xiàn)，則OD=OA=4，∴P（4，3）．又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．依題意，“向量PQ”的坐標(biāo)為（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．∴當(dāng)S取最大值時(shí)，“向量PQ”的坐標(biāo)為（，﹣3）．點(diǎn)評(píng)：本題是典型的動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題，解題過(guò)程中，綜合利用了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理（或相似三角形的判定與性質(zhì)）、勾股定理、二次函數(shù)求極值及三角形中位線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．第（2）②問(wèn)中，給出了“向量PQ”的坐標(biāo)的新定義，為題目增添了新意，不過(guò)同學(xué)們無(wú)須為此迷惑，求解過(guò)程依然是利用自己所熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)．28．（2021?衡陽(yáng)）如圖所示，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D在拋物線(xiàn)上，且AD平行x軸，交y軸于點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)E在x軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)P（a，b）在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)．（點(diǎn)P異于點(diǎn)O）（1）求此拋物線(xiàn)的解析式．（2）過(guò)點(diǎn)P作CB所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)R，①求證：PF=PR；②是否存在點(diǎn)P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；③延長(zhǎng)PF交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)Q，過(guò)Q作BC所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為S，試判斷△RSF的形狀．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合。分析：（1）根據(jù)題意能判斷出點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，因此D、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，得到A、D的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法可確定拋物線(xiàn)的解析式．（2）①首先根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式，用一個(gè)未知數(shù)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PF、RF的長(zhǎng)，兩者進(jìn)行比較即可得證；②首先表示RF的長(zhǎng)，若△PFR為等邊三角形，則滿(mǎn)足PF=PR=FR，列式求解即可；③根據(jù)①的思路，不難看出QF=QS，若連接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°減去這個(gè)和值即可判斷出△RSF的形狀．解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴A、D關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)；∵E是AB的中點(diǎn)，∴O是矩形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，又B（2，1）∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）；由于拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（0，0），可設(shè)其解析式為：y=ax2，則有：4a=﹣1，a=﹣∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=﹣x2．（2）①證明：由拋物線(xiàn)的解析式知：P（a，﹣a2），而R（a，1）、F（0，﹣1），則：則：PF===a2+1，PR==a2+1．∴PF=PR．②由①得：RF=；若△PFR為等邊三角形，則RF=PF=FR，得：=a2+1，即：a4﹣a2﹣3=0，得：a2=﹣4（舍去），a2=12；∴a=±2，﹣a2=﹣3；∴存在符合條件的P點(diǎn)，坐標(biāo)為（2，﹣3）、（﹣2，3）．③同①可證得：QF=QS；在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）；同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）；∵QS⊥BC、PR⊥BC，∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形．點(diǎn)評(píng)：該題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、矩形的性質(zhì)、特殊三角形的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．在解答題目時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，并靈活應(yīng)用前面小題中證得的結(jié)論．2021年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽高一年級(jí)復(fù)賽試題及參考解答2010年5月一、填空題小題號(hào)12345答案202151.函數(shù)是定義在R上的周期為3的函數(shù),右圖中表示的是該函數(shù)在區(qū)間上的圖像.則的值等于.答:.理由:則2.方程的所有根的立方和等于.答:.解:方程等價(jià)于………=1\*GB3①與……=2\*GB3②由=1\*GB3①得：，由=2\*GB3②得：，所以所以.所以.3.如右圖,AB與⊙O切于點(diǎn)A.連接B與⊙O內(nèi)一點(diǎn)D的線(xiàn)段交圓于點(diǎn)C.并且AB=6，DC=CB=3，OD=2，則⊙O的半徑等于.答：解:延長(zhǎng)BD交圓于E，延長(zhǎng)OD交圓于F，G（如左圖）.FG是⊙O的直徑.設(shè)⊙O的半徑為r，由切割線(xiàn)定理，有即所以DE=6.由相交弦定理可得即所以解得.4．滿(mǎn)足方程的函數(shù).答：解：取x=1和x=0代入方程，得，進(jìn)而得于是經(jīng)檢驗(yàn)，所求的函數(shù)滿(mǎn)足方程.5．若一個(gè)自然數(shù)比它的數(shù)字和恰好大2007,這樣的自然數(shù)叫做“好數(shù)”,則所有“好數(shù)”的和等于.答:20215.解：設(shè)其中是自然數(shù)n的數(shù)字和.則函數(shù)是非嚴(yán)格的增函數(shù).所以滿(mǎn)足條件的所有自然數(shù)只有10個(gè)：2021，2021，2021，2021，202