數(shù)分相關(guān)第十一章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

無窮多個(gè)數(shù)相加，稱為無窮（數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)，ana1a2 an Sna1a2 ann個(gè)部分和，若limSnS(S有限數(shù)是收斂的，否則，稱級(jí)數(shù)發(fā)散數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)uia1(a2a1)(a3a2) (anan1) 數(shù)可以看成是一種特殊的數(shù)列借助數(shù)列的收斂性結(jié)果，可以得到由一般項(xiàng)un刻畫的級(jí)數(shù)的斂散性結(jié)果如果級(jí)數(shù)

都收斂，那么級(jí)數(shù)(anbn)也收斂，而且 (anbn)anbn，此處是任意兩個(gè)實(shí)數(shù) 級(jí) an收斂的充分必要條件是，對(duì)任意的0，存在正整數(shù)NN()，使得nnNp，都有|SnpSn||ai|lima0

n正項(xiàng)級(jí)數(shù)

(an比較判別法

設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)a和b，如果從某 b收斂aa發(fā)散anbn

n

bn發(fā)散.nan~bn，則兩級(jí)數(shù)同斂散nn比較判別法的極限形式：設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)a和blimnn

n 那么：①若0l，則an和bn l0，則當(dāng)bnan l，則當(dāng)bnan Cauchyx1f(x0且遞減，那么級(jí)數(shù)f(n無窮積分 f(x)dx同斂散Cauchy（根值判別法：若a0，且limsupn

q①若q1an收斂；q1an發(fā)散；（q1失效 D’Alembert判別法（比值判別法：an0①若lim②若lim

q1，那 an收斂q'1，那 an發(fā)散a： 0，limn(an1)q，那么a ①若q1，an收斂；②若q1，an發(fā)散 （q1失效 n交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)nan

n如{an}遞減趨于0，那么交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)nan

(an0)收斂，且有|SnS|an1一般級(jí)數(shù)的收斂性（anbn型 如果{an}，{bn}滿足：①{bn}單調(diào)有界；②an收斂；那么anbn收斂

kan那么anbn收斂 若級(jí)

收斂，則級(jí)數(shù)an必收斂，此時(shí)級(jí)數(shù)稱為絕對(duì)收斂 若級(jí)數(shù)an收斂，而級(jí)數(shù)an發(fā)散，此時(shí)級(jí)數(shù)稱為條件收斂 例1根據(jù)下述每一個(gè)條件能否斷定級(jí) an收斂部分和數(shù)列{S有界，且lima0 nk

和a2k1均收斂k 答：1）不能.當(dāng)an同號(hào)時(shí)，僅由{Sn有界就可推出ann nnnnlimS不存在，故級(jí)數(shù)發(fā)散n

n1)lima0S

2）能.利用原級(jí)數(shù)與a2ka2k1的部分和之間的關(guān)系易見k k 例2證明級(jí)數(shù) 收斂，并求其和1 6

5n45n證：因?yàn)橥?xiàng)u 1 ，所 S1 1 6 5n45n

n 5n

1 5 5n1 于是lim

lim11 n5 5n 3設(shè)數(shù)列{nan}收斂,級(jí)數(shù)n(anan1收斂.證明級(jí)數(shù)an 由于k(akak1nanakn-1k k Sn1aknank(akak1)k k4求級(jí)數(shù)

4n13 的和4 2解：因?yàn)閹缀渭?jí)數(shù)5

5n0 n0 4n13 164 62 =

55

5n05

n0 =

1

65

12 n例5：用Cauchy收斂準(zhǔn)則證明調(diào)和級(jí)數(shù) n

n

1n

n

n

1n

np 1p

Snp1

n 從而，如果ε=2NnNp0Snpn n

6求級(jí)數(shù)

arctan

的和

arctanx–arctany=arctanxy1arctan1

=arctan

2nn k

2n從而lims 所以n

1= k

0,且級(jí)數(shù)un收斂，則limnun 證：已知unCauchyε>0,N,n>N,p=n,un+1un+2+…由已知條件，u1u2

nu2n<ε2nu2n<2，lim2nu2n又由已知nNu2nu2n+1,2n

2n.n由limn

所以limnu 8設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)an收斂,且和為Slima12a2 nan;(2)

a12a2 nan n n(n a12a2 nanSnSnS1SnS2 SnSn1 SS1S2 Sn1SS1S2 Sn1n1 所以lima12a2 SS

n a12a2 nana12a2 nana12a2 nann(n1) n1a12a2 nana12a2 nan(n1)an1 n bba12a2 nan,則a12a2 nan

n(n 所以

a12a2 nanb

an

n(n

n

n 1判斷級(jí)數(shù)n2sin23n25)解：因 1,由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂n2sin2(3n2 e 例2判斷級(jí) n!(

n

解：由于liman1 ，且(11)n單調(diào)增加趨于e，故有an1 n nan1an0，從而liman0

(11n3設(shè)a4tannxdx，試證：對(duì)任意的常數(shù)0，級(jí)數(shù)an

n11 分析:要證對(duì)任意的常數(shù)0，級(jí)數(shù)收斂，如能證得an 證:an4tan

xdx

1tndt

1

11 1t 1

n

t4判斷級(jí)數(shù)ln(n!)的收斂性，其中t0解：當(dāng)t1時(shí)

an

t

t

（n2當(dāng)t1時(shí),由ln(n!)lnnln(n1) ln2ln1nlnn,t anln(n!)nlnnCauchynlnn5

n2sin n

(

nn n)pln ，pn3 3

n n n n

nnnn 2

)na ~ ，所以a~ ，得 3 3極限形式可知

nsin1

1

n n因n

n)p ~(n(n1 n

，ln n nn

) n a

11

，故

nplnn1

， n n

n因?yàn)?/p>

n1ln(1111o(1，且lnn11) n )0a1lnn1 1o(1a~

1lnn1

，n1 nnnnnnno( 1(11)11(11(1)2 111o(1nnnnnnno( n3/ n3/ n所以an n

n3/

) n3/ n3/6 n（1）1 (2)n (0)nn1 1cos

2n

2，而n

1cos也收斂n

n1 1 1n1 n n 1n1時(shí)，級(jí)數(shù)變 np1即1時(shí)發(fā)散p1即1時(shí)收斂7設(shè)

0,p1,且limnp(e11)a1.a收斂試確定p的取值范圍n n

解:因?yàn)閑n1 (n),所以limn(en

limn

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知若an收斂,p11,p的取值范圍應(yīng)為(2, 判斷級(jí)數(shù)

k k k ke1n1 11 解:因?yàn)?/p>

n 1n1n

ke 所以當(dāng)ke時(shí)， <1，級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)ke時(shí)， >1級(jí)數(shù)發(fā)散 例9a1,a2,a3,

收斂，反之不成立 an12 1 所以 a1an

收斂1,n 1反之不成立，例如an1

,n2k

發(fā)散 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x00有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且f(0)0.試證明⑴若f(0)0 則級(jí)數(shù)⑵若f(0)0 則級(jí)

f(1發(fā)散nf(1收斂n ,f(x)f(0)f(0)xf()x211

f(0)xf()x2 介于0x之間2f )n

f(0)1n

f()1 若f(0)0,則當(dāng)n充分大時(shí)f )不變號(hào),可認(rèn)為

f nf(1)f(0)1,1,

1f

n1 若f(0)0,注意到f(x)在點(diǎn)x00連續(xù) f(x)在點(diǎn)x00的某鄰域內(nèi)界,f f(x)2M 有 1f n

1M1221

f(1),

f n1

1設(shè)anlimnan0 2)．若對(duì)nN*an同號(hào)，則limnan0解:1).2

a1)n1 2)．當(dāng){a}單調(diào)時(shí)，有l(wèi)im

0 不趨向于0，但是對(duì)nN*S

1

1121 k1kk

k1k1k p1p k1kk從而級(jí)數(shù)an收斂2設(shè)(1)na

(an0)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由liman0

n( 1)131)145n11

收斂 nnnn例3an0.證明級(jí)數(shù)ansin

和ancosnx對(duì)x02x x 2 coskx x k

2sin(n1)xsin(n sin(n1)x 2) sin(n1)x(0,2)時(shí)，sinx0， coskx n 2sin2x02時(shí),級(jí)數(shù)coskx的部分和有界.Dirichletancosnxansinnx 注an

ln

例4討論級(jí) ln(1

)n

p0)分析：盡管此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但由于|an||ln(1

n 1 )n

2po2p 1

令bn2n2

on2p，bn~2n2p，所以級(jí)數(shù)bn與n2p 當(dāng)p1時(shí)，n 絕對(duì)收斂，bn絕對(duì)收斂，故ln(1

)n

當(dāng)2p1時(shí)，n 條件收斂，bn絕對(duì)收斂故ln(1

)n

當(dāng)0p 條件收斂，bn發(fā)散，故ln(1

)n 設(shè)f(x)單調(diào)下降且非負(fù)，a1，試證f(n)與anf(an)有相同的斂散性

f(x)dx1f(x)dx與

f(a

選擇合適的{xn}1f(x)dxn1

f(x)dxx1

f(x)dx

f(x)dx f(n

a)(a f(n)a其中n(an,an1),n 因?yàn)閒(x)單調(diào)下降且非負(fù)，0f(an1)f(n)f(an)，n

f(an1)an1

f(x)dx(a

f(an f

af(a

Cauchy積分判別法，f(n與

f(x)dx

注：Cauchy積分判別法直接斷言

f(a1f(a)adxf(xf(ax)axf(x)1 a6設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)減少，且(1)an發(fā)散，證明級(jí)數(shù)a

收斂證：由正項(xiàng)數(shù)列{a}單調(diào)減少且有下界，知數(shù)列收斂，設(shè)limaaa0 n若a0，則 判別法知(1)nan收斂，所以a0，于 an a所以可知級(jí)數(shù)收斂 設(shè)級(jí)數(shù)(anan1)絕對(duì)收斂,bn收斂.證明級(jí)數(shù)anbn收斂n證：先證數(shù)列{an}收斂.事實(shí)上 (aiai1)ana0收斂

n令Bn bi,則數(shù)列{Bn}收斂,故有界.設(shè)|Bn|M,于是由Abel變換, SnaibianBn(aiai1)Bi1,(或anBn(ai1ai 而|aiai1||Bi|M|aiai1| (aiai1)Bi1收斂. 數(shù)列{an}和{Bn}收斂, 數(shù)列{anBn}收斂, 部分和數(shù)列{Sn}收斂 判斷級(jí)數(shù)(

lnnlnnnx01x時(shí)，有l(wèi)n(1xx.lnn1ln(11)1

lnn1 ln(1 1) 1即n

lnn11

n11

n

nlnnn于是01 1 lnnn1

n(n1)nn

.2n3/(

lnnnlnnn例9．討論np p1p1

~1，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；np n ~1，級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂； n 111111 1

2n

(12)(34) (2n12n) 111111 1 2n (1)

)

) (