第09講數(shù)形思想課-二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）-2022年八升九數(shù)學(xué)核心考點精講精練（蘇科版）（解析版）

數(shù)形思想課--二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）模塊一、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)方法技巧理解并掌握二次函數(shù)的圖象的形狀(拋物線)、頂點(最高點或最低點)、開口方向(向上或向下)、對稱軸等知識，運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.01.開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)及位置01.開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)及位置例題精講 例題精講【例1】(1)拋物線y＝2x2＋1的開口方向是，對稱軸是，頂點坐標(biāo)是；二次函數(shù)y＝－(x＋1)2﹣2的圖象的開口方向是，對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是(﹣1.﹣2).(2)拋物線y＝2x2＋1在x軸的方；當(dāng)x＞0時，圖象自左向右逐漸，它的頂點是最低點；拋物線y＝－(x＋1)2﹣2，當(dāng)x時，它的圖象在x軸的，頂點是。【解析】當(dāng)a＞0時，開口向上；當(dāng)a＜0時，開口向下，y＝a(x﹣h)2＋k的頂點坐標(biāo)為(h，k)，對稱軸是直線x＝h；當(dāng)a＞0時，拋物線的頂點為最低點，當(dāng)a＜0時，拋物線的頂點為最高點。02.拋物線的開口大小02.拋物線的開口大小例題精講 例題精講【例2】如圖，若拋物線y＝ax2與四條直線x＝1，x＝2，y＝1，y＝2圍成的正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是()A.≤a≤1 B．≤a≤2 C.≤a≤1 D.≤a≤2【解析】確定a的取值范圍，就是探究拋物線的開口大小，當(dāng)拋物線經(jīng)過點D時，開口最??；拋物線經(jīng)過點B時，開口最大，而這兩條拋物線的解析式的a值分別2，，∴≤a≤2.故選Ｄ．【點評】|a|越大，開口越?。粅a|越小，開口越大?！纠?】如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出①y＝x2；②y＝－x2，③y＝－2x2的圖象，則三個圖象I，Ⅱ，Ⅲ對應(yīng)的拋物線的解析式依次是②③①.【解析】當(dāng)a＞0時，開口向上，當(dāng)a＜0時，開口向下；當(dāng)|a|越大，開口越小，當(dāng)|a|越小，開口越大。故拋物線I的解析式為y＝－x2，拋物線Ⅱ的解析式為y＝﹣2x2；拋拋物線Ⅲ的解析式為y＝x2.故填②③①03.拋物線的對稱性03.拋物線的對稱性例題精講 例題精講【例4】拋物線y＝ax2＋bx＋5經(jīng)過A(2,5).B(﹣1,2)兩點。若點C在該拋物線上，則點C的坐標(biāo)可能是()A.(﹣2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2) D.(2,2)【解析】拋物線經(jīng)過(0，5)，A(2,5)，由對稱性可知對稱軸為直線x＝1，由對稱性知點B(﹣1，2)關(guān)于對稱軸的對稱點為(3，2)，故選C.舉一反三 舉一反三已知二次函數(shù)y＝－x2＋1，其圖象的開口向，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，該圖象的頂點是最點?！敬鸢浮肯?；直線x=0；（0,1）；高2.如圖，點A1，A2，…，An。在拋物線y＝x2上，點B1，B2，.…，Bn。在y軸上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn。都為等腰直角三角形(點B0為坐標(biāo)原點)，則△A2019B2018B2019的腰長等于()A.2018 B.2019 C.2018 D.2019【答案】選C3.如圖，拋物線y＝a(x﹣h)2＋k與x軸的一個交點A在點(－2，0)和(－1，0)之間(包括這兩個點)，頂點C是矩形DEFG區(qū)域內(nèi)(包括邊界和內(nèi)部)的一個動點，則a的取值范圍是.【答案】﹣≤a≤－模塊二、二次函數(shù)的增減性方法技巧比較二次函數(shù)值的大小的方法：(1)代入比較法：若已知函數(shù)的解析式，則將幾個點的橫坐標(biāo)分別代入，求出相應(yīng)的函數(shù)值，再比較大??；(2)增減性比較法：當(dāng)點在對稱軸同側(cè)時，直接根據(jù)函數(shù)的增減性比較大?。划?dāng)點不在對稱軸的同側(cè)時，利用二次函數(shù)圖象的對稱性，將點轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè)，再比較.(3)根據(jù)點到對稱軸的距離比較大小：當(dāng)拋物線開口向上時，點到對稱軸的距離越大，相應(yīng)的函數(shù)值大，當(dāng)拋物線開口向下時，點到對稱軸的距離越大，相應(yīng)的函數(shù)值越小。01.運用增減性比較大小01.運用增減性比較大小例題精講 例題精講【例1】若點A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2).C(3，y3)為二次函數(shù)y＝(x＋1)2＋k的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是()A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2：【解析】對稱軸為直線x＝﹣1，點C(3，y1)關(guān)于直線x＝﹣1的對稱點C’(﹣5，y3)，∵a＞0，﹣5＜﹣4＜﹣3，y2＜y1＜y3，應(yīng)選B.【例2】下列關(guān)于函數(shù)y＝(x﹣3)2＋1的四個命題：①當(dāng)x＝0時，y有最小值10；②n為任意實數(shù)，x＝3＋n時的函數(shù)值大于x＝3﹣n時的函數(shù)值；③若n＞3，且n是整數(shù)，當(dāng)n≤r≤n＋1時，y的整數(shù)值有(2n一4)個；④若函數(shù)圖象過點(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，則a＜b，其中真命題的序號是()A.① B.② C.③ D.④【答案】Ｃ02.運用增減性求對稱軸的取值范圍02.運用增減性求對稱軸的取值范圍例題精講 例題精講【例3】二次函數(shù)y＝﹣(x﹣h)2＋2的圖象上有兩點A(1，y1)，B(2，y2)，若y1≤y2，則h的取值范圍為＿＿＿＿＿【解析】∵a＜0，y1≤y2，∴點B距離對稱軸較近，.∴h﹣1≥2﹣h，∴h≥203.增減性與頂點坐標(biāo)的關(guān)系03.增減性與頂點坐標(biāo)的關(guān)系例題精講 例題精講【例4】關(guān)于x的二次函數(shù)y＝(x﹣m)2﹣1，當(dāng)－1≤x≤3時，函數(shù)有最小值－2m＋11，則m的值為__________【解析】當(dāng)頂點(m，－1)在區(qū)間的左側(cè)，即m≤－1時，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝﹣1時，有最小值(﹣1﹣m)2﹣1＝﹣2m＋11，解得m1＝﹣3﹣4，m2＝﹣3＋4(舍)，當(dāng)－1＜m≤3時，－2m＋11＝﹣1，解得m＝6(舍)當(dāng)m＞3時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＝3時，有最小值，(3﹣m)2﹣1＝﹣2m＋11，解得m1＝﹣3(舍)，m2＝5，綜上，m的值為－3﹣4或5.舉一反三 舉一反三1.若拋物線y＝ax2(a＜0)經(jīng)過點A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，則()A.y1＞y2＞y3 B.y1＜y3＜y2 C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2【答案】A2.二次函數(shù)y＝(x－h(huán))2＋1(h為常數(shù))，在自變量x的值滿足1≤x≤3時，其函數(shù)y的最小值為5，則h的值為()A.1或－5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3【答案】B模塊三、拋物線的平移、對稱變換方法技巧01.拋物線沿水平方向平移規(guī)律01.拋物線沿水平方向平移規(guī)律例題精講 例題精講【例1】將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移1個單位長度得到y(tǒng)＝____________；將二次函數(shù)y＝－(x－1)2的圖象向右平移2個單位長度得到y(tǒng)＝____________【解析】向左平移1個單位長度，自變量x變?yōu)?x＋1)，即y＝(x＋1)2，向右平移2個單位長度，自變量x變?yōu)?x﹣2)，即y＝﹣(x﹣3)2.【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，平行于x軸的直線與拋物線y＝ax2相交于A，B兩點(點B在第一象限)，當(dāng)a＝1，點B的縱坐標(biāo)為2時，向右平移拋物線使該拋物線經(jīng)過點B，與AB的延長線交于點C，求平移后的拋物線的解析式.【解析】y＝x2，當(dāng)y＝2時，2＝x2，.xA＝，xB＝－，AB＝2，將y＝x2向右平移2個單位，則平移后的拋物線的解析式為y＝(x－2)2.02.拋物線沿豎直方向平移規(guī)律02.拋物線沿豎直方向平移規(guī)律例題精講 例題精講【例3】將二次函數(shù)y＝(x﹣2)2＋1的圖象沿y軸向上平移得到一個新函數(shù)的圖象，其中點A(1，m)，B(4，n)平移后的對應(yīng)點分別為A'，B'.若曲線段AB掃過的面積為9，則新圖象的函數(shù)解析式是()A.y＝(x﹣2)2﹣2 B.y＝(x﹣2)2＋7 C.y＝(x﹣2)2﹣5 D.y＝(x﹣2)2＋4 【解析】連接AB，A'B'，則S陰影＝S四邊形AA'B'Ｂ，由平移可知，AA'＝BB'.AA'//BB'，∴四邊形ABＢ'A'是平行四邊形，分別延長A'A，B'B，交x軸于點M，N.∵A(l，m).B(4，n)，∴MN＝4－1＝3，S平行四邊形ABB'A'＝AA'*MN，9＝3AA'，∴AA'＝3，即沿y軸向上平移了3個單位長度，∴平移后的函數(shù)的解析式為y＝(x﹣2)2＋4.故選D.03.拋物線沿斜傾方向平移規(guī)律03.拋物線沿斜傾方向平移規(guī)律例題精講 例題精講【例4】將二次函數(shù)y＝3(x﹣1)2＋2的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的圖象的解析式是()A.y＝3(x﹣3)2＋5 B.y＝3(x＋1)2﹣1 C.y＝3(x﹣3)﹣1 D.y＝3(x＋1)2＋5【解析】y＝3(x﹣1)2＋2的頂點坐標(biāo)為(1，2)，平移后的頂點坐標(biāo)為(－1，－1)，∴平移后的圖象所對應(yīng)的解析式為y＝3(x＋1)2﹣1，故選B.【例5】將拋物線y＝﹣(x＋1)2﹣2沿直線y＝x向右上平移2個單位長度后，得到的拋物線的解析式為__________【解析】沿直線y＝x方向向右上平移2個單位長度，可分解為先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，因此平移后的解析式y(tǒng)＝﹣(x﹣1)204.拋物線對稱變換探究04.拋物線對稱變換探究例題精講 例題精講【例6】將拋物線y＝(x＋1)2＋4沿x軸翻折，得到的新拋物線的解析式為_____________【答案】y＝﹣(x＋1)2﹣4.【例7】將拋物線y＝(x＋1)2＋4繞點(1，2)旋轉(zhuǎn)180°，所得新拋物線的解析為y＝﹣(x﹣3).【解析】原拋物線的頂點為(－1，4)..點(－1，4)關(guān)于(1，2)的對稱點為(3，0)，而開口方向相反，所得新拋物線的解析式為y＝﹣(x﹣3)2.舉一反三 舉一反三1.拋物線y＝﹣(x﹣4)2＋3通過怎樣平移可得到拋物線y＝﹣x2？解：拋物線y＝－(x－4)2＋3，向左平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度得到拋物線y＝﹣x2。2.將拋物線y＝2x2向右平移3個單位長度，再向下平移5個單位長度，得到的拋物線的解析式為()A.y＝2(x﹣3)2﹣5 B.y＝2(x＋3)2＋5 C.y＝2(x﹣3)2＋5 D.y＝2(x＋3)2﹣5【答案】A3.如圖，拋物線的頂點為P(－2，2)，與y軸交于點A(0，3)，若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到P'(2，－2)，點A的對應(yīng)點為A'，則拋物線上PA段所掃過的區(qū)域(陰影部分)的面積為12.【答案】124.若將拋物線y＝﹣3(x﹣1)2＋2繞點(－1，－2)旅轉(zhuǎn)180°，求所得新拋物線的解析式解：原拋物線的頂點為(1，2)，點(1，2)繞點(﹣1，－2)旋轉(zhuǎn)180°的對應(yīng)點(﹣3，﹣6)，且開口方向相反，∴所得新拋物線的解析式為y＝3(x＋3)2﹣6.5．將拋物線y＝﹣(x﹣2)2＋1沿直線y＝﹣x＋的方向平移后恰好經(jīng)過點(5，－)，求平移后的拋物線的解析式。解：∵原拋物線的頂點為(2,1)，∴新拋物線的頂點在直線y＝﹣x＋上，∴新拋物線可設(shè)為y＝－(x－t)2－t＋，∴－＝－(5－t)2－t＋，∴t＝5或t＝,∴平移后拋物線的解析式為y＝－(x－4)2－或y＝－(x－)2－。課后鞏固 課后鞏固1、若y=（a2+a）是二次函數(shù)，那么（）A．a(chǎn)=﹣1或a=3 B．a(chǎn)≠﹣1或a≠0 C．a(chǎn)=3 D．a(chǎn)=﹣1【解析】C．2、下列函數(shù)關(guān)系中，是二次函數(shù)的是（）A．在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關(guān)系B．當(dāng)距離一定時，汽車行駛的時間t與速度v之間的關(guān)系C．矩形的面積S和矩形的寬x之間的關(guān)系D．等邊三角形的面積S與邊長x之間的關(guān)系【解析】D．3、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點的坐標(biāo)（x，y）對應(yīng)值列表如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…則該函數(shù)圖象的對稱軸是（）A．直線x=﹣3 B．直線x=﹣2 C．直線x=﹣1 D．直線x=0【解析】B．4.已知A(x1，2019)，B(x2，2019)是拋物線y＝ax2＋bx＋2018(a≠0)上的兩點，則當(dāng)x＝x1＋x2時，二次函數(shù)的值是()A.＋5 B.﹣＋5 C.2019 D.2018解：由拋物線的對稱性知A，B關(guān)于對稱軸x＝－對稱，∴.x1＋x2＝－，∴當(dāng)x＝x1＋x2時，y＝a(－)2＋b(－)＋2018＝2018.故選Ｄ5.已知關(guān)于正整數(shù)x的二次式y(tǒng)＝2x2＋2bx＋c(b，c為實數(shù))，若當(dāng)且僅當(dāng)x＝4時，y有最小值，則實數(shù)b的取值范圍是__________.解：對稱軸為x＝－，∵x為正整數(shù)；∴＜－＜(注；對稱軸要靠近x＝4)，∴﹣9＜b＜﹣7.6．拋物線y＝(x﹣h)2＋k過點A(2，6)，且對稱軸與線段BC有交點，B(1，0)，C(4，0)，求k的取值范圍.解：∵1≤h≤4，k＝6﹣(2﹣h)2，∴2≤k≤6.7.已知拋物線C:y＝(x﹣1)2＋2.(1)將拋物線C向左平移2個單位長度，再沿x軸作軸對稱變換，得到拋物線C1，求C1的解析式；(2)將拋物線C沿直線x＝3作軸對稱變換，得到拋物線