《AR回歸模型研究》4300字

[21]AR模型在隨機時間序列分析模型中最簡單,也是采用最多的一種模型。自回歸模型分析表現(xiàn)得是隨機序列變量內(nèi)部的關(guān)系。這種關(guān)系是一種遞推式的線性回歸。它建立回歸方程，主要是通過自身變量之前各期得值與之后幾期的值之間的相關(guān)關(guān)系（自相關(guān)）進行建模，再利用模型預測或者分析。其定義如下：定義1.設(shè){Xt,t=0,1,2,…}QUOTE{Xt,t=0,1,2,…}為時間序列。白噪聲序列為{εt,xt=?0+?1xt-1的時間序列為p階自回歸（Autoregression）序列，其中1，上式為p階自回歸模型，記作AR(p)。特例，AR(1)，即一階自回歸過程。該過程是指只有一個時間記錄點，表達式，xt=?自回歸模型滯后算子(lagoperator)，記作L。其主要作用是將t變?yōu)閠-1?？梢缘玫絃xL2LpAR(p)模型中?Lx?(L)=1–如果xt是平穩(wěn)的，有μ=E(xt)=?0/(1–?1–?L?(L)=1–進行時間序列分析時所用AR模型通常時平穩(wěn)性的，那么AR(p)模型的平穩(wěn)性條件為AR(p)模型能否生成平穩(wěn)的時間序列完全由?1,…,?p決定。?(L)=0方程則為關(guān)于模型實現(xiàn)AR模型建模思想很簡單。AR模型從數(shù)學表達式可以簡單歸納為時間序列中過去值的線性組合加上白噪聲。這樣就可以向前預測當前的值。為了能夠通過AR模型對時間序列進行分析,該部分闡述了使用R語言實現(xiàn)AR模型分析，利用R生成隨機時間序列，以此進行仿真實驗，進行AR模型分析得出結(jié)論。隨機數(shù)據(jù)集首先，利用R語言生成隨機時間序列。設(shè)定生成隨機數(shù)的種子,生成符合正態(tài)分布N(0,1)的數(shù)據(jù)，再生成滿足平穩(wěn)性的要求的時間序列的數(shù)據(jù)集ts圖1數(shù)據(jù)集tsx時間序列圖模型確立生成了時間序列后，根據(jù)時間序列圖進行自回歸建模,并且生成數(shù)據(jù)集默認使用一階AR模型。運行R語言程序后可以得到自相關(guān)系數(shù)為0.9879。由此可以看出模擬的時間序列自相關(guān)性很強，可以說明時間序列是具有自相關(guān)特性的。利用R語言進行自回歸建模時，它會提供自相關(guān)系數(shù)的估計方法，包括yule-walker方法以及常用最小二乘法，極大似然法。此次分析中將采用最小二乘法進行參數(shù)估計，其計算結(jié)果是，自相關(guān)系數(shù)為0.9911，截距為-0.017。自相關(guān)函數(shù)ACF體現(xiàn)了分析的時間序列在不同時點的值的相關(guān)關(guān)系，則利用R語言可以計算ACF值。其前三個值為0.9879、0.9760、0.9636。ACF可視化圖形為圖2。圖2自相關(guān)函數(shù)圖從圖2中看出，生成的隨機時間序列的ACF是拖尾的，它存在的自相關(guān)性很高。接下來就利用偏自相關(guān)函數(shù)PACF確定AR模型的階數(shù)。觀察PACF可視圖，偏自相關(guān)系數(shù)PACF近似于0，就表明兩個值的關(guān)系可以用線性關(guān)系表現(xiàn)。通過R語言的pacf()函數(shù)來進行偏自相關(guān)函數(shù)計算。其前三個值為0.9879、0.0065、-0.0305.其可視化圖形如圖3。圖3偏自相關(guān)函數(shù)圖從圖3可以看出，當滯后1階時，其值遠超范圍邊界，接近于1，可以表示此時AR模型顯著。當滯后階數(shù)為其他值時，顯然可以看出PACF的值接近于0。此時AR模型不顯著。因此對于模擬分析的時間序列而言，它能夠利用AR(1)進行自回歸模型建模。自回歸建模時參數(shù)估計得到的1階自相關(guān)系數(shù)值，因此可以直接得到參數(shù)估計后的AR(1)模型。模型檢驗模型檢驗的目的是檢驗模型是否合理。檢驗分兩個部分，其一是模型的有效性檢驗。判斷模型有效性的方法就是模型殘差應(yīng)該是白噪聲。而確定殘差是否為白噪聲序列的檢驗方法是通過殘差的自相關(guān)系數(shù)ACF可視圖判斷并進行Ljung-Box檢驗。利用R語言畫出殘差圖如圖4，畫出殘差樣本自相關(guān)系數(shù)圖如圖5.圖4模型殘差圖圖5殘差樣本自相關(guān)系數(shù)圖根據(jù)圖5，殘差的樣本自相關(guān)系數(shù)圖表示其自相關(guān)系數(shù)近似為0，在0上下小范圍的波動。接下來進行Ljung-Box檢驗，檢驗結(jié)果為p值是0.7338>0.05,因此接受原假設(shè)，即殘差序列之間是隨機獨立的，沒有相關(guān)性，通過了檢驗。模型預測模型預測部分即是使用這一種自回歸AR模型的方法來對模型進行預測，并且通過規(guī)律來發(fā)現(xiàn)其價值。在R語言中,我們已經(jīng)可以使用predict()的函數(shù),來完成對預測結(jié)果的計算。預測出的結(jié)果前5個為9.8340、9.681307、9.5238、9.3703、9.2176.且誤差值為1.0808、1.5193、1.8495、2.1228、2.3592.當利用R語言得到的預測值是50個時，其預測值用圖表示如圖6，圖前一部分是原始數(shù)據(jù)，后面紅色表示預測值，藍色表示預測值的上下范圍。圖6模型預測值圖實例分析自回歸在經(jīng)濟學方面應(yīng)用廣泛。經(jīng)濟學領(lǐng)域?qū)挿?，有宏觀于微觀之分，其包含的經(jīng)濟現(xiàn)象、經(jīng)濟特征數(shù)不勝數(shù)。這一方面的實例分析采用國內(nèi)生產(chǎn)總值時間序列數(shù)據(jù)進行分析與預測。在經(jīng)濟學領(lǐng)域，國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP是一個非常重要的經(jīng)濟指標，它代表的是整個國家的經(jīng)濟狀況。因此本文選用中國GDP數(shù)據(jù)作為研究對象。此次實例分析的目的是研究中國GDP的變化趨勢并進行預測。實例分析中利用1959年到2010年GDP數(shù)據(jù)進行自回歸建模，并利用模型進行分析并且預測10年內(nèi)的GDP發(fā)展趨勢，并且與10年實際數(shù)據(jù)進行比較得到模型預測效果。數(shù)據(jù)收集與預處理實例分析的數(shù)據(jù)是1959-2020年GDP年度數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源于中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站。其中，利用1959年到2010年GDP進行模型建立與預測。數(shù)據(jù)導入后利用R語言可以得到時序圖，如圖7。觀察圖7可以看出1959到2010年，GDP是明顯上升趨勢，則一定不是平穩(wěn)序列。接下來為了將序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，則進行序列一階差分。然后對一階差分后的序列進行ADF檢驗。經(jīng)檢驗該序列也呈明顯上升趨勢。因此繼續(xù)進行序列二階差分，并進行ADF檢驗。經(jīng)檢驗依然不是平穩(wěn)時間序列。圖7國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP時序圖因此轉(zhuǎn)換方法對原時間序列數(shù)據(jù)取其對數(shù)，畫出時序圖如圖8。觀察圖8可以看出該時間序列呈明顯上升趨勢，判定其不是平穩(wěn)時間序列，經(jīng)ADF檢驗也可說明這一點。因此將其進行一階差分，并進行ADF檢驗。經(jīng)R語言的ADF檢驗，得到p值大于0.05。因此序列不是平穩(wěn)時間序列，則對取序列進行二階差分，并進行ADF檢驗。經(jīng)R語言的ADF檢驗，得到p值為0.01小于0.05。故判定該序列平穩(wěn)。畫出LnGDP序列二階階差分的的時序圖如圖9。圖8對國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP取對數(shù)后的時序圖圖9LnGDP序列二階階差分的的時序圖數(shù)據(jù)建模與預測數(shù)據(jù)建模第一步是對2階差分后的LnGDP時間序列數(shù)據(jù)進行白噪聲檢驗，通過Ljung-Box檢驗所得結(jié)果p值小于0.05。這表示該序列不是白噪聲序列，而且該序列存在自相關(guān)性。接下來進行模型的判定，通過R語言畫出自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖分別為圖10、圖11。圖10二階差分對LnGDP序列的自相關(guān)圖圖11二階差分的LnGDP序列的偏自相關(guān)圖通過圖10與圖11，我們可以大致將AR模型的階數(shù)定為2。接下來可以直接利用數(shù)據(jù)通過R語言建立AR模型。在自回歸模型建模時，模型參數(shù)估計利用最小二乘法，直接用AIC得到估計結(jié)果為4階模型。因此接下來最終其模型為lnV然后對擬合的模型進行檢驗，通過R語言得到模型殘差圖，利用模型殘差進行檢驗確定其是否有效。通過模型的殘差自相關(guān)系數(shù)圖如圖12可以看出其自相關(guān)系數(shù)近似為0，在0上下小范圍的波動。圖12二階差分的LnGDP的模型殘差的自相關(guān)圖接下來進行Ljung-Box檢驗，檢驗結(jié)果為p值是0.9457>0.05,因此檢驗后可接受原假設(shè)。這表示殘差序列沒有相關(guān)性，檢驗通過。利用R語言模擬得到之后10年的GDP值，預測值與實際值對比如表1。表1GDP實際值預測值對比表年份2011201220132014201520162017201820192020預測值500034598346.2715392.6840217.4982632.11162295.11380613.31640288.11944558.72297178.7實際值487940.2538580592963.2643563.1688858.2746395.1832035.9919281.1986515.21015986.2誤差2%11%21%31%43%56%66%78%97%126%探究結(jié)果在數(shù)據(jù)模型的建立與預測這部分，對中國GDP數(shù)據(jù)取對數(shù)后的時間序列二階差分得到的時間序列是平穩(wěn)序列。該平穩(wěn)序列通過了白噪聲檢驗，通過ACF圖認定該序列可以進行AR建模。接下來利用R語言建立了AR(4)模型。模型建立后進行進行模型檢驗，觀察p值，得到模型檢驗通過的結(jié)論。最后利用建立的AR模型進行了模型10年的時序數(shù)據(jù)預測。而且該時間序列長度為52，趨勢呈明顯上升態(tài)勢，前面部分的數(shù)據(jù)增長緩慢，后面呈爆發(fā)性增長，在序列中前期的值遠小于后期的值。直接序列差分兩階以后的時間序列趨勢依然明顯上升，取對數(shù)的GDP進行差分兩階以后再顯著水平為0.95的情況下表明差分后的LnGDP是平穩(wěn)序列。經(jīng)過預測值與實際值得比較，可以發(fā)現(xiàn)，誤差最小為2011年的2%，最大為2020年的125%。誤差的均值在53%。整個誤差在前幾期預測誤差較小，后面誤差較大。而且這個誤差隨時間越往后誤差越大。因此預測前5前5年預測效果比較符合實際，后5年則相差甚遠。結(jié)論從實例分析的結(jié)論來看，自回歸模型AR(P)是直接通過歷年的數(shù)據(jù)資料對本身進行模型構(gòu)建與預測分析，沒有考慮影響因素對自回歸變量的影響，因此在應(yīng)用時預測效果有時會有所偏差。而且對于自回歸模型來說，時間序列數(shù)據(jù)選取也有一定偏向性。首先所需數(shù)據(jù)需有時序性，自相關(guān)性強。采用AR模型分析則需是時間序列平穩(wěn)的才能進行分析，在數(shù)據(jù)時要采用差分、取對數(shù)等方法進行數(shù)據(jù)處理以期達到平穩(wěn)。最后AR模型建立與預測效果基本符合實際，雖然GDP誤差后5年較大，但其他的預測值都比較接近實際。參考文獻羅芳瓊,吳春梅.時間序列分析的理論與應(yīng)用綜述[J].柳州師專學報,2009,24(3):113-117.李秋菊,李茸.時間序列分析理論與發(fā)展趨勢[J].管理學家,2013(8):373-373.Litterma