常微分方程課程教學(xué)大綱

《常微分方程》課程教學(xué)大綱一、課程基本信息課程名稱常微分方程OrdinaryDifferentialEquations課程代碼課程性質(zhì)必修開課院部數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院課程負(fù)責(zé)人授課學(xué)期3學(xué)分/學(xué)時3/48課內(nèi)學(xué)時48理論學(xué)時48實(shí)驗(yàn)學(xué)時0實(shí)訓(xùn)（含上機(jī)）0實(shí)習(xí)0其他0適用專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范)授課語言中文對先修的要求一元函數(shù)微積分學(xué)、二元函數(shù)微分學(xué)、二元函數(shù)含參量積分，線性方程組解的存在性定理、方陣的特征值及特征向量的求解等知識點(diǎn)。對后續(xù)的支撐為數(shù)學(xué)模型、微分幾何課程中出現(xiàn)的微分方程求解提供支撐。課程思政設(shè)計1、介紹國內(nèi)常微分方程領(lǐng)域做出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家葉彥謙、秦元勛、吳新謀等的事跡，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理的責(zé)任感和使命感。鼓勵學(xué)生學(xué)好本專業(yè)知識，積極投身祖國教育事業(yè)。2、了解常微分方程的實(shí)際背景與應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生自覺利用微分方程的思想去觀察生活，建立簡單的數(shù)學(xué)模型，解決生活中有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。提高學(xué)生正確認(rèn)識問題、分析問題、解決問題的能力。創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育設(shè)計教學(xué)過程中，創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容，選擇貼合生活例子如人口老齡化問題、新冠病毒發(fā)展趨勢預(yù)測、水污染評估、“天問一號”發(fā)射初始速度確定、“三星堆”出土文物年代問題等建立微分方程模型。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，引導(dǎo)學(xué)生自覺利用數(shù)學(xué)的思想去觀察生活，建立簡單的數(shù)學(xué)模型，解決生活中有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。課程簡介課程定位：常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程。本課程旨在使學(xué)生了解常微分方程解的理論、求解方法，常微分方程在其它自然科學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用，提高學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題和應(yīng)用能力的同時，為后繼課程提供解決問題的方法和工具。主要學(xué)習(xí)內(nèi)容：微分方程產(chǎn)生的背景及基本概念；一階微分方程解的存在唯一性定理和逐步逼近法；高階線性微分方程、一階線性微分方程組解的基本理論；特殊類型一階微分方程及可降階高階微分方程的初等積分法求解；常系數(shù)高階線性微分方程、常系數(shù)一階線性微分方程組的求解；微分方程在物理、經(jīng)濟(jì)以及生物等其它學(xué)科的應(yīng)用。核心學(xué)習(xí)結(jié)果：能利用微分方程的基本概念判定微分方程的類型；會描述并證明一階微分方程解的存在唯一性定理，高階線性微分方程以及一階線性微分方程組解的基本理論；會利用初等積分法求解特定類型的一階微分方程及可降階高階微分方程；會利用特征根法和比較系數(shù)法求解常系數(shù)線性微分方程；會求解特殊類型的一階常系數(shù)線性微分方程組。綜合運(yùn)用本學(xué)科和其它學(xué)科知識建立微分方程數(shù)學(xué)模型，通過微分方程的解分析解決實(shí)際問題。主要教學(xué)方法：主要采取課堂講授法傳授常微分方程的理論知識，同時通過生活中或者其它學(xué)科的例子引導(dǎo)學(xué)生討論，進(jìn)而引入不同類型的微分方程，分析方程特點(diǎn)給出相應(yīng)的求解方法。本課程知識傳授過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、計算推導(dǎo)能力、空間想象能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。二、課程目標(biāo)及對畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)的支撐序號課程目標(biāo)支撐畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)畢業(yè)要求1目標(biāo)1：了解微分方程產(chǎn)生的背景，理解微分方程的基本概念；理解并掌握一階微分方程解的存在唯一性定理，高階線性微分方程、一階線性微分方程組解的基本理論；熟練掌握特殊類型一階微分方程及可降階高階微分方程的求解方法；熟練掌握常系數(shù)線性微分方程、特殊類型常系數(shù)一階線性微分方程組的求解方法。3.1了解數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展歷史，理解中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的內(nèi)涵聯(lián)系，具備一定的數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng)。3.2掌握數(shù)學(xué)分析學(xué)科體系的基本知識、原理、基本思想和方法。具有較好的分析、演繹推理和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。3.學(xué)科素養(yǎng)：了解數(shù)學(xué)學(xué)科的歷史概況和發(fā)展情況，理解中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的內(nèi)涵聯(lián)接，具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本知識、基本原理和基本技能，理解數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系的基本思想和方法，具有良好的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)。具備一定的物理、計算機(jī)及相關(guān)人文社科知識，初步具備運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，初步具備適應(yīng)中學(xué)教育教學(xué)所需的綜合素養(yǎng)。2目標(biāo)2：綜合運(yùn)用本學(xué)科和其它學(xué)科知識建立微分方程數(shù)學(xué)模型，通過所學(xué)方法和相關(guān)軟件（如Matlab）求解微分方程并解決分析實(shí)際問題。3.5具備一定的物理、計算機(jī)及相關(guān)人文社科知識，初步具備運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，初步具備適應(yīng)中學(xué)教育教學(xué)所需的綜合素養(yǎng)。3.學(xué)科素養(yǎng)：了解數(shù)學(xué)學(xué)科的歷史概況和發(fā)展情況，理解中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的內(nèi)涵聯(lián)接，具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本知識、基本原理和基本技能，理解數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系的基本思想和方法，具有良好的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)。具備一定的物理、計算機(jī)及相關(guān)人文社科知識，初步具備運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，初步具備適應(yīng)中學(xué)教育教學(xué)所需的綜合素養(yǎng)。三、教學(xué)內(nèi)容及進(jìn)度安排序號教學(xué)內(nèi)容學(xué)生學(xué)習(xí)預(yù)期成果課內(nèi)學(xué)時教學(xué)方式支撐課程目標(biāo)1教學(xué)內(nèi)容:自然與社會科學(xué)中的常微分方程模型、常微分方程的基本概念。教學(xué)重點(diǎn)：常微分方程基本概念。教學(xué)難點(diǎn)：建立常微分方程模型。會根據(jù)定義判斷常微分方程的階數(shù)、類型；會重復(fù)微分方程解、通解、初值問題的定義；會綜合其它學(xué)科知識列出簡單微分方程模型。4課程思政講授目標(biāo)1目標(biāo)22教學(xué)內(nèi)容:特殊類型一階微分方程的形式及其基本解法。教學(xué)重點(diǎn)：一階微分方程的類型判定和求解方法。教學(xué)難點(diǎn)：一階微分方程的類型判定和求解方法。會判定一階微分方程的類型并進(jìn)行求解；能根據(jù)微分方程的特點(diǎn)運(yùn)用適當(dāng)?shù)淖儞Q將方程化為能求解的類型進(jìn)行求解。14課程思政講授討論創(chuàng)新訓(xùn)練目標(biāo)1目標(biāo)23教學(xué)內(nèi)容:一階微分方程解的存在唯一性定理和逐步逼近法；解的延拓定理、解對初值的連續(xù)性與可微性。教學(xué)重點(diǎn)：逐步逼近法求一階微分方程的近似解。教學(xué)難點(diǎn)：一階微分方程解的存在唯一性定理的證明。會描述并證明解的存在唯一性定理，會應(yīng)用逐步逼近法求一階微分方程初值問題的近似解。6課程思政講授目標(biāo)14教學(xué)內(nèi)容:高階線性微分方程解的基本理論；常系數(shù)線性微分方程的基本解法、歐拉方程的基本解法。教學(xué)重點(diǎn)：常系數(shù)線性微分方程的基本解法；歐拉方程的基本解法。教學(xué)難點(diǎn)：高階線性微分方程解的基本理論。會應(yīng)用特征根法和比較系數(shù)法求解常系數(shù)線性微分方程、會應(yīng)用變量代換求解歐拉方程。12創(chuàng)新訓(xùn)練課程思政講授討論目標(biāo)1目標(biāo)25教學(xué)內(nèi)容:一階線性微分方程組解的基本理論；一階線性微分方程組與高階線性微分方程的解的關(guān)系；一階常系數(shù)線性微分方程組的求解。教學(xué)重點(diǎn):一階常系數(shù)線性微分方程組的求解。教學(xué)難點(diǎn)：一階線性微分方程組解的基本理論。會分析一階線性微分方程組與高階線性微分方程解之間的關(guān)系，會應(yīng)用基解矩陣、常數(shù)變易公式求解一階常系數(shù)線性方程組。12創(chuàng)新訓(xùn)練講授目標(biāo)1目標(biāo)2四、課程考核序號課程目標(biāo)（支撐畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)）考核內(nèi)容評價依據(jù)及成績比例(%)成績比例(%)作業(yè)考試總評1目標(biāo)1：了解微分方程產(chǎn)生的背景，理解微分方程的基本概念；理解并掌握一階微分方程解的存在唯一性定理，高階線性微分方程、一階線性微分方程組解的基本理論；熟練掌握特殊類型一階微分方程及可降階高階微分方程的求解方法；熟練掌握常系數(shù)線性微分方程、特殊類型常系數(shù)一階線性微分方程組的求解方法。（支撐畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)3.1、3.2）微分方程基本概念；特殊類型一階微分方程及部分可降階的高階微分方程的求解；一階微分方程初值問題的近似解；常系數(shù)線性微分方程（組）的求解；線性微分方程（組）解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)。3054842目標(biāo)2：綜合運(yùn)用本學(xué)科和其它學(xué)科知識建立微分方程數(shù)學(xué)模型，通過所學(xué)方法和相關(guān)軟件（如Matlab）求解微分方程并解決分析實(shí)際問題。（支撐畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)3.5）會結(jié)合其他學(xué)科知識，根據(jù)題目所給條件列出微分方程并求解。10616合計4060100注：各類考核評價的具體評分標(biāo)準(zhǔn)見《附錄：各類考核評分標(biāo)準(zhǔn)表》五、教材及參考資料教材：王高雄等.常微分方程(第四版).高等教育出版社，2020.ISBN:9787040514650.參考資料：[1]張偉年等.常微分方程（第二版）。高等教育出版社，2014.ISBN:9787040405804.[2]丁同仁等.常微分方程教程(第二版).高等教育出版社，2004.ISBN:9787040143690.[3]周義倉等.常微分方程及其應(yīng)用(第二版).科學(xué)出版社，2010.ISBN:9787030265111.[4]化存才等.微分方程學(xué)習(xí)、設(shè)計與建模應(yīng)用導(dǎo)引(第一版).西安交通大學(xué)出版社，2011.ISBN:9787564310813.[5]張?zhí)斓?常微分方程輔導(dǎo)及習(xí)題精解（第一版）.浙江教育出版社.2021.ISBN:9787572212963.其它課程資源[1]常微分方程，清華大學(xué)，許世壁老師，精品課程，公開課，壹課堂，HYPERLINK/vod/1936-play.html?1936-0-1.[2]常微分方程，東北師范大學(xué)，潘家齊老師，精品課程，公開課，壹課堂，http://www.1/vod/1607-play.html?1607-0-1；[3]微分方程，麻省理工學(xué)院，ArthurMattuck，公開課，/special/opencourse/equations.html。六、教學(xué)條件多媒體教室，電腦安裝好Windows7、MicrosoftPowerPoint2010以上版本的正版軟件。附錄：各類考核評分標(biāo)準(zhǔn)表作業(yè)評分標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)要求評分標(biāo)準(zhǔn)權(quán)重（%）90-10080-8960-790-59目標(biāo)1：了解微分方程產(chǎn)生的背景，理解微分方程的基本概念；理解并掌握一階微分方程解的存在唯一性定理，高階線性微分方程、一階線性微分方程組解的基本理論；熟練掌握特殊類型一階微分方程及可降階高階微分方程的求解方法；熟練掌握常系數(shù)線性微分方程、特殊類型常系數(shù)一階線性微分方程組的求解方法。（支撐畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)3.1、3.2）按時按量完成并提交作業(yè)；掌握基本類型微分方程的求解，會利用變量變換將給定微分方程化為基本類型求解，求解方法正確，計算無誤或僅有極少計算錯誤；掌握解的性質(zhì)、理解解的唯一性定理的證明思路并掌握證明過程。按時按量完成作業(yè)；掌握基本類型微分方程的求解方法，計算有少量錯誤；理解解的性質(zhì)、解的唯一性定理的內(nèi)容以及證明思路?；灸馨磿r完成作業(yè)；掌握大部分基本類型微分方程的求解方法，有較多的計算錯誤；理解解的性質(zhì)和解的唯一性定理的內(nèi)容。大部分時間不能按時提交作業(yè)；對基本類型微分方程的求解方法掌握不夠，計算錯誤很多；對解的性質(zhì)和解的唯一性定理的內(nèi)容掌握不到位。30目標(biāo)2：綜合運(yùn)用本學(xué)科和其它學(xué)科知識建立微分方程數(shù)學(xué)模型，通過所學(xué)方法和相關(guān)軟件（如Matlab）求解微分方程并解決分析實(shí)際問題。（支撐畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)3.5）按時按量完成并提交作業(yè)；會結(jié)合其它學(xué)科知識，正確列出題目所給條件滿足的微分方程；會根據(jù)方程解對問題進(jìn)行進(jìn)一步分析。按時按量完成作業(yè)；會根據(jù)物理或幾何的基本知識，列出相應(yīng)問題中涉及的微分方程；會根據(jù)方程解的特點(diǎn)對問題進(jìn)行進(jìn)一步分析?；灸馨磿r完成作業(yè)；會列簡單的物理以及幾何問題中涉及的微分方程；基本會根據(jù)方程解的特點(diǎn)對問題進(jìn)行進(jìn)一步分析。大部分時間不能按時提交作業(yè)；不太會列微分方程；不太會根據(jù)解的特點(diǎn)對問題進(jìn)行分析。10注：評分標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)段劃分可以根據(jù)課程需要自行設(shè)計?？荚囋u分標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)要求評分標(biāo)準(zhǔn)權(quán)重（%）90-10080-8960-790-59目標(biāo)1：了解微分方程產(chǎn)生的背景，理解微分方程的基本概念；理解并掌握一階微分方程解的存在唯一性定理，高階線性微分方程、一階線性微分方程組解的基本理論；熟練掌握特殊類型一階微分方程及可降階高階微分方程的求解方法；熟練掌握常系數(shù)線性微分方程、特殊類型常系數(shù)一階線性微分方程組的求解方法。（支撐畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)3.1、3.2）微分方程求解方法正確，計算無誤或僅有極少計算錯誤；理解解的性質(zhì)，掌握解的唯一性定理的證明過程。微分方程求解方法基本正確，計算有少量錯誤；理解解的性質(zhì)、解的唯一性定理的內(nèi)容以及證明思路。掌握基本類型微分方程的求解方法，有較多的計算錯誤；理解解的性質(zhì)和解的唯一性定理的內(nèi)容。對基本類型微分方程的求解方法掌握不夠，計算錯誤很多；對解的性質(zhì)和解的唯一性定理的內(nèi)