高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案第二單元章末復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建核心歸納1．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象與性質(zhì)如下表所示.a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過點(0,1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)留意(1)對于a>1與0<a<1，函數(shù)值的變化是不同的，因而利用性質(zhì)時，肯定要留意底數(shù)的范圍，通常要用分類爭論思想．(2)a>1時，a值越大，圖象向上越靠近y軸，遞增速度越快；0<a<1時，a值越小，圖象向上越靠近y軸，遞減速度越快．(3)在同一坐標(biāo)系中有多個指數(shù)函數(shù)圖象時，圖象的相對位置與底數(shù)大小有如下關(guān)系：在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小；在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變?。礋o論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大．這一性質(zhì)可通過令x＝1時，y＝a去理解，如圖．2．對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域是(0，＋∞)值域是R當(dāng)x＝1時，y＝0，即圖象過定點(1,0)當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)3．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y＝x對稱．(如圖)4．冪函數(shù)的性質(zhì)(1)全部的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．(2)假如α>0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上為增函數(shù)．(3)假如α<0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限地靠近y軸，當(dāng)x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限地靠近x軸．(4)當(dāng)α為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．要點一指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算指數(shù)式的運(yùn)算首先留意化簡挨次，一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算，其次假設(shè)消失分式那么要留意分子、分母因式分解以到達(dá)約分的目的．對數(shù)運(yùn)算首先留意公式應(yīng)用過程中范圍的變化，前后要等價，嫻熟地運(yùn)用對數(shù)的三個運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式，換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧．【例1】(1)化簡：eq\f(aeq\s\up7(\f(4,3))－8aeq\s\up7(\f(1,3))b,4beq\s\up7(\f(2,3))＋2\r(3,ab)＋aeq\s\up7(\f(2,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2\r(3,\f(b,a))))×eq\r(3,ab)；(2)求值：eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245).解(1)原式＝eq\f(aeq\s\up7(\f(1,3))a－8b,2beq\s\up7(\f(1,3))2＋2aeq\s\up7(\f(1,3))beq\s\up7(\f(1,3))＋aeq\s\up7(\f(1,3))2)×eq\f(aeq\s\up7(\f(1,3)),aeq\s\up7(\f(1,3))－2beq\s\up7(\f(1,3)))×aeq\s\up7(\f(1,3))beq\s\up7(\f(1,3))＝eq\f(aeq\s\up7(\f(1,3))a－8b,a－8b)×aeq\s\up7(\f(1,3))×aeq\s\up7(\f(1,3))beq\s\up7(\f(1,3))＝aeq\r(3,b).(2)法一eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),7)×\f(1,4)×7\r(5)))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).【訓(xùn)練1】(1)化簡：(eq\r(8))－eq\s\up7(\f(2,3))×(eq\r(3,102))eq\s\up7(\f(9,2))÷eq\r(105)；(2)計算：2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－25log53.解(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up7(\f(3,2))))－eq\s\up7(\f(2,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10eq\s\up7(\f(2,3))))eq\s\up7(\f(9,2))÷10eq\s\up7(\f(5,2))＝2－1×103×10－eq\s\up7(\f(5,2))＝2－1×10eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(\r(10),2).(2)原式＝log34－log3eq\f(32,9)＋log38－5log59＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))－9＝－7.要點二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象問題函數(shù)圖象的畫法畫法應(yīng)用范圍畫法技巧根本函數(shù)法根本初等函數(shù)利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的有關(guān)學(xué)問，畫出特殊點(線)，直接依據(jù)函數(shù)的圖象特征作出圖象變換法與根本初等函數(shù)有關(guān)聯(lián)的函數(shù)弄清所給函數(shù)與根本函數(shù)的關(guān)系，恰中選擇平移、對稱等變換方法，由根本函數(shù)圖象變換得到函數(shù)圖象描點法未知函數(shù)或較簡單的函數(shù)列表、描點、連線【例2】函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是()解析法一當(dāng)x＝0時，y＝0，故可排解選項A，由1－x>0，得x<1，即函數(shù)的定義域為(－∞，1)，排解選項B，又易知函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，應(yīng)選C．法二函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象可認(rèn)為是由y＝log4x的圖象經(jīng)過如下步驟變換得到的：(1)函數(shù)y＝log4x的圖象上全部點的橫坐標(biāo)不變．縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y＝2log4x的圖象；(2)把函數(shù)y＝2log4x關(guān)于y軸對稱得到函數(shù)y＝2log4(－x)的圖象；(3)把函數(shù)y＝2log4(－x)的圖象向右平移1個單位，即可得到y(tǒng)＝2log4(1－x)的圖象，應(yīng)選C．答案C【訓(xùn)練2】在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是()解析法一當(dāng)a>1時，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排解C；當(dāng)0<a<1時，y＝xa為增函數(shù)，y＝logax為減函數(shù)，排解A．由于y＝xa遞增較慢，所以選D．法二冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象不過(0,1)點，故A錯；B項中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知0<a<1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯；D對；C項中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知a>1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越快的變化趨勢，故C錯．答案D要點三大小比擬問題數(shù)的大小比擬常用方法：(1)比擬兩數(shù)(式)或幾個數(shù)(式)大小問題是本章的一個重要題型，主要考查數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用及差值比擬法與商值比擬法的應(yīng)用．常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間搭橋法、作差法、作商法．(2)當(dāng)需要比擬大小的兩個實數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比擬．(3)比擬多個數(shù)的大小時，先利用“0”和“1”作為分界點，即把它們分為“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三局部【例3】設(shè)a＝log2π，b＝eqlog\s\do8(\f(1,2))π，c＝π－2，那么()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．a(chǎn)>c>b D．c>b>a解析由于π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝eqlog\s\do8(\f(1,2))π<0.由于π>1，所以0<π－2<1，即0<c<1，所以a>c>b.答案C【訓(xùn)練3】設(shè)a＝eqlog\s\do8(\f(1,2))3，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，c＝2eq\s\up7(\f(1,3))，那么()A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c解析a＝eqlog\s\do8(\f(1,2))3＜0,0＜b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜1，c＝2eq\s\up7(\f(1,3))＞1，故有a＜b＜c.答案A要點四函數(shù)的定義域與值域函數(shù)值域(最值)的求法(1)直觀法：圖象在y軸上的“投影〞的范圍就是值域的范圍．(2)配方法：適合二次函數(shù)．(3)反解法：有界量用y來表示．如y＝eq\f(1－x2,1＋x2)中，由x2＝eq\f(1－y,1＋y)≥0可求y的范圍，可得值域．(4)換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，特殊留意新變量的范圍．(5)單調(diào)性：特殊適合于指、對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)．【例4】(1)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,log2x－2)的定義域為()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)(2)設(shè)0≤x≤2，y＝4x－eq\s\up7(\f(1,2))－3·2x＋5，試求該函數(shù)的最值．(1)解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x－2≠0，,x－2>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠3，,x>2，))所以函數(shù)f(x)的定義域為(2,3)∪(3，＋∞)．答案C(2)解令k＝2x(0≤x≤2)，∴1≤k≤4.那么y＝22x－1－3·2x＋5＝eq\f(1,2)k2－3k＋5.又y＝eq\f(1,2)(k－3)2＋eq\f(1,2)，k∈[1,4]，∴y＝eq\f(1,2)(k－3)2＋eq\f(1,2)，在k∈[1,3]上是減函數(shù)，在k∈[3,4]上是增函數(shù)，∴當(dāng)k＝3時，ymin＝eq\f(1,2)；當(dāng)k＝1時，ymax＝eq\f(5,2).即函數(shù)的最大值為eq\f(5,2)，最小值為eq\f(1,2).【訓(xùn)練4】(1)假設(shè)f(x)＝eq\f(1,\r(log2x＋1))，那么函數(shù)f(x)的定義域為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))B．(0，＋∞) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))(2)函數(shù)f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))＋eq\r(1－x2)的定義域為________．解析(1)f(x)＝eq\f(1,\r(log2x＋1))的定義域為：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1>0，,log2x＋1>0))))，即eq\b\lc\{