電磁波與電磁場(chǎng)第一章

第一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日第一章矢量分析主要內(nèi)容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理1.標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度2.矢量場(chǎng)的通量與散度3.矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度4.無散場(chǎng)和無旋場(chǎng)5.格林定理6.矢量場(chǎng)的惟一性定理7.亥姆霍茲定理8.正交曲面坐標(biāo)系第二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日標(biāo)量：僅具有大小特征的量稱為標(biāo)量矢量：不僅具有大小而且有方向特征的量稱為矢量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。矢量的的幾何表示：一條有向線段1-1標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度第三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日矢量的大小或模：矢量的代數(shù)表示：矢量的單位矢量：模為1的矢量標(biāo)量的空間分布構(gòu)成標(biāo)量場(chǎng)，矢量的空間分布構(gòu)成矢量場(chǎng)常矢量（常矢）：矢量的大小及方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)注意：單位矢量不一定是常矢量。第四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日1-2矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量A=B：矢量A、B的大小及方向均相同時(shí)矢量加法：平行四邊形法則矢量減法：三角形法則在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：矢量的加法運(yùn)算，結(jié)合律和交換率結(jié)合律：（A+B）+C=A+（B+C）交換律：A+B=B+A第五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日1-3矢量的標(biāo)積和矢積標(biāo)積（點(diǎn)積或內(nèi)積），以點(diǎn)號(hào)“?”表示第六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日cosα、cosβ、cosγ稱為矢量A的方向余弦第七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日在直角坐標(biāo)系中，若矢量A和矢量B分別為矢量A和矢量B標(biāo)積：則矢量A與矢量B的矢積的代數(shù)定義方向遵守右手螺旋法則第八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日用坐標(biāo)分量表示為第九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日1-4標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。第十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：第十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日標(biāo)量場(chǎng)的等值面

等值面:標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。等值面方程：標(biāo)量場(chǎng)的等值線（面）第十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日等值面的特點(diǎn)：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。第十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日方向?qū)?shù):標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率例如標(biāo)量場(chǎng)

在

P點(diǎn)沿

l方向上的方向?qū)?shù)定義為第十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。

>0，沿l方向增加

<0，沿l方向減小

=0，沿l方向無變化第十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)P有關(guān)，也與方向有關(guān)。是標(biāo)量。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？第十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)可寫為若矢量l的方向余弦為cosα、cosβ、cosγ，則上式變?yōu)榈谑唔?，共七十三頁，編輯?023年，星期日令為矢量G的三個(gè)坐標(biāo)分量，即矢量l的單位矢量標(biāo)量場(chǎng)

在

P點(diǎn)沿

l方向上的方向?qū)?shù)定義為第十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日矢量G稱為標(biāo)量場(chǎng)Φ的梯度標(biāo)量場(chǎng)Φ的梯度是一個(gè)矢量場(chǎng)由可知，當(dāng)?shù)姆较蚺c梯度方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)取最大值。標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。第十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日若引入算符（哈密頓算子-重要的微分算子），它在直角坐標(biāo)系中可表示為梯度可表示為第二十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日梯度的性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）第二十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日梯度運(yùn)算的基本公式第二十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日例1.2.1設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。第二十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日解(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為第二十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為第二十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。第二十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日1-5矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定律1、矢量場(chǎng)概念：設(shè)空間某一區(qū)域存在一矢量函數(shù)，它的大小及方向隨空間位置變化（可能還是時(shí)間函數(shù)）。則稱為該區(qū)域存在一矢量場(chǎng)：例：速度場(chǎng)，電場(chǎng)，磁場(chǎng)

2、矢量線概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。該點(diǎn)附近曲線的疏密和該點(diǎn)矢量的大小成正比。第二十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大小？引入通量的概念。第二十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日在討論矢量場(chǎng)通量之前，先介紹有向面積元。規(guī)定該面積元的正法線方向?yàn)橛邢蛎娣e元：對(duì)于封閉曲面，約定其外法線為正法線方向第二十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日通量：矢量

A

沿某一有向曲面

S的面積分稱為矢量

A通過該有向曲面

S的通量，以標(biāo)量

表示，即

通量可為正、或?yàn)樨?fù)、或?yàn)榱?。第三十頁，共七十三頁，編輯?023年，星期日矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等有源稱為正源有洞稱為負(fù)源無源第三十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日由物理得知，真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度

E

通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量

q與真空介電常數(shù)

0

之比，即，當(dāng)閉合面中存在正電荷時(shí)，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時(shí)，通量為負(fù)。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為零。第三十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日這一電學(xué)實(shí)例充分地顯示出閉合面中正源、負(fù)源及無源的通量特性。但是，通量僅能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場(chǎng)的散度。第三十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日散度：當(dāng)閉合面

S

向某點(diǎn)無限收縮時(shí)，矢量

A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場(chǎng)

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA表示，即式中，V為閉合面

S包圍的體積。上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量。第三十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日意義：矢量場(chǎng)穿過包圍單位體積的閉合曲面的通量，又稱通量密度。直角坐標(biāo)系中散度可表示為因此散度可用算符

表示為第三十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日高斯定理或者寫為從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。第三十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

V中的場(chǎng)，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場(chǎng)，反之亦然。第三十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為第三十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表式為第三十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日散度運(yùn)算規(guī)則第四十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日例：已知點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度求其在任何一點(diǎn)M處的散度。第四十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日可見，除點(diǎn)電荷q所在位置(r=0)外，電場(chǎng)的散度處處為0。第四十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日1-6矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與旋度定理1、矢量場(chǎng)的環(huán)流與渦旋源不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。第四十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。第四十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日環(huán)量的概念

環(huán)量：矢量場(chǎng)

A沿一條有向曲線

l的線積分稱為矢量場(chǎng)

A

沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即可見，若在閉合有向曲線

l上，矢量場(chǎng)

A的方向與線元

dl

的方向保持一致，則環(huán)量

>0；若相反，則

<0

?？梢?，環(huán)量可以用來描述矢量場(chǎng)的旋渦特性。第四十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。第四十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日由物理學(xué)得知，真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任一閉合有向曲線l的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度I與真空磁導(dǎo)率0

的乘積。即右手螺旋環(huán)量表示能產(chǎn)生旋渦場(chǎng)的源的強(qiáng)度，但代表的是閉合曲線內(nèi)總的源強(qiáng)度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場(chǎng)的旋度。

第四十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日2.矢量場(chǎng)的旋度（1）環(huán)流面密度過點(diǎn)M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向n有關(guān)。第四十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日在直角坐標(biāo)系中表達(dá)式推導(dǎo)

的示意圖如圖所示第四十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日所以，故同理第五十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日（2）矢量場(chǎng)的旋度旋度：旋度是一個(gè)矢量。若以符號(hào)

rotA

表示矢量

A

的旋度，則其方向是使矢量

A

具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即物理意義：旋渦源密度矢量。第五十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日在直角坐標(biāo)系中：用算符

表示為第五十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日旋度運(yùn)算規(guī)則

矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零第五十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用大小相等方向相反，結(jié)果抵消第五十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日散度和旋度的區(qū)別第五十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日1-7無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)1、矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；第五十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。第五十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日2、矢量場(chǎng)按源的分類僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)性質(zhì)線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為任一標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度一定等于零例如：靜電場(chǎng)第五十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如：恒定磁場(chǎng)第五十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日（3）無旋、無散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分無旋場(chǎng)部分無散場(chǎng)部分第六十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日1-8拉普拉斯算符與格林定理1、拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系中：拉普拉斯既可以對(duì)標(biāo)量進(jìn)行計(jì)算也可以對(duì)矢量進(jìn)行計(jì)算第六十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

及

滿足下列等式（1-8-1）式中S為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場(chǎng)在S表面的外法線en

方向上的偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式右端又可寫成第六十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日（1-8-1）可寫為（1-8-3）（1-8-1）或（1-8-3）稱為標(biāo)量第一格林定理若將Ψ與Φ對(duì)調(diào)，顯然等式仍然成立將（1-8-1）與上式相減，得第六十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日此式又可寫成這就是第二標(biāo)量格林定理第六十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日設(shè)任意兩個(gè)矢量場(chǎng)P

與Q

，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場(chǎng)P及Q滿足下列等式式中S

為包圍V

的閉合曲面，面元dS

的方向?yàn)镾

的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理。

第六十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日將上式的P

與

Q

對(duì)調(diào)，再與上式相減，得到下列等式此式稱為第二矢量格林公式無論何種格林定理，都是說明區(qū)域V中的場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)