第7課時冪函數及冪指數對數函數的綜合應用（解析版）

第7課時冪函數及冪、指數、對數函數的綜合應用編寫：廖云波【回歸教材】1.冪函數定義一般地，形如的函數稱為冪函數，其中是自變量，是常數．2.五種常見冪函數函數圖象性質定義域值域奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性在上單調遞增在上單調遞減；在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點3.冪函數性質冪函數，在①當時，在單調遞增；②當時，在單調遞減；【典例講練】題型一冪函數的圖像與性質【例1-1】已知函數冪函數，且在其定義域內為單調函數，則實數（）A．B．C．或D．【答案】A因為函數為冪函數，則，即，解得或.若，函數解析式為，該函數在定義域上不單調，舍去；若，函數解析式為，該函數在定義域上為增函數，合乎題意.綜上所述，.故選：A.【例1-2】圖中C1、C2、C3為三個冪函數在第一象限內的圖象，則解析式中指數的值依次可以是（）A．、、B．、、C．、、D．、、【答案】D由冪函數在第一象限內的圖象，結合冪函數的性質，可得：圖中C1對應的，C2對應的，C3對應的，結合選項知，指數的值依次可以是．故選：D.【例1-3】若，函數的圖象恒過定點，則點的坐標為______．【答案】因為過定點，將圖象向右平移一個單位，向上平移3個單位得：，所以過定點.故答案為.歸納總結：【練習1-1】已知冪函數在上單調遞減，則m的值為（）A．0B．1C．0或1D．【答案】A由題意，冪函數，可得，解得或，當時，可得，可得在上單調遞減，符合題意；當時，可得，可得在上無單調性，不符合題意，綜上可得，實數的值為.故選：A.【練習1-2】如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中①對應的冪函數是（）A．B．C．D．【答案】D根據函數圖象可得：①對應的冪函數在上單調遞增，且增長速度越來越慢，故，故D選項符合要求.故選：D題型二冪函數性質的應用【例2-1】已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】整理可得，利用冪函數，指數函數的單調性判斷．【詳解】，冪函數在R上單調遞增，指數函數在R上單調遞增，，∴故選：A．【例2-2】冪函數過點，則______，若，則實數的取值范圍是______．【答案】

【解析】【分析】根據冪函數所過的點求解析式，再由所得冪函數的單調性解不等式，求a的范圍.【詳解】設冪函數解析式為，將代入得，所以，在上單調遞減，所以，可得．故答案為：，【例2-3】冪函數y＝（m∈Z）的圖象如圖所示，則實數m的值為________.【答案】1【解析】【分析】根據函數圖象可判斷單調性，進而可得，為整數，由驗證是否是偶函數即可求解.【詳解】有圖象可知：該冪函數在單調遞減，所以，解得，,故可取，又因為該函數為偶函數，所以為偶數，故故答案為：歸納總結：【練習2-1】已知，，，則的大小關系是_____________.【答案】##【解析】【分析】由冪函數的單調性求解即可【詳解】，，，則，，，又冪函數在單調遞增，，所以【練習2-2】不等式的解為______．【答案】【解析】【分析】根據冪函數的性質，分類討論即可【詳解】將不等式轉化成（Ⅰ），解得；（Ⅱ），解得；（Ⅲ），此時無解；綜上，不等式的解集為：故答案為：題型三冪、指數、對數函數的綜合應用【例3-1】【多選題】已知，且，若，則的大小關系可以是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】【分析】在同一坐標系中畫出函數y＝ex，y＝lnx，的圖象，然后觀察與他們的交點即可得到答案.【詳解】如圖，在同一坐標系中畫出函數y＝ex，y＝lnx，的圖象，當直線與三者都相交時，交點的橫坐標即為的值，由圖知，當從大變到小時，依次出現c＜a＜b、a＜c＜b、a＜b＜c．故選：ACD.【例3-2】已知，分別是方程，的根，則（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得，分別是函數，的圖象與直線交點的橫坐標，由于的圖象與圖象關于直線對稱，而直線也關于直線對稱，所以兩交點的中點就是直線與的交點，求出交點坐標，再利用中點坐標公式可求出的值【詳解】由題意可得是函數的圖象與直線交點的橫坐標，是函數圖象與直線交點的橫坐標，因為的圖象與圖象關于直線對稱，而直線也關于直線對稱，所以線段的中點就是直線與的交點，由，得，即線段的中點為，所以，得，故選：B【例3-3】已知是方程的實根，則關于實數的判斷正確的是（）①②③④A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】B【解析】【分析】由進行化簡，得到，結合函數的單調性判斷出正確答案.【詳解】單調遞增，，又在上單增，.而，故，故選：B歸納總結：【練習3-1】已知，，，若，則a、b、c的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根據基本初等函數的單調性可知的范圍，即可求解.【詳解】由，所以，，，所以，故選：B【練習3-2】已知函數，函數有四個不同的零點，，，，且滿足：，則下列結論中不正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】作出函數圖象，根據函數圖象得出4個零點的關系及范圍，進而得出結論.【詳解】函數的四個不同的零點，，，，就是函數與兩個圖象四個交點的橫坐標，作出函數的圖象，由圖象可知，故A正確；由，可得或，結合圖象可知，故B錯誤；根據二次函數的性質和圖象得出，所以，故C正確；又，且，所以，即，所以，故D正確.故選：B.【請完成課時作業(yè)（十三）】【課時作業(yè)（十三）】A組基礎題1．冪函數在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據冪函數的性質，在第一象限內，的右側部分的圖像，圖像由下至上，冪指數增大，即可判斷；【詳解】根據冪函數的性質，在第一象限內，的右側部分的圖像，圖像由下至上，冪指數增大，所以由圖像得：，故選：D2．已知冪函數上單調遞增，則（）A．0B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由題意可得且，從而可求出的值【詳解】因為冪函數上單調遞增，所以且，解得，故選：A3．已知冪函數的圖象過點，則下列關于說法正確的是（）A．奇函數B．偶函數C．在單調遞減D．定義域為【答案】C【解析】【分析】設冪函數的解析式，根據圖象的點求得解析式，由其定義域可判斷D,繼而判斷A,B,由其單調性判斷C.【詳解】設冪函數，由題意得：，故，定義域為，故D錯誤；定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數，A，B錯誤；由于，故在在單調遞減，C正確，故選：C4．已知函數，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先判斷出原函數的單調性，進而解出不等式即可.【詳解】由題意，，易知函數在R上單調遞減（減+減），而，所以.故選：D.5．已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根據對數函數的性質可知，根據冪函數的性質可知，由此即可得到結果.【詳解】因為，所以，又函數在上單調遞增，所以，所以.故選：B.6．設，，，，則，，的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據題意和三角函數的性質可得，結合指數函數、對數函數的單調性求出的范圍，即可得出結果.【詳解】因為，所以，則，，，所以，故選：D7．在函數，，，，四個函數中，當時，使成立的函數是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先判斷使成立的函數圖象“上凸”，再結合圖像依次判斷4個選項即可.【詳解】當時，使成立，則表示連接兩點的線段中點的縱坐標小于曲線在中點處的縱坐標，即的圖象“上凸”，由圖象可直觀得到：當時，，，的圖象都不是上凸的，只有為“上凸”的函數．故選：A．8．已知實數a，b滿足，，則（）A．-2B．0C．1D．2【答案】B【解析】【分析】由已知構造函數，利用，，及函數的單調性、奇偶性即可得出結果.【詳解】構建函數，則為奇函數，且在上單調遞增.由，，得，，所以.故選：B.9．已知實數a，b，c滿足，則下列不等式一定不成立的為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據的圖象，應用數形結合法判斷不同取值情況a、b、c的大小關系，即可得結果.【詳解】由的圖象如下：由圖知：當時，，D可能；當時，，B可能；當時，，A可能.故選：C10．【多選題】若，，則（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】【分析】由指對冪函數的單調性及指對冪運算依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，由為增函數知，A正確；對于B，由在為增函數知，B正確；對于C，取，則，則，C錯誤；對于D，易得，則，則，D錯誤.故選：AB.11．【多選題】已知函數，，的零點分別為a，b，c，以下說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】【分析】將問題轉化為與、、的交點橫坐標范圍及數量關系，應用數形結合思想，及指對冪函數的性質判斷a、b、c的范圍.【詳解】由題設，，，，所以，問題可轉化為與、、的交點問題，函數圖象如下：由圖及、對稱性知：，且，所以A、D正確，B、C錯誤.故選：AD12．3．函數y定義域是_____，值域是_______；奇偶性：_______，單調區(qū)間________．【答案】

{x|x≠0}

{y|y＞0}

偶函數

(﹣∞，0)，(0，＋∞)．【解析】【分析】把函數y化為根式的形式，求出它的定義域和值域；再根據函數奇偶性與單調性的定義進行判斷，即可得出正確的結論．【詳解】∵函數y，∴x2≠0，解得x≠0，∴函數y的定義域是{x|x≠0}；又y＞0，∴函數y的值域是{y|y＞0}；又對定義域內的任意x，有f(﹣x)f(x)，∴y＝f(x)是定義域上的偶函數；又y＝f(x)，當x＞0時，f(x)是減函數，x＜0時，f(x)是增函數，∴(﹣∞，0)和(0，＋∞)是函數的單調區(qū)間．故答案為：{x|x≠0}；{y|y＞0}；偶函數；(﹣∞，0)，(0，＋∞)．13．寫出一個具有性質①②③的函數______．①定義域為；②在單調遞增；③．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據函數的定義域、單調性、運算求得符合題意的函數.【詳解】的定義域為，在區(qū)間遞增，且，所以符合題意.故答案為：（答案不唯一）14．已知冪函數的圖象關于軸對稱，且在上單調遞減，則滿足的的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據冪函數的單調性和奇偶性得到，代入不等式得到，根據函數的單調性解得答案.【詳解】冪函數在上單調遞減，故，解得.，故，，.當時，不關于軸對稱，舍去；當時，關于軸對稱，滿足；當時，不關于軸對稱，舍去；故，，函數在和上單調遞減，故或或，解得或.故答案為：B組能力提升能1．若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】令，利用導數說明函數的單調性，即可得到函數的最大值，再利用作差法判斷、，即可得解；【詳解】解：令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以又所以，即.故選：A2．已知是方程的根，是方程的根，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分析可知是與的圖象的交點橫坐標，是與的圖象的交點橫坐標，函數與的圖象關于直線對稱，函數的圖象關于直線對稱，利用對稱性可求得結果.【詳解】方程可變形為，方程可變形為，所以，是與的圖象的交點橫坐標，是與的圖象的交點橫坐標，因為與互為反函數，這兩個函數的圖象關于直線對稱，在函數圖象上任取一點，該點關于直線的對稱點的坐標為，由可得，則點也在函數的圖象上，故函數的圖象關于直線對稱，所以，點與點關于直線對稱，所以，故.故選：D.3．設，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析