第三講分離變量法

第三講分離變量法第一頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例如：若u1(x,t)是方程的解，而u2(x,t)是方程的解，則對(duì)于任意的常數(shù)C1、C2，函數(shù)是方程的解。典型例子：聲學(xué)中把弦線振動(dòng)時(shí)所發(fā)出的復(fù)雜的聲音分解成各種單音的疊加。第二頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一2．傅立葉級(jí)數(shù)若f(x)是以2l為周期的函數(shù)，在[-l，l]上滿足Dirichlet條件，即在上只有有限多個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限多個(gè)極值點(diǎn)，則在[-l，l]上f可以展開成Foureir級(jí)數(shù)第三頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一當(dāng)f為奇函數(shù)時(shí)，當(dāng)f為偶函數(shù)時(shí)，第四頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一3．常系數(shù)二階線性常微分方程的通解(1).當(dāng)k1,k2為實(shí)數(shù)且k1≠k2時(shí)，(2).當(dāng)k1=k2=k時(shí)，(3).當(dāng)k1=,k2=特征方程:第五頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一§3-1有界弦的自由振動(dòng)——齊次弦振動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題我們?cè)O(shè)想先求出足夠多的變量分離形式的非平凡(即不恒為零)的特解u(x,t)=X(x)T(t)，然后把這些特解疊加得到問(wèn)題的最終解以下我們?cè)敿?xì)介紹如何運(yùn)用這一思想求解初邊值問(wèn)題：3.1第六頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)將上式分離變量，有：在(3.2)式中，左邊僅是t的函數(shù)，右邊僅是x的函數(shù)，左右兩端要相等，只有等于同一個(gè)常數(shù)才可能。記這個(gè)常數(shù)為-λ(其值待定)，就得到：帶入方程(3.1)，得到：Sturm-Liouville方程第七頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一情況A當(dāng)λ<0時(shí)，方程(3.4)的通解為這樣方程(3.2)就被分離為兩個(gè)常微分方程，可以通過(guò)求解這兩個(gè)方程來(lái)決定X(x)和T(t)，從而得到方程(3.1)的特解X(x)T(t)。為了使此解是滿足齊次邊界條件的非平凡解，就必須找出方程(3.4)的滿足邊界條件X(0)=0，X(l)=0的非平凡解。由常微分方程理論可知，方程(3.4)的通解隨λ>0,λ=0以及λ<0而不同，下面分以上三種情況討論。X(0)=0，X(l)=0Sturm-Liouville問(wèn)題特征值問(wèn)題：尋找λ值使S-L問(wèn)題有非零解。特征方程的實(shí)根:第八頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一要使它滿足邊界條件X(0)=0和X(l)=0，就必有從而推知C1=C2=0。故在λ<0的情況下不可能得到非平凡解。(齊次線性代數(shù)方程組系數(shù)行列式不為零)情況B當(dāng)λ=0時(shí)，方程(3.4)的通解為要使它滿足邊界條件X(0)=0和X(l)=0，X(x)也必恒為零。第九頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一情況C當(dāng)λ>0時(shí)，方程(3.4)的通解為要使此解滿足邊界條件X(0)=0，則C1=0。為了使C2≠0，就必須有于是可以確定λ的取值為這樣就找到了一族非零解：再由X(l)=0，可知特征值特征函數(shù)第十頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一數(shù)學(xué)上，稱(3.5)右端的函數(shù)為常微分方程(3.4)滿足邊界條件X(0)=0和X(l)=0的固有函數(shù)（或特征函數(shù)），而λ=k2π2/l2稱為相應(yīng)的固有值或特征值。例題第十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一將固有值λk帶入方程(3.3)中，可求得其通解為上式中Ak，Bk

為任意待定常數(shù)。這樣我們就得到了方程(3.1)滿足邊界條件u(0,t)=0和u(l,t)=0的分離變量形式的特解:特征方程的實(shí)根:第十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一現(xiàn)在我們?cè)O(shè)法作出這種特解的適當(dāng)?shù)木€性組合，以得出初邊值問(wèn)題的解。也就是說(shuō)，要確定出常數(shù)Ak

和Bk

使?jié)M足初始條件第十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一在(3.6)式中的級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)，我們得到：結(jié)合初始條件，應(yīng)有觀察發(fā)現(xiàn)Ak

和Bkkπa/l分別是φ(x)和ψ(x)在區(qū)間[0,l]上正弦展開的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，即第十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一前面的推導(dǎo)說(shuō)明了初邊值問(wèn)題如果有解，那么它的解可以表示為(2.24)式的級(jí)數(shù)形式，現(xiàn)在的問(wèn)題是：什么條件下，初邊值問(wèn)題的解一定存在？定理：若函數(shù)φ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，ψ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且則弦振動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題(3.1)的解是存在的，它可以由級(jí)數(shù)(3.6)給出，Ak和Bk

由(3.7)式確定。通常我們稱(3.8)式為相容性條件。將由(3.7)式表示的Ak，Bk

代入(3.6)式中，就得到了用級(jí)數(shù)形式表示的初邊值問(wèn)題(3.1)的解。第十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一的平均收斂極限，當(dāng)n很大時(shí)，因?yàn)榉匠毯瓦吔鐥l件都已滿足，初始條件也近似得到了滿足，由此可以把un(x,t)看成問(wèn)題的近似解。如果φ(x)和ψ(x)不滿足以上定理的條件，我們可以把φ(x)和ψ(x)看成函數(shù)列第十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1：求下解問(wèn)題解：此題屬于有界弦的振動(dòng)，且根據(jù)上述，可知：第十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中：例2，例3第十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一比較波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)方程位勢(shì)方程第十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一§3-2有界桿上的熱傳導(dǎo)問(wèn)題初邊值問(wèn)題的分離變量法在前一章中，我們用分離變量法求得了波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的解。這一方法對(duì)熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題也是適用的。以下以熱傳導(dǎo)方程在邊界上分別取第一和第三邊界條件的初邊值問(wèn)題為例詳細(xì)討論其求解過(guò)程。利用分離變量法求解如下的初邊值問(wèn)題第二十頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中h為正的常數(shù)。用分離變量法求解，令u(x,t)=X(x)T(t)，這里X(x)和T(t)分別表示僅與x有關(guān)和僅與t有關(guān)的函數(shù)，把它代入方程(3.14)得到這個(gè)等式只有在兩邊均等于常數(shù)時(shí)才能成立。令該常數(shù)為-λ，則有首先考慮方程(3.19)的求解。根據(jù)邊界條件(3.16)和(3.17)，X(x)應(yīng)當(dāng)滿足邊界條件第二十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)于邊值問(wèn)題(3.19)和(3.20)，通過(guò)與前一章類似的討論可得：(1)當(dāng)λ<0或λ=0時(shí)，只有平凡解X=0(2)當(dāng)λ>0時(shí)，利用邊界條件X(0)=0得A=0，于是由(3.20)的第二個(gè)邊界條件可以得到為了使X(x)為非平凡解，λ應(yīng)滿足即λ是以下超越方程的正解：第二十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一令則(3.19)式變?yōu)槔脠D解法或數(shù)值解法可以得出這個(gè)方程的根。由右圖可知，方程有可列舉的無(wú)窮多個(gè)正根υk>0(k=1,2,…)，滿足(k-1/2)π<υk<kπ。因此，特征值問(wèn)題(3.19)和(3.20)存在無(wú)窮多個(gè)固有值：以及固有函數(shù)：第二十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一把前面得到的代入方程(3.18)可得于是我們得到一列可分離變量的特解由于方程(3.14)和邊界條件(3.16)和(3.17)都是齊次的，所以可以利用疊加原理構(gòu)造級(jí)數(shù)形式的解以下的任務(wù)是利用初始條件(3.15)來(lái)決定常數(shù)Ak，為了使在t=0時(shí)u(x,t)取到初值φ(x)，應(yīng)成立第二十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一為了確定系數(shù)Ak，須先證明固有函數(shù)系在[0,l]上正交。設(shè)固有函數(shù)Xn和Xm分別對(duì)應(yīng)于不同的固有值λn和λm，即以Xn和Xm分別乘以上面第一和第二式，相減后在[0,l]積分，利用Xn和Xm都滿足邊界條件(3.20)，就得到由于λn和λm不等，故得到固有函數(shù)系的正交性：于是在(3.23)兩邊乘以

再進(jìn)行積分，利用固有函數(shù)系的正交性得：第二十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一記那么有將其代入(3.22)式就得到了初邊值問(wèn)題(3.14)至(3.17)的形式解為從(3.24)式來(lái)看，由于存在因子，因此級(jí)數(shù)(3.24)可以很快收斂。這個(gè)特點(diǎn)也使得解的存在條件要比波動(dòng)方程更寬松,僅需φ(x)一階連續(xù)可導(dǎo)且第二十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例題第二十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2：求定解問(wèn)題解：沒有現(xiàn)成的公式可套，直接采用分離變量法求解（1）分離變量：