第6章與概率分布

1北京師范大學(xué)心理學(xué)院

第六章概率與概率分布2Outline一、概率介紹二、概率與正態(tài)分布三、概率與二項(xiàng)分布四、關(guān)于推論統(tǒng)計(jì)3一、概率介紹1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件1.2概率定義1.3概率運(yùn)算的基本法則41.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件確定現(xiàn)象在一定條件下完全可以預(yù)言其一定出現(xiàn)或一定不出現(xiàn)的現(xiàn)象叫確定現(xiàn)象。其中：必然出現(xiàn)的現(xiàn)象叫必然現(xiàn)象?？隙ú粫?huì)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫不可能現(xiàn)象。

隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果、也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而且事先并不能斷定會(huì)出現(xiàn)哪樣結(jié)果的現(xiàn)象叫隨機(jī)現(xiàn)象。5隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。例如：向空中擲出一枚質(zhì)地均勻的硬幣，硬幣落地時(shí)“正面向上”是一個(gè)隨機(jī)事件，“正面向下”也是一個(gè)隨機(jī)事件。從全體考生中任意取一名學(xué)生，其成績(jī)“高于錄取線”“等于錄取線”“低于錄取線”這三種結(jié)果分別為三個(gè)隨機(jī)事件。通常用大寫字母A、B、C等表示事件。1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件61.2概率的定義觀察一定條件下發(fā)生的隨機(jī)事件稱作隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。一次試驗(yàn)中不同事件發(fā)生的可能性有時(shí)相等也有時(shí)不相等。向空中擲一個(gè)質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)正面向上為事件A，正面向下為事件B，事件A與事件B發(fā)生的可能性相等從某班（由30名男生18名女生組成）隨機(jī)抽取一人，設(shè)抽中男生為事件A，抽中女生為事件B，則事件A發(fā)生的可能性大于事件B發(fā)生的可能性71.2概率的定義定義：反映事件在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)量化指標(biāo)叫做概率。介紹兩種基本的、較易理解的概率定義。先驗(yàn)概率經(jīng)驗(yàn)概率8先驗(yàn)概率當(dāng)一次試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)（設(shè)為n個(gè)），且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，若事件A包含m個(gè)可能結(jié)果時(shí)，則：1.2概率的定義符合事件A的結(jié)果的數(shù)目所有可能結(jié)果的總數(shù)事件A的概率=可能結(jié)果??9例1:擲一枚均勻的骰子，求擲出偶數(shù)的概率?？赡艿慕Y(jié)果：{1，2，3，4，5，6}符合事件A(偶數(shù))的結(jié)果：{2，4，6}可能結(jié)果的總數(shù)

n=6符合事件A的結(jié)果的數(shù)目m=310例2:一袋中有紅球2個(gè)，蘭球3個(gè)，白球5個(gè)，現(xiàn)從袋中隨意抽出一球，求下列事件發(fā)生的概率。(a)抽得紅球或白球(c)抽得的球並非白球(b)抽得黑球球的總數(shù)

=2+3+5

=10個(gè)

P(黑球)=0

P(並非白球)=P(紅球或蘭球)結(jié)論:P(不可能事件)P(必然事件)11例3:從一副52張撲克牌中隨意抽出一張，求下列事件的概率是多少?一副撲克牌中有4種花色:黑色的黑桃

和梅花

紅色的紅心

和方塊每種花色有13張牌。(a)抽得A (c)抽得紅心A(b)抽得梅花牌 (d)抽得紅心牌或A12例3:從一副52張撲克牌中隨意抽出一張，求下列事件的概率是多少?(a)抽得A (c)抽得紅心A(b)抽得梅花牌 (d)抽得紅心牌或A(a)P(A)=(b)P(梅花)=(c)P(紅心A)=(b)P(紅心牌或A)=13例4:一個(gè)家庭有3個(gè)孩子。求下列事件的概率: (a)這個(gè)家庭有3個(gè)男孩。

(b)這個(gè)家庭有2個(gè)男孩和1個(gè)女孩。

(c)這個(gè)家庭至少有1個(gè)男孩。設(shè)B代表男孩，G代表女孩。可能的結(jié)果是可能的結(jié)果的數(shù)目=8(a)P(BBB)81(c)P(至少有1個(gè)男孩)(b)P(2B1G)83=1-P(沒(méi)有男孩)BBBBBGBGBBGGGBBGBGGGBGGG14隨機(jī)取樣隨機(jī)取樣：在總體中的每個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被選擇，或者選擇一個(gè)個(gè)體的概率與選擇任意另外一個(gè)個(gè)體的概率必須相同。要求一保證了在選擇程序中不存在偏差；要求二其實(shí)是返還取樣。151.2概率的定義經(jīng)驗(yàn)概率有些情況很難按照概率的古典定義去計(jì)算某一事件的概率。例如：研究青少年的犯罪率；某種新藥在治療中的有效率，等等這類現(xiàn)象不確定因素較多，不滿足“基本事件個(gè)數(shù)有限”；“每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等”的先驗(yàn)概率條件161.2概率的定義經(jīng)驗(yàn)概率計(jì)算某事件在一系列試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，然后計(jì)算發(fā)生次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值得到的頻率在不變的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率隨著n的增大，逐漸逼近某一數(shù)值，這個(gè)數(shù)值即事件A的概率當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，一般以事件A發(fā)生的頻率去估計(jì)其概率P(A)17擲一枚均勻的骰子，擲出'1'的概率0.167現(xiàn)在做一實(shí)驗(yàn)，擲一枚不均勻的骰子多次，其結(jié)果如下:此為先驗(yàn)概率此為經(jīng)驗(yàn)概率擲出'1'的概率點(diǎn)數(shù)123456次數(shù)188131074=0.3擲骰總次數(shù)

=18+8+13+10+7+4=601.2概率的定義18經(jīng)驗(yàn)概率

—由試驗(yàn)的結(jié)果計(jì)算出的概率事件A的經(jīng)驗(yàn)概率=事件A發(fā)生的次數(shù)試驗(yàn)的總次數(shù)n→∞隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性．

19歷史上曾有人做過(guò)拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果如下表：72088拋擲次數(shù)正面向上次數(shù)頻率（）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120500530000149840.4996361240.5011當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數(shù)0.5，在它左右擺動(dòng)．

200.9510.9540.940.970.920.9優(yōu)等品頻率19029544701949245優(yōu)等品數(shù)2000100050020010050抽取球數(shù)某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果表：當(dāng)抽查的球數(shù)很多時(shí)，抽到優(yōu)等品的頻率接近于常數(shù)0.95，在它附近擺動(dòng)。1.2概率的定義21概率的加法如果A、B不可能同時(shí)發(fā)生，那么它們至少有一個(gè)發(fā)生的概率是：例:從去掉大小王的一副撲克牌中隨機(jī)抽到黑桃Q的概率是1/52，而抽到一張紅心的概率是1/4；因此“抽到黑桃Q或者紅心”的概率是1/52+1/4=7/26。1.3概率運(yùn)算的基本法則22概率的乘法（獨(dú)立事件）如果A、B相互不產(chǎn)生影響，那么它們同時(shí)發(fā)生的概率是：例:一個(gè)畢業(yè)生給三家單位各發(fā)一份求職信，被拒絕的概率分別是1/2，2/3，3/4；那么他一份工作都找不到的概率是

1/2×2/3×3/4=?＝0.25或者說(shuō)他至少能找到一份工作的概率是

1-0.25=0.75。1.3概率運(yùn)算的基本法則23概率的乘法（非獨(dú)立事件）而當(dāng)A與B不相互獨(dú)立時(shí)，往往在已知事件B發(fā)生的條件下去計(jì)算事件A的概率，這時(shí)稱為在B發(fā)生的情況下A的條件概率，記做；同樣在A發(fā)生的情況下B的條件概率為，這時(shí)：兩個(gè)事件之積的概率等于其中一個(gè)事件的概率乘以在它發(fā)生的條件下另一事件的條件概率。即1.3概率運(yùn)算的基本法則24例:某中學(xué)初二年級(jí)學(xué)生參加課外小組的情況如下：外語(yǔ)數(shù)學(xué)天文未參加任何小組合計(jì)男727184092女12155558719422395179若從該年級(jí)任取一名學(xué)生，則該生是男生的概率;是外語(yǔ)小組成員的概率;是男生且為外語(yǔ)小組成員的概率;是女生且為外語(yǔ)小組成員的概率分別為多少？1.3概率運(yùn)算的基本法則25解：令“該生是男生”為事件A；“該生是女生”為事件B“該生是外語(yǔ)小組成員”為事件C則“該生是男生且為外語(yǔ)小組成員”為事件A∩C“該生是女生且為外語(yǔ)小組成員”為事件B∩C從題目所給數(shù)據(jù)可知：1.3概率運(yùn)算的基本法則26根據(jù)乘法定理：1.3概率運(yùn)算的基本法則27練習(xí)例1：某一學(xué)生從５個(gè)試題中任意抽取一題，進(jìn)行口試。如果抽到每一題的概率為1／5，則抽到試題１或試題２的概率是多少？如果前一個(gè)學(xué)生把抽過(guò)的試題還回后，后一個(gè)學(xué)生再抽，則４個(gè)學(xué)生都抽到試題1的概率是多少？28抽到第一題或第二題的概率應(yīng)為抽到第一題的概率和抽到第二題的概率之和，即四個(gè)學(xué)生都抽到第一題即四個(gè)學(xué)生同時(shí)抽到第一題，其概率應(yīng)為抽到第一題的概率的乘積，即29例2：從30個(gè)白球和20個(gè)黑球共50個(gè)球中隨機(jī)抽取兩次（放回抽樣），問(wèn)抽出一個(gè)黑球和一個(gè)白球的概率是多少？30抽出一個(gè)白球的概率為3／5,抽出一個(gè)黑球的概率為2／5。抽出一個(gè)黑球和一個(gè)白球的情況應(yīng)包括先抽出一個(gè)黑球、后抽出一個(gè)白球和先抽出一個(gè)白球、后抽出一個(gè)黑球兩種情況。因此：31二、概率與正態(tài)分布2.1隨機(jī)變量2.2概率分布2.3正態(tài)分布2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例2.6正態(tài)分布在測(cè)驗(yàn)計(jì)分方面的應(yīng)用322.1隨機(jī)變量什么是隨機(jī)變量隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用變量來(lái)表示，此時(shí)的變量是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的描述，因此稱作隨機(jī)變量.一般也用大寫字母X、Y、Z…來(lái)標(biāo)記。33例如，在主樓前面隨機(jī)抽取3名學(xué)生是一次隨機(jī)試驗(yàn)，抽到“射手座”學(xué)生的個(gè)數(shù)有幾種情況？0個(gè)人，1個(gè)人，2個(gè)人，3個(gè)人。共四種用隨機(jī)變量X表示其4種可能結(jié)果時(shí)記為X＝0、X＝1、X＝2、X＝3。也常記做{X＝i}其中i＝0、1、2、3。2.1隨機(jī)變量34隨機(jī)變量按其取值是否連續(xù)，可分為離散型和連續(xù)型兩種類型。1、離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X只能取可數(shù)的或有限個(gè)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。例如，從班上隨機(jī)抽取10名學(xué)生的試驗(yàn)，所得的男生人數(shù)是離散可數(shù)的，即隨機(jī)變量X只能取0、1、2、…彼此之間不可能再取值。離散型隨機(jī)變量的取值都可以一一列出來(lái)2.1隨機(jī)變量352、連續(xù)型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X所可能取的值不能一一列舉，只能以一個(gè)區(qū)間表示，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。例如，試驗(yàn)中的事件所代表的是長(zhǎng)度、重量、智力等連續(xù)數(shù)據(jù)，那么表示事件的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量。它的形式不能是{X=x1}、{X=a}等等，而是{X>1}、{a<X<b}等等。2.1隨機(jī)變量36連續(xù)型隨機(jī)變量舉例試驗(yàn)

隨機(jī)變量

可能取值

測(cè)量人的體重

重量

45.1,78,...檢測(cè)零件壽命

小時(shí)

900,875.9,...食品花費(fèi)

費(fèi)用

54.12,42,...2.1隨機(jī)變量37概率分布是指隨機(jī)變量取值的概率分布，也稱隨機(jī)變量的分布。在實(shí)際應(yīng)用中常常根據(jù)頻率分布的形態(tài)對(duì)概率分布的形態(tài)做近似的估計(jì)。例如：根據(jù)500次擲硬幣的實(shí)際結(jié)果做的頻率分布，“正面向上”及“正面向下”的頻率接近0.5，因此可以估計(jì)擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中正面向上和正面向下的概率均為0.5。隨機(jī)抽取200名兒童進(jìn)行智力測(cè)驗(yàn)，結(jié)果智商的頻率分布很接近正態(tài)分布，因此估計(jì)兒童智力的概率分布為正態(tài)分布。2.2概率分布38離散型數(shù)據(jù)的分布連續(xù)型數(shù)據(jù)的分布數(shù)據(jù)分布的類型2.2概率分布39（一）離散型隨機(jī)變量的分布1、離散型隨機(jī)變量的概率分布由于離散型隨機(jī)變量所取的值是可數(shù)的、可以將一個(gè)一個(gè)孤立的數(shù)值與取該值的概率一一對(duì)應(yīng)地列出，使隨機(jī)變量的取值規(guī)律得以直觀反映，所列出的取值與其所對(duì)應(yīng)的概率稱作離散型隨機(jī)變量概率的分布列。2.2概率分布40例：某學(xué)生對(duì)三道是非判斷題完全不會(huì)，只憑猜測(cè)來(lái)回答，則其“猜對(duì)題數(shù)”的概率分布如何？解：猜的結(jié)果有以下8種：A＝{對(duì)對(duì)對(duì)、對(duì)對(duì)錯(cuò)、對(duì)錯(cuò)對(duì)、錯(cuò)對(duì)對(duì)、錯(cuò)對(duì)錯(cuò)、錯(cuò)錯(cuò)對(duì)、對(duì)錯(cuò)錯(cuò)、錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)}猜對(duì)3道題包含1個(gè)基本事件：對(duì)對(duì)對(duì)猜對(duì)2道題包含3個(gè)基本事件：對(duì)對(duì)錯(cuò)、對(duì)錯(cuò)對(duì)、錯(cuò)對(duì)對(duì)；猜對(duì)1道題包含3個(gè)基本事件：錯(cuò)對(duì)錯(cuò)、錯(cuò)錯(cuò)對(duì)、對(duì)錯(cuò)錯(cuò)猜對(duì)0道題包含1個(gè)基本事件：錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)。2.2概率分布41因此，“猜對(duì)題數(shù)”的概率分布列為：x0123P(X=x)1/83/83/81/8從其概率分布還可以進(jìn)一步計(jì)算：猜對(duì)兩道及兩道以上題目的概率

P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝3/8+1/8=0.5

猜對(duì)不超過(guò)一道題的概率P（X≤1）

P（X≤1）＝P（X＝1）＋P（X＝0）＝3/8+1/8=0.52.2概率分布422、繪出概率分布圖橫軸為隨機(jī)變量X的取值x1、x2…等，縱軸為與x1、x2…對(duì)應(yīng)的P(x1)、P(x2)…圖5-4離散型隨機(jī)變量概率分布圖例如，上面的分布列做出圖來(lái)即：2.2概率分布43（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的取值無(wú)法一一列舉，因此無(wú)法用分布列的形式描述其概率分布，常用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示隨機(jī)變量X在不同情況下的概率分布。2.2概率分布44當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，且存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)使得∫表示積分，dx表示x的微分則稱為X的概率密度函數(shù)或簡(jiǎn)稱密度函數(shù)，由于的概率為1，所以2.2概率分布45連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布也可以用圖來(lái)表示：如圖，函數(shù)f(x)可以直觀地表現(xiàn)隨機(jī)變量X在某點(diǎn)附近取值的概率分布特征。概率密度(曲線底下面積)隨機(jī)變量值注意：f(x)不是x＝a的概率，它反映概率集中在a點(diǎn)的程度，“概率密度”即由此而來(lái)。性質(zhì)：a點(diǎn)的概率密度f(wàn)(x)abx2.2概率分布46概率就是密度曲線下的面積!P(c≤x≤d)f(x)dxcdcdf(x)xTips2.2概率分布47離散型數(shù)據(jù)的分布二項(xiàng)分布泊松分布連續(xù)型數(shù)據(jù)的分布均勻分布正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布2.2概率分布48正態(tài)分布也稱常態(tài)分布，是連續(xù)型隨機(jī)變量中最重要的概率分布。又稱作高斯分布。在實(shí)踐中應(yīng)用十分廣泛，許多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布。正態(tài)分布是很多統(tǒng)計(jì)理論的基礎(chǔ)。根據(jù)正態(tài)分布可以推導(dǎo)出其它有用的分布。2.3正態(tài)分布49

= 正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差x = 隨機(jī)變量X的取值(-<x<) = 正態(tài)分布的平均數(shù)

= 3.14159;e=2.71828若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則稱X服從正態(tài)分布，記做式中：2.3正態(tài)分布50正態(tài)分布密度曲線平均數(shù)xf(x)μ根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)可以畫(huà)出以下正態(tài)分布曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。2.3正態(tài)分布51正態(tài)分布的特點(diǎn)正態(tài)分布曲線是一個(gè)中間最高，兩邊逐漸下降，兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交，兩側(cè)完全對(duì)稱的鐘形曲線。正態(tài)曲線關(guān)于X＝

對(duì)稱；正態(tài)曲線是單峰，在X＝

時(shí)f(x)有最大值；X＝

＋

兩點(diǎn)是正態(tài)曲線的拐點(diǎn)，即曲線由中央向兩側(cè)逐漸彎曲時(shí)，在拐點(diǎn)改變彎曲方向；正態(tài)曲線兩端無(wú)限延伸，逐漸接近X軸但不與X軸相交。越來(lái)越近，但永不相交2.3正態(tài)分布52正態(tài)分布中的兩個(gè)參數(shù)

與，即均值與標(biāo)準(zhǔn)差決定了正態(tài)曲線的形狀。123Xf(X)

圖

標(biāo)準(zhǔn)差相同，均值不同（）的正態(tài)分布2.3正態(tài)分布53Xf(X)圖

均值相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同（>>）的正態(tài)分布2.3正態(tài)分布54改變參數(shù)(&)對(duì)正態(tài)分布曲線的影響CABxf(x)曲線A和B均值相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同；曲線A和C均值不同，標(biāo)準(zhǔn)差相同2.3正態(tài)分布55決定曲線位置和形態(tài)的關(guān)鍵數(shù)值是分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差大時(shí)，曲線形態(tài)低寬，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差小時(shí)曲線形態(tài)高窄。平均數(shù)決定曲線在橫軸上的位置。有多少對(duì)平均數(shù)值和標(biāo)準(zhǔn)差值的組合就有多少條正態(tài)分布曲線。平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)曲線，統(tǒng)計(jì)中規(guī)定它為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。2.3正態(tài)分布56正態(tài)分布的特殊概率值如前所述，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，其任意區(qū)間的概率計(jì)算為在正態(tài)分布中，變量X的取值在任意a、b之間的概率可以用圖中陰影部分的面積表示。f(x)abx2.3正態(tài)分布57正態(tài)分布的特殊概率值（續(xù)）對(duì)于正態(tài)分布，有：2.3正態(tài)分布58X68.3%95.4%99.7%圖5-6、、之間的概率mμ-σμ-2σμ+σμ+2σμ+3σμ-3σ2.3正態(tài)分布5990%樣本95%樣本99%樣本正態(tài)分布的特殊概率值（續(xù)）更常用的區(qū)間：2.3正態(tài)分布60平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)曲線，被規(guī)定為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線任何一條正態(tài)分布曲線都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線，方法就是將原來(lái)的數(shù)據(jù)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z分?jǐn)?shù)。由的轉(zhuǎn)換稱作X的標(biāo)準(zhǔn)化。2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布61若X為正態(tài)隨機(jī)變量，即，則經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后的Z服從，的正態(tài)分布，即，對(duì)于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為：2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布62與各不相同的正態(tài)分布，正態(tài)曲線的形態(tài)也不盡相同，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后都可轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因而計(jì)算概率比較方便。例如：所以，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以很方便的解決任何正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題!重要！2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布63標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是我們應(yīng)用最多的分布形態(tài)。與其它正態(tài)分布曲線一樣，它的曲線下的面積為1，以平均數(shù)處的縱軸成軸對(duì)稱。該軸將曲線下面積分為相等的兩部分，各為0.5。平均數(shù)點(diǎn)的Z值為0，整個(gè)曲線下的橫軸近似為六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，三個(gè)正，三個(gè)負(fù)。正態(tài)分布表就是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的這些特點(diǎn)建立起來(lái)的。2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布64認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表一般標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中與對(duì)應(yīng)的數(shù)值有兩個(gè)1.正態(tài)分布的縱坐標(biāo)（常以y表示），即點(diǎn)的概率密度；2.曲線下的面積（常以P表示），即正態(tài)分布的積分值，表示某區(qū)間的概率。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于Z＝0對(duì)稱，因此，絕大多數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表只列出與Z>0對(duì)應(yīng)的面積，若Z<0時(shí)，只需查，然后根據(jù)情況利用其關(guān)于Z＝0對(duì)稱再確定所求的面積。2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布65任意正態(tài)分布，例如Zx-

m=s標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化有無(wú)窮種平均分和標(biāo)準(zhǔn)差的組合，就有無(wú)窮個(gè)正態(tài)分布，就有無(wú)窮個(gè)正態(tài)分布表！xm=3.5s=1.50m=0s=1

z就一個(gè)概率分布表！2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布66標(biāo)準(zhǔn)化舉例已知正態(tài)分布：xm=5s=106.2求P(5<X<6.2)解題思路：a）任意正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化b）求區(qū)間相應(yīng)上下限的Z值c）查表求概率2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布67標(biāo)準(zhǔn)化舉例Z2

=X-

m=s6.2-510=.120.12xm=5s=106.2m=0s=1

zZ1

=0P=0.04782.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布68通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化，所有不同的正態(tài)分布的概率問(wèn)題，都將轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問(wèn)題，只需要查一個(gè)表——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布表2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布69例：

一般認(rèn)為各種考試成績(jī)服從正態(tài)分布。假定在一次公務(wù)員資格考試中，平均成績(jī)是

60分，標(biāo)準(zhǔn)差是10分；甲同學(xué)考了75分，問(wèn)他應(yīng)該如何看待他的這個(gè)成績(jī)？解：

首先把這個(gè)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成z

變量。

z1=(75-60)/10=1.5；

p值為

0.43319，則0.5-0.43319=0.06681即大約只有不到百分之七的考生的成績(jī)能比他的更好。

70如果某個(gè)人只考了40分，那么轉(zhuǎn)化成z變量的值是：Z2=(40-60)/10=-2，相應(yīng)的p值是0.47725,0.5-0.47725=0.02275，即只有大約百分之二人的成績(jī)比他的更糟糕。71你是某電器生產(chǎn)廠家的質(zhì)量監(jiān)控員。已有資料表明，電燈泡的壽命是正態(tài)分布的，平均數(shù)=2000

小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差=200

小時(shí)。請(qǐng)問(wèn)，一個(gè)燈泡能夠照明以下小時(shí)的概率是多大A.2000

到

2400

小時(shí)之間?B.

不到1470小時(shí)?2.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例72解題：P(2000

X

2400)xm

=2000s

=2002400正態(tài)分布zm

=0s

=12.0

.4772標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z2

=X-

m=s2400-2000200=2.02.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例73解題：P(X1470)xm

=2000s

=2001470正態(tài)分布zm

=0s

=1-2.65.4960

.0040.5000標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z=X-

m=s1470-2000200=-2.652.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例74zm

=0s

=1?（1）已知概率求標(biāo)準(zhǔn)分.1217如果

P(Z)=P(0≤z≤Z2)=.1217，那么Z2

＝?2.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例75標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(部分)已知P(Z)=.1217，求z=?zm

=0s

=1?.12172.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例76已知P(Z)=.1217，求z=?zm

=0s

=1.31.1217標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(部分)2.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例77正態(tài)分布（2）已知概率求隨機(jī)變量值xm

=5s

=10?.12172.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例78正態(tài)分布xm

=5s

=10?.1217標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

.1217zm

=0s

=1.312.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例79正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

.1217

.1217xm

=5s

=10?zm

=0s

=1.312.5正態(tài)分布應(yīng)用實(shí)例80練習(xí)訂閱者閱讀《北京日?qǐng)?bào)》的平均時(shí)間是49分鐘，假定標(biāo)準(zhǔn)差是16分鐘并且讀報(bào)時(shí)間呈正態(tài)分布一名訂閱者至少花1小時(shí)讀報(bào)的概率？一名訂閱者讀報(bào)時(shí)間不超過(guò)30分鐘的概率？10%讀報(bào)時(shí)間最長(zhǎng)的人至少讀報(bào)多少分鐘？81解答求P(X>60)

當(dāng)X=60，Z=(60-49)/16=11/16=.69

P(X>60)=P(Z>.69)=0.5-P(0<Z<0.69)=.2451求P(X<30)

當(dāng)X=30，Z=(30-49)/16=-19/16=-1.19

P(X<30)=P(Z<-1.19)=0.5-P(0<Z<1.19)=0.5-.3830=.1170求標(biāo)準(zhǔn)分Z使得P(z>Z)=.10亦即P(0.5<z<Z)=.40，查表得Z=1.28，X=49+(16)(1.28)=69.48

因此，10%花費(fèi)最多時(shí)間讀報(bào)的人至少讀報(bào)69.48分鐘82練習(xí)美國(guó)人第一次結(jié)婚的平均年齡為26歲，假設(shè)第一次結(jié)婚的年齡為正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為4年一個(gè)美國(guó)人第一次結(jié)婚時(shí)年齡小于23歲的概率？一個(gè)美國(guó)人第一次結(jié)婚時(shí)年齡在20-30歲間的概率？90%的美國(guó)人在多大年齡以前第一次結(jié)婚？.2266;.7745;31.12歲832.6正態(tài)分布在測(cè)驗(yàn)計(jì)分方面的應(yīng)用1．以標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)表示考試成績(jī)比較學(xué)生的考試成績(jī)時(shí)，使用原始分?jǐn)?shù)有其不合理之處：⑴原始分制度沒(méi)有提示考生成績(jī)?cè)诳忌鷪F(tuán)體成績(jī)中的位置。⑵由于各科命題難度不同，導(dǎo)致各科原始分之間不能直接比較，造成分?jǐn)?shù)解釋上的困難。⑶各科原始分相加不合理。

84采用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，有如下特點(diǎn)：⑴標(biāo)準(zhǔn)分的大小，既表明考生水平的高低，也表明該生在考生團(tuán)體中的位置的高低。⑵各科標(biāo)準(zhǔn)分都表示考生各科在同一團(tuán)體中的位置，可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分大小直接比較考生的各科成績(jī)水平。⑶各科標(biāo)準(zhǔn)分的參照點(diǎn)（平均分為500分）和單位（1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為100分）都一樣，具有可加性,克服了原始分的缺陷。852．確定等級(jí)評(píng)定的人數(shù)如要將某種能力的分?jǐn)?shù)分成等距的幾個(gè)等級(jí)，在確定各等級(jí)人數(shù)時(shí)，可將正態(tài)分布基線上Z＝－3至Z＝＋3之間6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離分成相等的幾份，然后查表求出各段Z值之間的面積，再乘以總?cè)藬?shù)，即為各等級(jí)人數(shù)。862．確定等級(jí)評(píng)定的人數(shù)[例]要想把100人在某一能力上分成5個(gè)等級(jí)，各等級(jí)應(yīng)該有多少人，才能使等級(jí)評(píng)定做到等距？按上述步驟，計(jì)算如下：6σ÷5=1.2σ，要使各等級(jí)等距，每一等級(jí)應(yīng)占1.2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離。確定各等級(jí)的Z分?jǐn)?shù)界限，然后查表。分組各組界限比率P人數(shù)A1.8σ以上0.03594B0.6σ—1.8σ0.238424C-0.6σ—0.6σ0.451444D-1.8—-0.6σ0.238424E-1.8以下0.03594N=100873．品質(zhì)評(píng)定數(shù)量化在心理與教育研究中,常常遇到等級(jí)評(píng)定的結(jié)果。但是不同評(píng)定者的評(píng)定結(jié)果往往不一致，無(wú)法綜合他們的評(píng)定結(jié)果，而且等級(jí)分?jǐn)?shù)不是等距數(shù)據(jù)，不同事物的評(píng)定結(jié)果不能直接比較。將品質(zhì)評(píng)定的結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)量結(jié)果，就可解決這些問(wèn)題。88具體方法根據(jù)各等級(jí)被評(píng)者的數(shù)目求各等級(jí)的人數(shù)比率；求各等級(jí)比率值的中間值；求各等級(jí)中點(diǎn)以上（或以下）的累積比率；用累積比率查正態(tài)分布表；求被評(píng)者所得評(píng)定等級(jí)的數(shù)量化值的平均值。3．品質(zhì)評(píng)定數(shù)量化下表是3位教師對(duì)100名學(xué)生的學(xué)習(xí)能力所作等級(jí)評(píng)定結(jié)果，由于各自的標(biāo)準(zhǔn)不同，最后評(píng)出各等級(jí)的人數(shù)不同。等級(jí)評(píng)定教師甲乙丙A51020B252025C404035D252015E5105總數(shù)100100100等級(jí)教師甲教師乙教師丙PZPZPZABCDE學(xué)生教師評(píng)定等級(jí)平均成績(jī)1BAA(0.94+1.65+1.28)/3=1.292ABA(1.96+0.84+1.28)/3=1.363DCC(-0.94+0-0.32)/3=-0.4290三、二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（bionimaldistribution）是一種具有廣泛用途的離散型隨機(jī)變量的概率分布，它是由貝努里創(chuàng)始的，因此又稱為貝努里分布。二分類數(shù)據(jù)，觀察對(duì)象只有相互對(duì)立的兩種結(jié)果例如：生存、死亡及格、不及格發(fā)病、不發(fā)病正面、反面91三、二項(xiàng)分布3.1二項(xiàng)分布的定義3.2二項(xiàng)分布圖3.3二項(xiàng)分布的應(yīng)用923.1二項(xiàng)分布的定義設(shè)有n次相互獨(dú)立的試驗(yàn)，任何一次試驗(yàn)恰好有兩個(gè)結(jié)果A與~A，若事件A出現(xiàn)的概率均為p，不出現(xiàn)的概率為q=1-p，那么在n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)x次的概率為：

x=0,1,2,…,n

則稱X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布93例子一個(gè)正常20歲的成年人活至65歲的概率為80%，請(qǐng)問(wèn)三個(gè)成年人中有兩人活到65歲的概率為？

生存率p=80%

死亡率q=1-p=20%94953.1二項(xiàng)分布每一個(gè)人存活至65的概率為80%，三人中有兩人可以存活至65:(0.8)2一人死亡的概率：(0.2)1根據(jù)上圖我們知道這種情形共有(ssf)(sfs)(fss)三種:

C32=3!/(2!(3-2)!)=396練習(xí)：從男生占２/５的學(xué)校中隨機(jī)抽?。秱€(gè)學(xué)生，問(wèn)正好抽到４個(gè)男生的概率是多少？最多抽到２個(gè)男生的概率是多少