411定積分背景-面積和路程問題-課件

第四章定積分§1定積分的概念1.1

定積分的背景——面積和路程問題我們學(xué)過如何求正方形、長(zhǎng)方形、三角形和梯形等平面圖形的面積；這些圖形都是由直線圍成的。那么如何求由曲線圍成的平面圖形的面積呢？本章我們要學(xué)習(xí)的定積分，就可以幫助我們解決這些問題。當(dāng)然定積分還可以解決變速度的路程問題，變力作功問題。它也是我們解決實(shí)際問題的有力的工具。這節(jié)課我們學(xué)習(xí)定積分的背景-面積和路程問題引入xoy圖中陰影部分是由曲線段和直線段圍成的，這樣的平面圖形稱為曲邊梯形，ab曲邊梯形定義：我們把由直線x=a，x=b(a≠b)，

y=0和曲線y=f(x)所圍成的圖形叫作曲邊梯形。那么如何求曲邊梯形面積呢？探究點(diǎn)1：定積分的幾何背景

—曲邊圖形的面積問題

我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家祖沖之，從圓內(nèi)接正六邊形入手，讓邊數(shù)成倍增加，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓面積。

古希臘的數(shù)學(xué)家，從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時(shí)入手，不斷增加它們的邊數(shù)，從里外兩個(gè)方面去逼近圓面積。我們用正多邊形逼近圓的方法(即“以直代曲”)求出了圓的面積，能否也能用直邊形(如矩形)來逼近曲邊梯形的方法求陰影部分面積呢？圓也是由曲線圍成的平面圖形，它的面積怎樣求昵？

y=f(x)bax

yOAA1+A2++An

將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn——

以直代曲,無限逼近

將區(qū)間[a，b]平均分成許多小區(qū)間，把曲邊梯形拆分成一些小曲邊梯形。對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形的面積，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值。

可以想象，區(qū)間拆分的越細(xì)，近似程度就越好，亦即：用化歸為計(jì)算矩形面積和逼近思想來求曲邊梯形的面積?？赏ㄟ^以下幾個(gè)步驟具體實(shí)施：

（1）分割；（2）近似代替；（3）逼近。問題1

圖中陰影部分是由拋物線，直線以及x

軸所圍成的平面圖形，試估計(jì)這個(gè)曲邊梯形的面積S.xoy1xoy1分析

首先，將區(qū)間[0，1]5等分，如圖所示.

圖(1)中，所有小矩形的面積之和（記為S1)顯然大于所求的曲邊梯形的面積，我們稱S1為S的過剩估計(jì)值，有（1）xoy1

圖(2)中，所有陰影小矩形的面積之和(記為s1)顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱s1為S的不足估計(jì)值，有.（2）xoy1思考：我們可以用S1或s1近似表示S，但是都存在誤差，誤差有多大呢？提示：二者之差為S1-s1=0.2如圖(3)中陰影所示，無論用S1還是用s1來表示曲邊梯形的面積，誤差都不會(huì)超過0.2.（3）xoy1(4)

為了減小誤差，我們將區(qū)間[0，1]

10等分，則所求面積的過剩估計(jì)值為不足估計(jì)值為

二者的差值為S2-s2=0.1，此時(shí)，無論用S2還是用s2來表示S，誤差都不超過0.1.結(jié)論：區(qū)間分得越細(xì)，誤差越小.當(dāng)被分割成的小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0時(shí)，過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都會(huì)趨于曲邊梯形的面積...有理由相信，分點(diǎn)越來越密時(shí)，即分割越來越細(xì)時(shí)，矩形面積和的極限即為曲邊形的面積。

把這些矩形面積相加作為整個(gè)曲邊形面積S的近似值。

（4）取極限

抽象概括

我們通過“以直代曲”和“逼近思想”方法解決了求曲邊梯形的面積的問題，它們的步驟：分割區(qū)間過剩估計(jì)值不足估計(jì)值逼近所求面積所分區(qū)間長(zhǎng)度趨于0

估計(jì)值趨于所求值

xyo1動(dòng)手做一做求曲線y=與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積的估計(jì)值，并寫出估計(jì)誤差.（把區(qū)間[0，1]5等分來估計(jì)）解析：